专项精练1课件：勾股定理在最短路径问题中的应用

第一章勾股定理专项精练1

勾股定理在最短路径问题中的应用1.如图,A,B两个小镇在河岸CD的同侧,到河岸的距离分别为AC=10千米,BD=30千米,且CD=30千米.现在要在河边建一自来水厂,向A,B两镇供水,铺设水管的费用为每千米3万元,请你在河岸CD上找到水厂的位置M,使得铺设水管的总费用最少,并求出最少总费用.类型1平面上的最短路径问题【解析】如图,作点A关于CD的对称点A',连接A'B,与CD交于点M,点M即水厂的位置,连接AM,过点A'作A'K⊥BD交BD的延长线于点K,可得DK=A'C=AC=10千米,A'K=CD=30千米,所以BK=BD+DK=40千米.由作图可知∠A'KB=90°,所以在Rt△A'KB中,由勾股定理,得A'B2=A'K2+BK2=302+402=502,所以AM+BM=A'M+BM=A'B=50千米,50×3=150(万元),所以铺设水管的总费用最少为150万元.类型2几何体中的最短路径问题2.如图,长方体的底面边长分别为2cm和4cm,高为5cm.若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一周到达Q点,则蚂蚁爬行的最短路程为(

)

A.11cm B.12cm C.13cm D.15cm【解析】将长方体的侧面展开,如图,连接PQ,则PQ的长即所求的最短路程.由题知PA=2×(4+2)=12(cm),QA=5cm.在Rt△PAQ中,由勾股定理,得PQ2=PA2+QA2=122+52=132,所以PQ=13cm.故选C.

在求最短路径问题时,通常把立体图形展开成平面图形,再利用勾股定理求出相应的线段长.名师点睛3.[2021山西太原期中]2020年9月22日是第三个中国农民丰收节,小彬用3D打印机制作了一个底面周长为18cm,高为12cm的圆柱状粮仓模型,如图所示,BC是底面直径,AB是圆柱的高.现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带,且装饰带经过A,C两点(接头不计),则装饰带的长度最短为

cm.

4.我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上,高二丈,周三尺,有葛藤自根缠绕而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何?”题意是:如图,把枯木看作一个圆柱体,因一丈是十尺,则该圆柱的高为20尺,底面周长为3尺,有葛藤自点A处缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点B处.则问题中葛藤的最短长度是

尺.

【解析】如图,连接AB,AB的长即问题中葛藤的最短长度.一条直角边长(即圆柱的高)为20尺,另一条直角边长为5×3=15(尺),因此AB2=152+202=252,所以AB=25尺,所以问题中葛藤的最短长度是25尺.5.易错题[2021河南郑州桐柏一中期中]如图,ABCD是长方形土地,AB=10m,AD=5m,中间竖有一堵高1m的砖墙(MN=1m).一只蚂蚁从点A爬到点C,它必须翻过中间那堵墙,则它至少要爬

m.

【解析】如图,将题图展开,A'B'=10+2MN=10+2=12(m),连接A'C',则A'C'即蚂蚁爬行的最短路径.易知四边形A'B'C'D'是长方形,在Rt△A'B'C'中,A'B'=12m,B'C'=5m,所以A'C'2=A'B'2+B'C'2=122+52=132,所以A'C'=13m,所以蚂蚁从A点爬到C点,至少要爬13m.6.如图,长方体盒子的长、宽、高分别是8cm,6cm,24cm.(1)在AB的中点C处有一滴蜜糖,一只小虫从D处爬到C处去吃,有无数种走法,则最短路程的平方是多少?(2)能放入长方体盒子内的木棒的最大长度是多少?

将长方体的上底面和右侧面展开在同一个平面,连接CD,如图3所示.由题意知AM=8cm,AC=12cm,MD=6cm,所以MC=20cm.在Rt△CMD中,由勾股定理,得CD2=MC2+MD2=202+62=436(cm2).因为340<388<436,所以最短路程的平方是340cm2.(2)如图4,连接AG,BG.在Rt△BFG中,∠GFB=90°,GF=8cm,BF=6cm,由勾股定理,得GB2=GF2+BF2=82+62=102,所以GB=10cm.在Rt△AG