6.4.2超几何分布（课件）-高二数学（北师大版2019选择性）

6.4.2超几何分布

二项分布：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n，p).若X~B(n,p)，则有二项分布的均值与方差：二点分布是特殊的二项分布.

E(X)=

,D(X)=

.npnp(1-p)温故知新

实例分析

每次抽到次品的概率都是0.08，但每次抽取不是同一个试验，且各次抽取的结果不独立，故X不服从二项分布.则X的分布列是：

每次抽到次品的概率为0.08，且各次抽样的结果相互独立,此时X服从二项分布,即X～B(4，0.08).采用有放回抽样采用不放回抽样解：由题意可知，X可能的取值为0,1,2，3，4

则X的分布列是：X01234P

新知探究问题1

已知100件产品中有8件次品，现从中分别采用有放回和不放回的方式随机抽取4件．设抽取的4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列.

每次抽到次品的概率都是0.08，但每次抽取不是同一个试验，且各次抽取的结果不独立，故X不服从二项分布.则X的分布列是：

每次抽到次品的概率为0.08，且各次抽样的结果相互独立,此时X服从二项分布,即X～B(4，0.08).采用有放回抽样采用不放回抽样解：由题意可知，X可能的取值为0,1,2，3，4

则X的分布列是：X01234P

问题2

已知100件产品中有8件次品，现从中分别采用有放回和不放回的方式随机抽取4件．设抽取的4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列.

超几何分布

注意：1.由较明显的两部分组成；2.不放回抽样；3.注意分布列的表达式中，各个字母的含义及随机变量的取值范围.1.公式中个字母的含义N—总体中的个体总数M—总体中的特殊个体总数(如次品总数)n—样本容量k—样本中的特殊个体数(如次品数)2.求分布列时可以直接利用组合数的意义列式计算,不必机械记忆这个概率分布列.3.“任取n件,恰有k件次品”是一次性抽取,用组合数列式.4.各对应的概率和必须为1.

其中n≤N,M≤N,n,M,N∈N+.注意：概念理解超几何分布:

其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,

m＝max{0,n-(N-M)},

r＝min{n,M}.

当N=10,M=4时,N-M=6,n=3.当N=10,M=4时,N-M=6,n=8.k的第一个值是

m=max{0,3-6}=0,r=3;k的第一个值是

m=max{0,8-6}=2,r=4.追问1怎么去理解m＝max{0,n-(N-M)}的取值？概念理解超几何分布:

其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,

m＝max{0,n-(N-M)},

r＝min{n,M}.

①总体中含有两类不同的个体；②不放回地抽取；③随机变量是从总体中抽取的n个个体中某一类个体的数量.追问2

怎样判断一个变量是否服从超几何分布？1、下列随机变量X是否服从超几何分布？如果服从，那么各分布的参数（即定义中的N,M,n）分别是多少？（1）一个班共有45名同学，其中女生20人，现从中任选7人，用X表示其中女生的人数；是，N=45，M=20，n=7是，N=8，M=6，n=3（2）袋中有完全相同的6个黑球和2个白球，从中取出3个球，用X表示取出的黑球的个数.

2．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)超几何分布的模型是有放回的抽样．(

)(2)在超几何分布中，随机变量X取值的最大值是M.(

)(3)在超几何分布中，只要知道N，M和n，就可以根据公式，求出X取不同值m时的概率P(X＝m)．(

)(4)从3本物理书和5本数学书中选出3本，记选出的数学书为X本，则X服从超几何分布．超几何分布的总体里只有两类物品．(

)××√√3．下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是(

)A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数XB．从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数XC．某射手射击的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为XD．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数解析：由超几何分布的定义可知B正确．答案：B4．在10个村庄中，有4个村庄交通不方便，若用随机变量X表示任选6个村庄中交通不方便的村庄的个数，则X服从超几何分布，其参数为(

)A．N＝10，M＝4，n＝6B．N＝10，M＝6，n＝4C．N＝14，M＝10，n＝4D．N＝14，M＝4，n＝10解析：根据超几何分布概率模型知N＝10，M＝4，n＝6，故选A.答案：A

例1：一批产品有100件，其中有5件次品．现从中取出3件．求：取到次品数X的分布列.解：X的可能的取值为：0,1,2,3.0123因此随机变量X的分布列为：

,那么从100件产品中任取3件，其中恰好有K件次品的概率为:从100件产品中任取3件，其中恰有K件次品的结果为变式：含有5件次品的100件产品中，任取3

件，求（1）取到的次品数X的分布列；（2）至少取到1件次品的概率.解：（1）从100件产品中任取3件结果数为X0123P例2.在一个口袋中有30个球，其中有10个是红球，其余为白球，这些球除颜色外完全相同，游戏者一次从中摸出5个球，摸到且只能摸到4个红球就中一等奖，那么获一等奖的概率有多大(保留两位有效数字)？思路分析：将30个球看成是一批产品，则总数N=30,10个红球看成是次品则M=10，一次摸出5个球即n=5，这5个球中红球的个数X是一个离散型随机变量，X服从超几何分布.变式：在某年级的联欢会上设计一个摸奖的游戏，在一个口袋中装有5个红球10个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出5个球至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率.解：设摸到红球的个数为X，则X服从参数N=15，

M=5，n=5的超几何分布新知探究：超几何分布的均值问题

服从超几何分布的随机变量的均值是什么?设随机变量X

服从超几何分布，则X

可以解释为从包含M件次品的N

件产品中，不放回地随机抽取n

件产品中的次品数.令，则p是N件产品的次品率，而是抽取的n件产品的次品率.我们猜想下面对均值进行证明.证明：令m＝max{0,n-N+M},

r＝min{n,M}.

由随机变量的定义：当m>0时，当m=0时，类似可以证明结论依然成立.若随机变量X服从超几何分布，则有

新知探究：二项分布的均值我们猜想1．已知100件产品中有10件次品，从中任取3件，则任意取出的3件产品中次品数的数学期望为________．

答案：0.3巩固提升例4

从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛：(1)求所选3人都是男生的概率；(2)求所选3人中恰有1名女生的概率；(3)求所选3人中至少有1名女生的概率；(4)设所选3人中女生的人数为X,求X的分布列及EX.

从如表6-23：

（1）从混合的芯片中任取1个，求这个芯片是合格品的概率；

0123

小结：1、超几何分布描述的是不放回抽样问题，从形2、当离散型随机变量X服从参数N，M，n超几何分式上看超几何分布的模型中其产品是由较明显的两部分构成的.布时，只要知道N、M和n的值时就可以根据公式：

求概率从而列出随机变量X的分布列.1．设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为(

)

答案：D课堂练习

答案：D3．从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张A的概率为(

)

答案：D

D

一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X=k}发生的概率为超几何分布：X01…mP…称分布列为超几何分布归纳规律：二项分布、超几何分布有什么区别和联系？超几何分布二项分布试验类型

抽样

抽样试验种数有

种物品有

种结果总体个数

个

个随机变量取值的概率利用

计算利用

计算随机变量X的分布列均值与方差E(X)=