小学奥数题库《数论》余数问题余数的判定4星题（含解析）全国通用版

数论-余数问题-余数的判定-4星题

课程目标

知识点考试要求具体要求考察频率

余数的判定B1、理解并掌握余数的判定方法。少考

2、能够运用余数判定方法判断余

数。

知识提要

余数的判定

・概念

当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法求得余数，但当被除数位数较多时，

我们可以找到一个较简单的数，通过这个较简单的数除以除数得到的余数来得原来的数的

余数的方法叫做余数的判定。

•判定方法

1、末位判定法

整数N被2或5除的余数等于这个数的个位数被2或5除的余数；

整数N被4或25除的余数等于这个数的末两位数被4或25除的余数；

整数N被8或125除的余数等于这个数的末三位数被8或125除的余数；

2、数字求和法

整数N被3除的余数等于这个数的各位数字之和被3除的余数；；

整数N被9除的余数等于这个数的各位数字之和被9除的余数；

3、奇偶位求差法

整数N被11除的余数等于这个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差被11

除的余数（如果不够减，适当加11的倍数再减）；

4、截断作和

整数N被99除的余数等于这一个数从个位开始每两位一截，得到的所有两位数（最前面

的可以是一位数）之和被99除的余数；

5、截断作差

整数N被7、11、13除的余数等于这一个整数，从个位开始每三位一截，奇数段之和与偶

数段之和的差被7、11或13整除的余数（如果不够减，适当加7、11、13的倍数再减）

精选例题

余数的判定

1.将从1开始到103的连续奇数依次写成一个多位数：

A=13579111315171921-9799101103.那么数4共有________位，数4除以9的余数

是.

【答案】101；4

【分析】一位的奇数有5个，两位的奇数有45个.再加两个三位奇数.所以4是一个

5+2X45+3X2=101（位）数.

从1开始的连续奇数被9除的余数依次为1,3,5,7,0,2,4,6,8,1,3,5,7,0,

2,4,6,8,…，从1开始，每周期为9个数1,3,5,7,0,2,4,6,8的循环.因为

（1+3+5+7+0+2+4+6+8）被9除余数为0,从1〜89恰为5个周期，所以这个101

位数4被9除的余数为1+3++5+7+0+2+4被9除的余数，等于4.

2.有一个77位数，它的各位数字都是1,这个数除以7,余数是.

【答案】2

【分析】因为111111+7=15873,所以由六个数字1组成的六位数必定是7的倍数，又

11…1=1…10…o+1…10…0+…+1…10…0+1…111...11---1

77被6除余5,从而7外16平171不。6平16部06M5^05不1所以7外1和5不1

1-14-7=1587……211-1

被7除所得余数相同，而5W,所以7外1被7除，余数是2.

a=20082008-2008

3.2008邢2008,问：a除以13所得余数是.

【答案】

【分析】2008除以13余6,10000除以13余3,所以20082008除以13余

6x3+6-13=11,200820082008除以13余11X3+6-39=0,200820082008是13的

a=20082008…2008

倍数，而2000除以3余1,所以2008^2008除以13的余数与2008除以13的余

数相同，为6.

222-2

4.200好2除以13所得余数是.

【答案】9

【分析】我们发现222222整除13,2000+6余2,所以答案为22—13余9.

5.有一个自然数用7除余3,用9除余4,请按照从小到大的顺序，将满足条件的前两个自然

数写在这里________.

【答案】31,94

【分析】除以7余3的数有：3,10,17,24,31-；

除以9余4的数有：4,13,22,31-；

所以满足“除以7余3,除以9余4〃的数的形式为[7,9]n+31=63n+31(n为自然数)按

照从小到大的顺序，将满足条件的前两个自然数为31,94.

6.?+2?+33+44+55+66+77+88+99除以3的余数是几？为什么?

【答案】

【分析】3\6?99除以3,余数是0,所以只须看表达式11+22+44+55+77+88除以

3的余数，根据余数的和等于和的余数，那么余数为1+1+1+2+1+1=7,

7+3=2……1.

7.在等差数列1,8,15,22,29,36,43,…中，如果前n个数乘积的末尾0的个数比前n+1个数乘

积的末尾。的个数少3个，那么n最小是多少？

【答案】1。7

【分析】末尾。是由因子2和因子5的乘积得到的.数列中因子2的个数足够多，因此第

n+1个数应为53的倍数，并且除以7余1.满足条件的最小数为750.而

(750-1)4-7+1=108,因此。最小是107.

8.试求不大于100,且使3n+7“+4能被11整除的所有自然数n的和.

【答案】1480

【分析】通过逐次计算，可以求出3"被11除的余数，依次为：31为3,32为9,33为5,

34为4,为1,…,因而3"被11除的余数5个构成一个周期：3,9,5,4,1,3,9,

5,4,1,…；类似地，可以求出7"被11除的余数10个构成一个周期：7,5,2,3,10,

4,6,9,8,1,…：于是3n+7"+4被11除的余数也是10个构成一个周期：3,7,0,

0,4,0,8,7,5,6,•••；这就说明，每一个周期中，只有第3、4、6个这三个数满足题

意，即n=3,4,6,13,14,16,…,93,94,96时3"+7"+4能被11整除，所以，所有满足条件的自

然数n的和为：

3+4+6+13+14+16+…+93+94+96

=13+43+…+283

=1480.

9.将1至2014这2014个自然数，按从小到大的次序依次写出，得一个多位数：

12345678910111213-20132014试求这个多位数的数字和以及其除以9的余数.

【答案】2029105；1

【分析】对应法：

$\begin{gathered}

1+2021=2021\hfill\\

2+2021=2021\hfill\\

3+2021=2021\hfill\\

4+2021=2021\hfill\\

\cdots\cdots\hfill\\

1007+1008=2021\hfill\\

\end{gathered}$

共1007组2015,所以数字和为1007X2015=2029105,

余数为：(1+2+3+・・・+7)+9余1.

10.I1+22+33+44+-+2OO52005除以10所得的余数为多少？

【答案】3

【分析】求结果除以10的余数即求其个位数字.从1到2005这2005个数的个位数字是

1。个一循环的，而对一个数的基方的个位数，我们知道它总是4个一循环的，因此把所有加

数的个位数按每20个(20是4和10的最小公倍数)一组，那么不同组中对应的个位数字应

该是一样的.

首先计算1,+22+33+44+-+2O20的个位数字，为

1+4+7+6+5+6+3+6+9+0+1+6+3+

6+5+6+7+4+9+0

=94

的个位数字，为4,由于2005个加数共可分成100组另5个数，100组的个位数字和是

2

4X100=400的个位数即0,另外5个数为20012001、2oo22ooz^200320°\20040°\

2OO52005,它们和的个位数字是1+4+7+6+5=23的个位数3,所以原式的个位数字是

3,即除以1。的余数是3.

11.(1)123456789除以7和11的余数分别是多少？87654321呢？

(2)360360360除以99的余数是多少？

【答案】⑴1；5、6；7⑵63

【分析】详解：⑴123+789-456=456,456除以7和11的余数分别为1和5,因

此123456789除以7和11的余数分别为1和5.用321+87-654=408-654,发现不够

减，要求除以7的余数，加上7的倍数即可.比方：408-654+350=104,104除以7余

6,因此87654321除以7余6.求除以11的余数，

可用1+3+5+7-(2+4+6+8)=16-20,发现不够减，加上11的倍数即可，

16-20+11=7,因此87654321除以11余7.

(2)一个数除以99的余数，等于将它两位截断再求和之后的余数.容易发现360360可被

99整除，因此只要看360除以99的余数即可，因此余数为63.

12.甲、乙两个天平上都放着一定重量的物体，问：哪一个是平衡的？

【答案】天平乙是平衡的.

【分析】考虑除以3,所得的余数.

因为478除以3余1,9763除以3也余1(只要看4+7+8,9+7+6+3除以3的

余数)，所以478X9763除以3余IX1=1,而4666514除以3余2(即

4+6+6+6+5+1+4除以3余2),因此478X9763,4666514,从而天平甲不平

衡.天平乙是平衡的.

13.201420132012除以13和99的余数分别是多少?

【答案】8；0

【分析】简答：三位截断后，奇段和为420+12=432,偶段和为201+132=333,

432-333=99,除以13的余数是8.两位截断后，所有段的和是

20+14+20+13+20+12=99,除以99的余数是0.

201320132013-2013

14.2。13不2013除以9的余数是多少？除以11的余数是多少？除以99的余数是多

少？

【答案】。；0；0

15.将1至2008这2008个自然数，按从小到大的次序依次写出，得一个多位数：

12345678910111213-20072008,试求这个多位数除以9的余数.

【答案】1.

【分析】以19992000这个八位数为例，它被9除的余数等于

(1+9+9+9+2+0+0+0)被9除的余数，但是由于1999与(1+9+9+9)被9除的余

数相同，2000与(2+0+0+0)被9除的余数相同，所以19992000就与(1999+2000)被

9除的余数相同.

由此可得，从1开始的自然数12345678910111213-20072008被9除的余数与前2008个自

然数之和除以9的余数相同.

(1+2008)X2008

根据等差数列求和公式，这个和为：-----F----=2017036,它被9除的余数为1.

另外还可以利用连续9个自然数之和必能被9整除这个性质，将原多位数分成123456789,

101112131415161718,…，199920002001200220032004200520062007,2008等数，可

见它被9除的余数与2008被9除的余数相同.因此，此数被9除的余数为1.

16.有一种三位数，它除以9所得的余数等于它的各位数字的平方和，这样的三位数可能是多

少？请写出所有可能答案.

【答案】100、101、110、111

【分析】详解：一个数除以9的余数就是等于这个数的数字和除以9的余数，又要等于它的

各位数字的平方和，所以只有上述的4种答案.

17.20132。”的个位数字是多少？除以7的余数是多少？

【答案】3；1

【分析】简答：20132013的个位数字只与个位数字有关相当于32013的个位数，3n的个位数

字依次3、9、7、1、…，每四个数一周期，2013+4余1,所以，20132013的个位数字是

3；2013+7余4,4的2013次方除以7的余数是1.

18.甲、乙两个三位数的乘积是一个五位数，这个五位数的后四位数是3456.如果甲的数字和

是8,乙的数字和是14,那么甲、乙两数之差是多少？

【答案】30

【分析】甲的数字和是8,乙的数字和是14,假设没有进位，乘积的数字和应为112,除以

9余4,假设有进位，每进一位，数字和减少9,最终乘积的数字和仍然除以9余4,因此这

个五位数只能为43456.分解质因数得43456=26x7x97,容易找到满足条件的数为224

和194,差为30.

19.1-100中，7的倍数有多少个？除以7余2的数有多少个？

【答案】14,15.

【分析】100+7=14……2,7的倍数有14个；100-2=98,98+7=14,14+1=15.除以

7余2的有15个.

20.aWl是一个四位数，由四个阿拉伯数字a,6,1,2组成的其他23个四位数的和等于90669,

求a和b的值.

【答案】a=9,b=3

【分析】所有24个四位数的和等于6666(a+b+3),因此，除曲外，其余23个四位

数的和为

666(a+b+3)-1000a-10b-21=5666a+6566b+19977.

所以5666a+65666=70692,即2833a+3283b=35346.①

因为3283a+3283b》35346,即a+b＞鬻=10黑，即a+b》ll.

同理得a+b412.

所以ll《a+b412.

因为2833三l(mod3)3283三l(mod3)35346三0(mod3)

即Q+b三0(mod3).

所以a+b=12.②

解由①和②联立的方程组得a=9力=3.

21.算式2009X2009+2010X2010+2011X2011除以31的余数是多少？

【答案】15

【分析】简答：利用替换求余法计算.

22.小明按顺序写出了从1开始的完全平方数1,4,9…除以7的余数，请猜想20132除以7

的余数是多少？

【答案】1

【分析】找规律可知，除以7的余数分别为：1,4,2,2,4,1,0,1,4,2,2,4,

1,0,七次一循环：T2003=l(mod7)=>20032=l2(mod7)

23.(1)20121221除以5和25的余数分别是多少？

(2)20130209除以3和9的余数分别是多少？

【答案】(1)1；21(2)2；8

【分析】简答：利用特性求余法即可.

24.自然数42011除以9的余数是多少？

【答案】4

【分析】简答：利用周期求余法计算.

25.29366的个位数字是多少？除以7的余数是多少

【答案】1:1

【分析】简答：29n的个位数字依次是9、1、9、…，所以，29366的个位数字是1；29+7

余1,所以，29366除以7余1.

26.算式188+288+388+…+1988+2088的结果除以9、13的余数分别是多少？

【答案】8；10

【分析】

188+288+388+-+1988+2008=(188+2088)X10

然后利用替换求余法计算.

27.n是正整数，规定汨=1X2X…xn,令

m=1!X1+2!X2+3!X3+…+2007!X2007,那么整数小除以2008的余数为多少？

【答案】2007

【分析】

m=1!X1+2!X2+3!X3+-+2007!X2007

=1!X(2-1)+2!X(3-1)+3!X(4-1)+-+

2007!X(2008-1)

=2!-1!+3!-2!+4!-3!+…+2008!-2007!

=2008!-1.

2008能够整除2008!,所以2008!-1的余数是2007.

28.(1)87784+49235X81368除以4、9的余数分别是多少？

(2)365366+367368x369370除以7、11、13的余数分别是多少?

【答案】(1)。：2(2)2;2；2

【分析】详解：提示，特性求余法和替换法结合使用.

777-77

29.19%个7除以41的余数是多少？

【答案】7

【分析】找规律：

741=。…7,

77+41=*..36,

7774-41=。…39,

7777+41=。…28,

777774-41=o.„o,

777-77

……,所以77777是41的倍数，而1996+5=399“-1,所以19%个7可以分成399段

77777和1个7组成，那么它除以41的余数为7.

30.托玛想了一个正整数，并且求出了它分别除以3、6和9的余数.现知这三余数的和是

15.试求该数除以18的余数.

【答案】17

【分析】除以3、6和9的余数分别不超过2,5,8,所以这三个余数的和永远不超过

2+5+8=15,既然它们的和等于15,所以这三个余数分别就是2,5,8.所以该数加1后

能被3,6,9整除，而[3,6,9]=18,设该数为a,那么a=18m-1,即a=18(m-1)+17

为非零自然数)，所以它除以18的余数只能为17.

1234

31.1+2+3+4+……+20132013+20142°"除以10所得的余数为多少？

【答案】3

【分析】求结果除以1。的余数即求其个位数字.从1到2014这2014个数的个位数字是

1。个一循环的，而对一个数的哥方的个位数，我们知道它总是4个一循环的，因此把所有加

数的个位数按每20个(20是4和10的最小公倍数)一组，那么不同组中对应的个位数字应

该是一样的.首先计算11+22+33+44+……+202°的个位数字,为

1+4+7+6+5+6+3+6+9+0+1+6+3+6+5+6+7+4+9+0=94

结果的个位数字为4,由于2014个加数共可分成100组另14个数，100组的个位数字和是

200222oo

4X100=400的个位数即0,另夕卜5个数为20012001、2OO2,200300\2OO4\

20052°°5.........2O142014,它们和的个位数字是

1+4+7+6+5+6+3+6+9+0+1+6+3+6=63,63的个位数3,所以原式的个位

数字是3,即除以1。的余数是3.

32.(1)一个三位数除以9余2,除以12余2,那么这个三位数最小是多少？

(2)—个数除以4余3,除以6余5,除以7余6,那么这个数最小是多少？

(3)—个三位数除以3余2,除以5余3,除以7余4,那么这个三位数最小是多少？

【答案】⑴H0；(2)83；(3)158

【分析】(1)余数相同，9和12的最小公倍数是36,所以，除以9余2,除以12余2,

的数最小是36+2=38又由于要符合三位数这个条件，所以，38+36x2=110；

(2)“差同"差为1,[4,6,7]=84,84-1=83；

(3)逐步满足条件.

33.1990-1990除以9的余数是多少?

【答案】2

【分析】能被9整除的数的特征是其数字和能被9整除，如果这个数的数字和除以9余a,

那么再减去a而得到的新数一定能被9整除，因而这个新数加上a后再除以9,所得的余数一

定为a,即一个数除以9的余数等于其数字和除以9的余数.

1990-1990

20个1990的数字和为20X(1+9+9+0)=380,380的数字和又是3+8=11,11除以

1990-1990

9的余数为2,所以2。不199。除以9的余数是2.

34.有一列数：1,3,9,25,69,189,517,…其中第一个数是1,第二个数是3,从第三

个数起，每个数恰好是前面两个数之和的2倍再加上1,那么这列数中的第2008个数除以

6,得到的余数是.

【答案】1

【分析】先观察规律可知这组数从第三个开始，每个数都等于两个数之和的2倍再加上1,

所以根据余数的乘法和加法性质得出如下表格：

数1392569................................................................

除以6的余数133133133.....................................

从上表可知这组自然数除以6的余数是每3个就为一个周期，所以2008+3=669……1所

以，这列数中的第2008个数除以6,得到的余数1.

35.(1)123+456+789的结果除以111的余数是多少？

(2)224468-6678的结果除以2