小学奥数题库《几何》-直线型-勾股定理和弦图-5星题（含解析）

几何-直线型几何-勾股定理和弦图-5

星题

课程目标

知识点考试要求具体要求考察频率

勾股定理和弦图B1能.够理解勾股定理的概念少考

2.熟练应用勾股定理和弦图来解决

相关的几何问题

知识提要

勾股定理和弦图

・勾股定理在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。即：AB2+AC2=BC2

•勾股图与弦图

(a+6)2—等=a2+2ab+b2—2ab=c2,所以c?=a2+b2

(a—b~)2+等=a2—2ab+b2+2ab=c2,所以c?=a2+b2

精选例题

勾股定理和弦图

1.如下列图所示，长方形ABCD中被嵌入了6个相同的正方形.AB=22厘米.BC=20厘米，

那么每一个正方形的面积为平方厘米.

【答案】40

【分析】如下列图所示，对每个正方形作弦图，设小直角三角形的长直角边为x厘米，短直角

边为y厘米，那么朦：箓遣2,所以后学，小正方形面积为62+22=40(平方厘米).

2.在下列图中，将一个每边长均为12厘米的正八边形的8个顶点间隔地连线，可以连出两个正

方形.图中阴影局部的面积是平方厘米.

【答案】288

【分析】如下左图，记4O=a,由对称性知，DB=a,BC=a.

取E为OC中点，连接BE,将△4BC分成直角三角形4BE和等腰直角三角形BEC.

四个△8EC可以拼成一个边长a的正方形.

记BE=b,那么CE=b,DE=b.

由4E=a+b,BE=b知：由4个△ABE和一个以a为边长的正方形可拼成一个以AB为边长的

正方形（如下右弦图）.

题中阴影可看做8个4ABE再力口上8个4BEC的面积和，4个44BE与4个^BEC拼成边长为12的

正方形，因此此题答案为122x2=288平方厘米.

3.如下列图所示，一块边长为180厘米的正方形铁片，四角各被截去了一个边长为40厘米的小

正方形.现在要从剩下的铁片中剪出一块完整的正方形铁片来.剪出的正方形面积最大为平方

厘米.

【答案】18000

【分析】如右图所示，铁片分为中间的正方形和四个长方形两局部，中间局部的面积为10。2=

10000平方厘米，四个长方形每个的面积为40x100=4000平方厘米，剪出的最大正方形为

中间的正方形加上四个长方形的一半，面积为10000+4000+2x4=18000平方厘米.

4.平面上的五个点A,B,C,D,E满足：AB=16厘米，BC=8厘米，4。=10厘米，DE=

2厘米，AC=24厘米，ZE=12厘米.如果三角形E4B的面积为96平方厘米，那么点4到CD的

距离等于厘米.

【答案】詈

【分析】得三角形CAD是直角三角形，CD=26厘米，点4到CC的距离为好=登厘米.

2613

5.如图，在正方形4BCD中，E、F分别在BC与CD上，且CE=2BE,CF=2DF,连接BF、

DE,相交于点G,过G作MN、PQ得到两个正方形MGQA和PCNG,设正方形MGQA的面积为Sr

正方形PCNG的面积为S2，那么Si：S2=.

【答案】9:4

【分析】连接B。、EF.

设正方形4BCD边长为3,那么

CE=CF=2,BE=CF=1,

所以，

EF2=22+22=8,BD2=32+32=18.

因为

EF2-BD2=8x18=144=122,

所以

EF-BD=12.

由梯形蝴蝶定理，得

SAGEF：SAGBD：SmDGF：SnBGE

=EF2-.BD2:EF-BD-.EF-BD

=8:18:12:12

=4:9:6:6,

所以，

66

S2GE=4+9+6+6s梯形BDFE=^S^BDFE-

因为

9

所以

S^BDFE=ShBCD-S&CEF=1

所以，

65_3

S^BGE=25x2=5'

由于ABGE底边BE上的高即为正方形PCNG的边长，所以

36

CJV=-x2^-l=-,

所以

AM:CN=DN:CN=3:2,

那么

SiS=AM2:CN2=9:4.

6.将矩形4BCD分成四个全等的矩形，如下列图所示.假设4E=29厘米4F=41厘米，请问

AC的长度是多少厘米？

【答案】71厘米

【分析】设4。=a,DE=EF=b,所以。2+/=292,+(2b>=4M,由此得炉=

280.于是4c2=a2+(4b)2=(a2+b2)+15b2=292+15x280=5041=712.所以4c=

71厘米.

7.如下列图所示，长方形ABC。，AB=24,BC=18,把4B边对折到AC上与AC重合，把4D

边也对折到AC上与4C重合，请问得到的新图形的面积是多少？

【答案】255

【分析】

如上图所示，把AB对折到4c上与AC重合，把4。对折到AC上与4C重合，得到四边形AECF,

由勾股定理，AC=30,设BE=EG=x,SAABC=S^BAE+ShAEC,所以24X18+2=24尤+

2+30x-r2,那么x=8,设FH=DF=y,S^ADC=S^p+ShAFC,

所以24x18+2=18y+2+30y+2,那么y=9,

S四边形AECF=SAAEC+SAAFC=30x(8+9)+2=255.

8.三角形ABC中，线段4R.8Q分别是BC、4c边上的中线，且BQ与4R互相垂直.如下图，

AC=8、BC=6.请问4B2+BC2+S2等于多少？

【答案】120

【分析】如右图所示，连接RQ,AR与BQ交于。点，

设4。=c,BO=a,OR=d,OQ=b,

因为c2+b2=AQ2=-AC2=16,a2+d2=BR2=-BC2=9,

44

又因为小+c2=AB2,b2+d2=QR2=-AB2,所以〃炉=a24-fa2+c2+d2=16+9=

44

25.所以482=20.

所以柳+AC2+BC2=20+64+36=120.

9.如下列图所示，点E是正方形48CD的CD边上的一点，以8E为一条直角边作等腰直角三角

形BEF,斜边BF交AZ)于G,AG=5厘米，GD=15厘米.求三角形BEF的面积.

【答案】272平方厘米

【分析】如下列图作辅助线，由于AG=5,而AB=20,令SF=a,而SB=4a.而MN=

204-20—a=4a.

解之得a=8,那么F/V=12,MN=32,NE=20,那么阴影局部面积为：(122+202)4-2=

272(平方厘米).

10.下列图是由边长为3厘米和4厘米的两个正方形组成.请按尺寸在发给你的彩纸上画上这一

图形，再将它剪成3块，拼成一个大的正方形，并求这个大正方形的边长是多少？

【答案】5厘米

【分析】此题考查考生对弦图的认识.面积和=32+42=52,所以拼成大正方形边长为5.

边长5厘米.拼法如下列图所示.

11.如下列图所示，对角线BD将矩形48CD分割为两个三角形，4E和C尸分别是两个三角形上的

高，长度都等于6厘米，EF的长度为5厘米，求矩形4BCD的面积.

【答案】78

【分析】如下列图所示，将4E平移到4尸，因为4E是三角形的高，所以AE1BZ),AF1

BD,44FE是矩形，并且A、F、C在同一条直线上面，再根据441AF,运用勾股定理可以

得到AC?=44,2+4。2,其中44=EF=5厘米，4c=4E+FC=12厘米，由此根据勾股定

理可求得矩形4BC。的对角线4c的长度为13厘米，由于BD也是矩形4BCD的对角线，所以BD

的长度也为13厘米，那么矩形力BCD的面积为三角形ABO和三角形BCD的面积之和，为13x

6+2x2=78(平方厘米).

12.如下列图两个正方形的边长分别是a和b(a>b),将边长为a的正方形切成四块大小、形

状都相同的图形，与另一个正方形拼在一起组成一个正方形.

【答案】见解析.

【分析】

拼成大正方形的面积应是axa+bxb,设边长c,那么有等式cxc=axa+bxb,又因为

将边长为a的正方形切成四个全等形，那么分割线一定经过正方形中心，假设切割线MN为大

正方形边长，如图(1),一定有MNxMN=axa+bxb,而MH=a,那么：NH=b,所

以AN=CM=BH=(a-b)+2,由此可以确定MN,然后将MN绕中心。旋转90。到EF位置，

即可把正方形切成符合要求的4块.如图(2)与图(3).这种分法同时确保图(3)的中间局

部就是边长为b的小正方形.这是因为：中心四边形的角即边长为a的正方形的四个角，44,

NB,NC,乙D,又因为各边长度相等.因此中心四边形是正方形.中心正方形的边长=[a-

(a—b)+2]—(a—b)+2=a—(a—b)=b.因此，中间局部是边长为b的正方形.

13.如图，以4D为直径的半圆。内接一个等腰梯形ABCZ),梯形的上底是60,下底是100,以梯

形上底和腰为直径向外作半圆，形成的阴影局部的面积是多少？E取3.14)

【答案】2258

【分析】由可得，阴影局部的面积为梯形面积加以48、BC、C。为直径的半圆面积减去以4D

为直径的半圆面积，作OE垂直于BC,根据勾股定理可得梯形的高OE为40,那么AB2=B产+

4产=402+202=2000,阴影局部的面积为：

1,1/AB\21/CDx21/BC\21

-(AD+BC)-OE+2n\Y)+2n\T)+2n\T)~2,n\T)=2258.

14.从一块正方形的玻璃板上锯下宽为0.5米的一个长方形玻璃条后，剩下的长方形的面积为5

平方米，请问锯下的长方形玻璃条的面积等于多少？

【答案】1.25平方米

【分析】我们先按题目中的条件画出示意图(如图a),我们先看图中剩下的长方形，它的面

积为5平方米，它的长和宽相差0.5米，我们可以将这样形状的四个长方形拼成一个弦图(如图

b).

图b是一个大正方形，它的边长等于长方形的长和宽之和，

中间的那个小正方形的边长，等于长方形的长和宽之差，

即0.5米.所以中间的小正方形的面积为

0.5x0.5=0.25平方米

那么大正方形的面积为

5X4+0.25=20.25平方米

因为

4.5x4.5=20.25

所以大正方形的边长等于4.5米.所

以原题中剩下的长方形的长与宽的和为4.5米，而长与宽

的差为0.5米，所以剩下的长方形的长为：

(4.5+0.5)+2=2.5米

即原正方形的边长为2.5米.又知锯下的长方形玻璃条的宽为0.5米，于是可得锯下的长方形玻

璃条的面积为

2.5x0.5=1.25平方米

15.如下列图所示，这是一张十字形纸片，它是由五个全等正方形组成，试沿一直线将它剪成

两片，然后再沿另一直线将其中一片剪成两片，使得最后得到的三片拼成两个并列的正方形.

【答案】见解析.

【分析】实际拼成两个并列的正方形就是一个长方形，其长是宽的2倍，设十字形面积是5个平

方单位，长方形的长为x长度单位，宽为;长度单位，那么有垮=5,/=io,即％2=32+M,

由勾股定理可知：所求长方形的长可视为一直角三角形直角边分别是3和1的斜边.它恰是两个

对角顶点的连线.剪拼方法如下列图所示，甲拼在甲'位置，乙拼在乙，位置，就可得符合题意

的图形.

【总结】假假设沿第二条线把另一片也剪成两片，那么共剪成的4片是4个全等多边形，这时两

条直线都经过十字形的中心，并且互相垂直.剪开的这4个图形其中一个绕中心旋转90。也和另

一个重合.由此我们便得到一个重要结论：对于一个正方形来讲，如果从中心沿360。+4