课标高考数学理一轮复习课件：31导数的概念及运用

课标高考数学理一轮复习课件31导数的概念及运用目录CONTENTS导数的概念导数的性质导数的应用导数的综合应用导数在高考中的考查形式与解题策略01导数的概念

导数的定义导数定义导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该点附近的小范围内变化的情况。导数定义公式$f'(x)=lim_{Deltaxto0}frac{Deltay}{Deltax}$，其中$Deltay=f(x+Deltax)-f(x)$。导数定义的几何意义函数在某一点的导数等于该点切线的斜率。导数在几何上表示函数图像在某一点的切线斜率。切线斜率导数的正负可以判断曲线在该点的凹凸性，正导数表示曲线在该点向上凸，负导数表示曲线在该点向下凹。曲线的凹凸性导数的正负可以判断函数在该区间内的单调性，正导数表示函数在该区间内单调递增，负导数表示函数在该区间内单调递减。单调性导数的几何意义导数在物理中可以表示速度或加速度的变化率，例如瞬时速度或瞬时加速度。速度与加速度斜率与加速度能量变化率导数可以表示物体运动过程中某一时刻的速度或加速度的斜率。在一些物理问题中，导数可以表示能量随时间或空间的变化率。030201导数的物理意义02导数的性质线性性质01若$f(x)$和$g(x)$可导，则$f(x)+g(x)$和$f(x)g(x)$也可导，且$(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)$，$(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$。乘积法则02若$f(x)$和$g(x)$可导，则$f(x)cdotg(x)$也可导，且$(f(x)cdotg(x))'=f'(x)cdotg(x)+f(x)cdotg'(x)$。商的导数法则03若$f(x)$和$g(x)$可导，且$g(x)neq0$，则$frac{f(x)}{g(x)}$也可导，且$left(frac{f(x)}{g(x)}right)'=frac{f'(x)cdotg(x)-f(x)cdotg'(x)}{[g(x)]^2}$。导数的运算性质导数定义函数$f(x)$在点$a$处的导数$f'(a)$定义为$lim_{Deltaxto0}frac{f(a+Deltax)-f(a)}{Deltax}$。导数与极限的关系如果函数在某点的导数存在，则该点的极限值等于导数值。即如果$f'(a)$存在，则$lim_{xtoa}frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a)$。导数与无穷小如果函数在某点的导数存在，则该点附近的无穷小增量对应的无穷小增量比的极限等于该点的导数值。即如果$f'(a)$存在，则$lim_{Deltaxto0}frac{Deltay}{Deltax}=f'(a)$，其中$Deltay=f(a+Deltax)-f(a)$。导数的极限性质导数的几何性质单调性如果函数在某个区间内的导数大于0，则函数在此区间内单调递增；如果导数小于0，则函数在此区间内单调递减。导数与切线斜率函数在某点的导数等于曲线在该点处的切线斜率。即如果函数$y=f(x)$在点$(a,f(a))$处的导数存在，则该点的切线斜率为$f'(a)$。极值如果函数在某点的导数由正变为负或由负变为正，则该点为函数的极值点。即如果函数$y=f(x)$在点$(a,f(a))$处的导数由正变为负或由负变为正，则$a$为函数的极值点。03导数的应用研究函数的单调性通过导数可以判断函数的单调性，当导数大于0时，函数单调递增；当导数小于0时，函数单调递减。求函数的最值利用导数求函数的最值是导数的一个重要应用，通过求导找到函数的极值点，进而确定函数的最值。函数的极值与拐点导数的符号变化点是函数的拐点，导数为0的点是函数的极值点。导数在函数中的应用导数即为切线的斜率，在某点的导数值即为该点切线的斜率。求切线的斜率已知切点坐标和切线的斜率，可以求出切线方程。切线方程的求解函数的导数与切线斜率相等，且切线过切点。导数与切线的关系导数在切线中的应用导数与不等式证明的关系利用导数的符号变化和函数单调性，可以证明不等式。导数在不等式证明中的技巧通过构造函数、求导、分析单调性等步骤，利用导数证明不等式。利用导数研究函数的单调性通过导数可以判断函数的单调性，进而用于证明不等式。导数在不等式证明中的应用04导数的综合应用理解导数在研究函数中的应用，掌握利用导数研究函数的单调性、极值和最值的方法。总结词导数是研究函数性质的重要工具，通过求导可以判断函数的单调性，进而求出函数的极值和最值。例如，对于函数$f(x)=x^3-3x$，求导得到$f'(x)=3x^2-3$，令$f'(x)=0$，解得$x=pm1$，在$x=1$处取得极大值，在$x=-1$处取得极小值。详细描述导数与函数的综合应用总结词理解导数在解决不等式问题中的应用，掌握利用导数研究不等式的方法。详细描述导数可以用于研究不等式的性质和证明。例如，对于不等式$f(x)>g(x)$，可以通过求导判断函数的单调性，进而证明不等式。例如，对于函数$f(x)=x^2-2x$和$g(x)=x+1$，求导得到$f'(x)=2x-2$和$g'(x)=1$，由于$f'(x)>g'(x)$当$x>1$时，所以$f(x)>g(x)$在$(1,+infty)$上成立。导数与不等式的综合应用导数与解析几何的综合应用理解导数在解析几何中的应用，掌握利用导数研究曲线的切线、曲线的形状和性质的方法。总结词导数是研究曲线的重要工具，通过求导可以求出曲线的切线方程和曲线的形状和性质。例如，对于曲线$y=f(x)$，求导得到切线斜率$k=f'(x)$，切线方程为$y-y_0=k(x-x_0)$。例如，对于曲线$y=x^2$，求导得到切线斜率$k=2x_0$，切线方程为$y-x_0^2=2x_0(x-x_0)$。详细描述05导数在高考中的考查形式与解题策略导数的定义与性质导数的几何意义导数的运算导数的应用高考中导数的考查形式01020304考查对导数定义的理解，以及导数的基本性质和应用。考查导数在几何图形中的应用，如切线斜率等。考查导数的计算和求值，包括复合函数、幂函数、三角函数等。考查利用导数研究函数的单调性、极值和最值等。掌握导数的基本概念，理解导数在函数研究中的作用。理解导数的定义及性质熟悉常见函数的导数公式，掌握导数的运算法则。掌握导数的计算方法通过求导研究函数的单调性和极值，进而解决实际问题。分析函数的单调性和极值利用导数的几何意义解决与切线相关的问题。运用导数的几何意义高考中导数的解题策略对导数的基本