实数（运算问题2）2023年中考数学考点微

考向04实数(运算问题2)

例1、(2018•浙江临安•中考真题)阅读下列题目的解题过程：

已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a4-b4,试判断△ABC的形状.

解：*.*a2c2-b2c2=a4-b4(A)

Ac2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2)(B)

c2=a2+b2(C)

.•.△ABC是直角三角形

问：(1)上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：;

(2)错误的原因为：；

(3)本题正确的结论为：.

【答案】(1)C；(2)没有考虑a=b的情况；(3)△ABC是等腰三角形或直角三角形.

【分析】(1)根据题目中的书写步骤可以解答本题；

(2)根据题目中B到C可知没有考虑a=b的情况；

(3)根据题意可以写出正确的结论.

解答：(1)由题目中的解答步骤可得，

错误步骤的代号为：C,

故答案为C；

(2)错误的原因为：没有考虑a=b的情况，

故答案为没有考虑a=b的情况；

(3)本题正确的结论为：△ABC是等腰三角形或直角三角形，

故答案为4ABC是等腰三角形或直角三角形.

【点拨】本题考查因式分解的应用、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确

题意，写出相应的结论，注意考虑问题要全面.

例2、(2021•贵州黔东南•中考真题)⑴计算：2cos30。—亚-2―2卜(3.14—万)°

(2)先化简：J*》一咛.三,然后x从0、1、2三个数中选一个你认为合适的数

x--4x+4x-2x

代入求值.

3

【答案】(1)(2)x+2,当x=|时，原式=3

【分析】(1)根据实数的运算，零指数塞，负整数指数哥，特殊角的三角函数值进行计算即

可；

(2)先根据分式的混合运算法则化简，再代入求值即可得结果.

解：⑴2cos30°-2T-疝-2-2卜(3.14-I)°

=2X-^-1-2A/3-(2-5/3)+1

=6」-20-2+6+1

2

--——3.

2，

/日、x2+3xx+3x2-4

(2)—5---------+-----------------

x-4x+4x-2X

x(x+3)x-2(x+2)(x-2)

-(x-2)2x+3x

=x+2

〈x取0或2时，原式无意义，

，♦只能取1

当”=1时，原式=3

【点拨】本题考查了分式的化简求值，实数的运算，零指数累，负整数指数幕，特殊角的三

角函数值，解决本题的关键是熟练掌握运算法则.

例3、(2021•辽宁鞍山•中考真题)先化简，再求值：(一二其中”=布+2.

【答案】三，1+逅

a-23

【分析】根据分式的混合运算的运算法则把原式化简为号，再代入求值.

=13「g+2)

a-2(a+2)(a-2)a-\

_a-\a(a+2)

(a+2)(a-2)a-1

a

当即卡+2时，原式=/^=毕="但=i+".

V6+2-2V663

【点拨】本题考查了分式的化简求值：先把分式化筒后，再把分式中未知数对应的值代入求

出分式的值.

1、常用的因式分解方法：

(1)提取公因式法：〃以+〃历+，〃c=，”(a+/?+c)

(2)运用公式法：

平方差公式：a2-h2-(a+h)(a-b)；完全平方公式：a2±2ab+h2-(a±b)2

(3)十字相乘法：x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)

(4)分组分解法：将多项式的项适当分组后能提公因式或运用公式分解。

(5)运用求根公式法：若。无2+方％+。=0(。/0)的两个根是修、々，则有：

2

ax+bx+c=a(x-x,)(x-x2)

2、分式的运算：

(1)力口、减：同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减：异分母的分式相加减，先把它们通

分成同分母的分式再相加减。

(2)乘：先对各分式的分子、分母因式分解，约分后再分子乘以分子，分母乘以分母。

(3)除：除以一个分式等于乘上它的倒数式。

(4)乘方：分式的乘方就是把分子、分母分别乘方。

3、二次根式的运算：

(1)二次根式的加减：将各二次根式化为最简二次根式后，合并同类二次根式。

(2)二次根式的乘法：4a-4b^4ab(a20,b20)。

^(a>0,b>0)

(3)二次根式的除法：

【注意】

1、因式分解要分解到每一项不能再分解为止；

2、分式运算求值中分母不能为0,这是一个易丢分点；

3、二次根式运算中注意其双重非负性，解题中注意其二次根式的隐含条件。

经典变式练

1.(2016・山东临胸•一模)因式分解：卜2+47-16,

2.(2012•山东东阿•一模)因式分解：x3-x

3.(2021•黑龙江建华•三模)

（1）计算：-22-l-V12|-^+2tan60。；分解因式：

4.（2021.黑龙江.哈尔滨市萧红中学三模）先化简，再求代数式（4+四］+:士马的值,

\xXJX+X

其中X=cos3（）o+L.

2

5.（2021•陕西•西安市铁一中学模拟预测）计算：（4r—8\十一—2x1.

（x-4）x+2

6.（2021•江苏射阳•三模）

Q）计算：我一（万一3）°+（；）'+|夜一1］；（2）化简：

7.（2021.湖南师大附中博才实验中学二模）计算：3°+血+|-3|

8.(2021•甘肃麦积•模拟预测)

(1)计算：(-1)2021-2''+8^30°+(ir-3.14)0

(2)先化简,再求值：(x+1)(x-1)+(2%-1)2-2X(2X-1),其中x=yf2+1

/、

vX

9.(2021•黑龙江南岗•三模)先化简，再求代数式丁一+1———的值，其中x=2sin6O。,

厂-y1x+yj

y=tan45°.

10.（2021•黑龙江龙沙•三模）

计算：（/一同+需才3-小器

(1)（2）因式分解：（加一2）2-3初+2

11.（2021.黑龙江龙沙.二模）

（1）计算：I石-川-第1+巫+（2）因式分解：a3-3a2+2«.

sin45°3V3

12.（2021•黑龙江铁锋•一模）

（1）计算：一我+（7一3.14）°-1—、.（2）分解因式：4（x-2y）2-16y2.

13.（2021•辽宁・沈阳实验中学二模）先化简，再求值（半|-一=，:“；其中a

I优-4a-2）优+4a+4

是满足T<“42的一个整数，择一个合适数，代入求值.

14.（2021•四川省宜宾市第二中学校三模）

(1)计算：2sin60+卜-历卜(g)+(万-2021)°.(2)化简："区一1.

5（2021.福建・泉州五中模拟预测）先化简，再求值言+号节卜W，其中

x=>/3+1.

16.（2021.江苏.苏州高新区第五初级中学校二模）计算：FxJE-4cos30。

17.（2021・江苏・扬州中学教育集团树人学校三模）

—(a-

(1)计算：2sin60°++|2-6|-次；（2）化简:

a

-).

18.（2021•湖北襄州•二模）先化简，再求值：

已知：（》一了丫-y（x+y）+x>其中x=l-应，y=l+&

19.（2020•黑龙江齐齐哈尔•中考真题）

(1)计算：sin30°+y/\6-(3->/3)°+|-g|（2）因式分解:3a2-48

20.（2018•黑龙江齐齐哈尔・中考真题）

（1）计算：（g）+（>/3->/7）0-2cos60o-|3-^；

(2)分解因式：6(a-b)2+3(a-b).

21.（2017•山西•中考真题）

（1）计算：（-尸一壮尸一

（2）分解因式：（y+2x），-（x+25）1・

3

22.（2021•辽宁朝阳•中考真题）先化简，再求值：（一=+1）+竺3，其中x=tan60。.

x-2X2-4

23.（2021•辽宁锦州•中考真题）先化简，再求值：（x-1--一，其中x=班-

x+iX~+X

2.

24.（2021.内蒙古赤峰.中考真题）先化简，再求值：也机+2-一其中

tn-2\tn-2）

—+曲一|一7|.

参考答案

1.(X-2)2(X+2)2

【分析】观察原式可知出现了平方差的形式，这里的16/可化为(4x)2,利用平方差公式

/-b2=(a-b)(a+b)进行因式分解得到(V+4-4X)(X2+4+4X).而此时分解还没有彻底，还

能用完全平方公式继续进行分解，得到最终的结果.

解：原式=(x2+4)2-(4x)2=(%2+4-4x)(x2+4+4x)=(x-2)2(x+2)2

故答案为(X-2)“X+2)2

【点拨】本题综合性的考查了两种公式法分解因式，这里需要注意的是因式分解之后务必检

查分解是否彻底，本题中用完平方差分解之后，分解还未完成，还需要用完全平方公式进行

分解因式.

涉及到的公式有：a2-b2=(a-b)(a+h),a2-2ab+h2=(a-h)2,

a2+2ah+b2=(a+h)2

2.x(x+l)(x-l)

【分析】先提取公因式，再用平方差公式进行因式分解.

解:x3-x=x(x2-1)=x(x+1)(x-1)

3.(1)-7；(2)a(2a+-)(2a--)

22

【分析】(1)先计算乘方、二次根式化简、负指数、三角函数值，再计算即可；

(2)先提取公因式，再用平方差公式分解即可.

解：⑴-22-|-V12|-^+2tan60°.

=-4-2石-3+2x8.

=-7.

⑵S」.

【点拨】本题考查了实数运算和因式分解，解题关键是准确化简各数和熟练运用提取公因

式和公式法进行因式分解.

【分析】先算括号里的，再算除法，化简后将x=cos3()o+5代入即可得.

&力x+2x+2

解：原式二——一

x+2x2+x

-------X-------------

xx+2

x(x+1)

=x+\

【点拨】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟记分式的运算法则和最简分式的定义.

【分析】先将分子分母因式分解，再算括号内的，最后计算加法，即可求解.

x+2)(x

(x+2x+2)x(x-2)

x—2x+2

x+2x(才-2)

x

【点拨】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键.

6.(1)2+>/2;(2)——•

2x

【分析】(1)根据零指数辕，负整数事的运算法则、绝对值的性质以及立方根的定义即可求

出答案.

(2)根据分式的加减运算以及乘除运算即可求出答案.

解：(1)酶-(%-3)。+(£)+|^-1|

=2-1+2+72-1

=2+汇

/c、x—2炉—4x+41

(2)------+----------------

x+2xx-42x

x—2,(x+2)(x-2)1

x(x+2)(x-2)22x

_j__J_

x2x

_2____i_

2x2x

1

~2x'

【点拨】本题考查零指数幕，负整数幕的运算法则、绝对值的性质、立方根的定义及分式的

混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键.

7.2&

【分析】直接利用零指数幕的性质、负指数基的性质以及绝对值的性质、二次根式的性质分

别化简得出答案.

解：原式=1+2正-4+3

=2正

【点拨】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键.

8.(1)0；(2)x2-2x,1

【分析】(1)运用乘法运算，负指数幕的运算，特殊角的三角函数值，零指数幕综合运用计

算即可；

(2)运用整式的混合运算化简，再把x的值代入求解即可.

解：(1)解：(1)原式+g+1=0；

(2)解：原式=N-1+4X2-4x+1-4x2+2x—x2-2x,

把x=0+1代入，得：

原式=(&+I)2-2(72+1)=3+2&-272-2=1.

【点拨】本题考查了乘法运算，负指数基的运算，特殊角的三角函数值，零指数基，平方差

公式，完全平方公式，熟练以上知识是解题的关键.

9.-L回

x-y，2

【分析】根据x2-y2=(x+y)(x-y)和分式化筒原则先化简，再根据*=2sin6(r=G，

y=tan45y代入计算即可.

yy-xyx+y1

解.序式二-----:-----4-----:----=-----:------X-----=----

'八(x+y)(x-y)x+y(x+y)(x—y)yx-y

■"x=2x——=,y=1

2

原式=泰=第

【点拨】本题考查分式的化简求值，根据相关的公式转换和化简原则化简是解题关键.

10.(1)6-乃+(2)(,«-l)(m-6)

【分析】(1)直接利用特殊角的三角函数值、零指数幕的性质、绝对值的性质、二次根式的

性质分别化简得出答案.

(2)先根据完全平方公式和合并同类项进行化简，再利用十字相乘法分解即可.

/解：原式=1+2^+(3—乃)+翌=1+2+3—〃+芈=6—4+

解：⑴个◎V1313

3x——9

2

(2)解：原式—4机+4—3〃2+2=，〃2—7，〃+6=(加一1乂加一6)

【点拨】此题主要考查了实数运算以及因式分解，正确化筒各数并且熟练运用十字相乘法是

解题关键.

11.(1)万；(2)a(a-l)(a-2)

【分析】(1)先逐项化简，再算加减即可:

(2)先提取公因式m再用十字相乘法分解.

解:⑴—藉+哈燃尸

3

2

--3A/5下)

755+亍+正

2

/zG

--+石+衣

=兀；

(2)a3-3a2+2a

=a(a2-3a+2)

【点拨】本题考查了实数的混合运算，因式分解，熟练掌握特殊角的三角函数值，负整数指

数幕的意义是解答本题的关键.

12.(1)5；(2)4x(x-4y)

【分析】(1)原式利用零指数基、负整数指数靠法则，立方根定义，以及乘方的意义计算即

可求出值；

（2）原式利用平方差公式分解即可.

解：（1）产⑼—融+（〜3.14）。-1_]

=1-2+1-（-5）

=1-2+1+5

=5；

（2）4（x-2y）2-16y2

=[2（x-2y）+4y][2（x-2y）-4y]

=4x（x-4y）.

【点拨】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，以及实数的运算，熟练掌握运算法则

是解本题的关键.

⑶篝,

【分析】先算括号里面的，再算除法，选取合适的a的值代入进行计算即可.

2a+2_1a

解:

a2-4。-2Y+4。+4

(2a+2a+2)tz"+4a+4

{a2-A-a2-4Ja

_a(a+2)2

(〃+2)(〃-2)a

a+2

~a^2

Ya是满足-l<aV2的一个整数,

a=0,1,2

当”=0,2时，分式无意义，

a=1

E-u1+2.

原式===-3

1-2

【点拨】本题考查的是分式的化简求值，再选取a的值时要保证分式有意义.

14.（1）4痒4；（2）二.

\-a

【分析】（1）根据零指数基以及负整数指数累的意义，绝对值的定义以及特殊角的锐角三角

函数的值即可求出答案.

（2）根据分式的混合运算法则即可求出答案.

解：(I)2sin60+|3-V27|-[-j+(^-2021)°

=2x----F3>/3—3—2+1

2

=4石—4；

4+1a2-2。+1

(2)-Q)+

。+1a+\

/z2+1a2+a(a-

a+\〃+la+\

a-\。+1

~~«7T(tz-1)2

1

a-\

1

~7^a'

【点拨】本题考查了实数的运算以及分式的运算，解题的关键是熟练运用零指数'幕的意义,

特殊角的锐角三角函数的值，分式的加减运算法则以及乘除运算法则，本题属于基础题型.

15.—,三立.

x-13

【分析】利用平方差和完全平方公式先化简分式，然后代值计算即可.

.X4-11X—1

解：原式=—7+--^•——

x-1(x-1)JX

_X2-1+1x-1

-d)2X

X

=7»

X-1

当X=W+1时，原式=>=止叵

V3+1-13

【点拨】本题主要考查了分式的化简求值，平方差公式，完全平方公式，分母有理化，解题

的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.

16.-1+66

【分析】先计算整数指数累、化简二次根式、代入三角函数值，再计算乘法，最后计算加减

可得；

解：原式=-1+4X26-4X正

2

=-1+8>/3-2>/3

=-1+66.

【点拨】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键.

17.(1)3；(2)---.

【分析】(1)根据特殊角的三角函数值、负整数指数嘉、绝对值和二次根式的意义求解;

(2)根据分式的性质进行化简.

解：(1)原式=2乂@+22+2-追-3

2

=5/3+4+2->/3-3

=3；

。+1a

=------x7-------77------c

a+

1

【点拨】本题考查实数及分式的综合应用，熟练掌握特殊角的三角函数值、负整数指数幕、

绝对值和二次根式的意义、分式的性质和运算法则是解题关键.

18.2x2-3xy,9-472

【分析】先去括号，然后合并同类项可以化简题目中的式子，再将x、y的值代入即可解答

本题.

解：-y(x+y)+x2

=x2-2xy+y2-xy-y2+x2=2x2-3xy

当x=l-0，?=1+五时，

原式=2(l_0)2_3(1_&)(1+0)

=2(3-2夜)-3(l-2)

=6-4夜+3

=9-472

【点拨】本题主要考查了整式的混合运算，二次根式的混合运算，熟练掌握整式混合运算的

顺序和二次根式的混合运算解决问题的关键.

19.(1)4；(2)3(〃+4)(«-4).

【分析】(1)先用特殊角的三角函数值、零指数事的性质、绝对值的性质、算术平方根的知

识化简，然后计算即可；

(2)先提取公因式3,再运用平方差公式分解因式即可.

解：(1)sin3(T+标-(3-73)°+|-y|

=!+4-1+!

22

=4；

(2)3a2-48

=3(a2-16)

=3(a+4)(a-4).

【点拨】本题考查了实数的运算和因式分解，掌握相关运算性质和因式分解的基本思路是解

答本题的关键.

20.(1)7-TC；(2)3(a-b)(2a-2b+l).

【分析】(1)直接利用负指数事的性质以及零指数事的性质和特殊角的三角函数值以及绝对

值的性质分别化简得出答案；(2)直接提取公因式3(a-b),进而分解因式得出答案.

解：⑴原式=4+1-2xg_(乃一3)

=5—1-乃+3

=7一4；

(2)6(a-/?)2+3(a-fe)

=3(a-Z?)[2(a-Z?)+l]

=3(a")(2a-处+1).

【点拨】本题考查/负指数基、零指数’幕、特殊角的三角函数、绝对值的性质和因式分解法,

熟练掌握该知识点是本题解题的关键.

21.(1)-1；(2)软*行瑁：£二-;期:.

【解析】

试题分析：(1)原式第一项利用有理数的乘方定义计算，第二项利用负整数指数幕法则计算,

最后一项利用二次根式的性质和特殊角的三角函数值计算即可得到结果；