卡氏第二定理课件

卡氏定理

卡氏定理(Castigliano'sTheorem),是意大利工程师卡斯蒂利亚诺(A.Castigliano)于1873,故得其名.

卡氏第一定理卡氏第二定理卡氏第二定理

2

1

3

设弹性结构在支座的约束下无任何刚性位移.

作用有外力:F1,F2,,Fi,

相应的位移为：

1,

2,

,

i

,

F1F2F3

结构的变形能卡氏定理的证明卡氏第二定理

只给Fi一个增量

Fi.

引起所有力的作用点沿力方向的位移增量为

2

1

3F1F2F3

在作用

Fi的过程中,

Fi完成的功为

原有的所有力完成的功为

结构应变能的增量为卡氏第二定理

如果把原来的力看作第一组力,而把

Fi

看作第二组力.根椐互等定理略去高阶微量或者

当

Fi

趋于零时,上式为

这就是卡氏第二定理（Castigliano’sSecondTheorem)（卡氏定理）（Castigliano’sTheorem）卡氏第二定理

（1）卡氏第二定理只适用于线性弹性体(Applyingonlytolinearlyelasticbodies）说明(Directions)：

（2）Fi

为广义力（generalizedforce）

i为相应的位移（displacementcorrespondingtoforceFi)一个力一个力偶一对力一对力偶一个线位移一个角位移相对线位移相对角位移卡氏第二定理（3）卡氏第二定理的应用(Applicationofcastigliano’ssecondtheorem)

（a）轴向拉,压（Axialtensionandcompression）

（b）扭转（Torsion）

（c）弯曲

（Bending）卡氏第二定理（4）平面桁架

(Planetruss)（5）组合变形(Combineddeformation)卡氏第二定理例2.6已知EI,求C端挠度及A截面的转角卡氏第二定理解：根据卡氏定理,有卡氏第二定理AB段卡氏第二定理BC段卡氏第二定理卡氏第二定理卡氏第二定理例2.7图示刚架EI为常量，B截面受m作用。求C截面转角qC及D点的水平位移dx。轴力及剪力不计。aa2aABCDm卡氏第二定理aa2aABCDmm2C点施以附加力偶矩m2,支反力为RAy=———m+m22aRD=———m+m22aRAyRD卡氏第二定理x3x2x1ABCDmm2RAyRD求AB,BC,CD各段的弯矩方程,并对m2求偏导,最后由卡氏定理求得C截面的转角qC。qC=——(m+m2)2a3EIRAy=———m+m22aRD=———m+m22a卡氏第二定理实际上并无m2

，所以令m2=0得qC=——2am3EI通常在积分前即令m2=0，可使积分简单卡氏第二定理x3x2x1ABCDmRAyRDPa

为求D点水平位移dx,在D点加水平力Pa,求AB,BC,CD各段的弯矩方程,并对Pa求偏导,最后由卡氏定理求得D点水平位移dx。dx=——17ma26EIRAx卡氏第二定理例2.8EI=常量,求B点水平和垂直位移PfAB先求垂直位移dyM=PRcosf——=Rcosf

M

P卡氏第二定理dy=

S———ds=———M

MEIPPR3p4EIPfAB再在B点施加水平力PaPaM=Prcosf+PaR(1-sinf)——=R(1-sinf)

M

Padx=[

S———ds]Pa=0=———M

MEIPaPR32EI卡氏第二定理例求A点位移dA和B点位移dB卡氏第二定理解先求A点位移