目标突破课件：第二章 一元二次方程

第二章一元二次方程本章总结提升第二章一元二次方程知识结构关系重点模块总结实际问题设未知数、列方程一元二次方程的模型ax2+bx+c=0(a≠0)解决问题根的判别式求根公式检验（根的取舍）根与系数的关系解方程直接开平方法配方法公式法因式分解法降次知识结构关系模块1一元二次方程的有关概念试比较你所学过的各种整式方程，并说明它们的未知数的个数与次数，你能写出各种方程的一般形式吗？重点模块总结例1若(m＋1)xm2＋1＋5x－3＝0是关于x的一元二次方程，则m＝________.1[解析]由题意，得m2＋1＝2，∴m2＝1，则m＝±1，但m＋1≠0，∴m＝1.[点评]由于所给方程是一元二次方程，所以它的二次项系数不能为零，这一点在解题过程中是我们容易忽视的，是一个易错点，希望大家留意．A模块2一元二次方程的解法一元二次方程有哪些解法？各种解法在什么情况下最适用？你能说说“降次”在解一元二次方程中的作用吗？求根公式与配方法有什么关系？例3解下列方程：(1)(x＋6)2－16＝0；(2)x2－6x－6＝0；解：(1)(x＋6)2－16＝0，(x＋6)2＝16，x＋6＝±4，∴x1＝－2，x2＝－10.解：(3)∵a＝2，b＝－2，c＝－1，∴b2－4ac＝(－2)2－4×2×(－1)＝12＞0，例3解下列方程：(3)2x2－2x－1＝0；解：(4)原方程可化为(x－3)(x－3＋4x)＝0，∴x－3＝0或5x－3＝0，例3解下列方程：(4)(x－3)2＋4x(x－3)＝0.【归纳总结】一元二次方程的特征常用解法缺少一次项或形如(mx＋n)2＝p(m≠0，p≥0)的方程直接开平方法方程一边化为0后，另一边能分解因式因式分解法二次项系数为1或者化为1后，一次项系数为偶数配方法易化为一般形式，系数没有以上特殊性公式法模块3一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式是什么？它有什么作用？在一元二次方程的哪种解法中必须要用到根的判别式？例4(1)关于x的方程x2－mx－1＝0的根的情况是(

)A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根

C．没有实数根 D．不能确定[解析]A

Δ＝(－m)2－4×1×(－1)＝m2＋4，∵m2≥0，∴m2＋4＞0，即Δ＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选A.Ak≥－6模块4一元二次方程根与系数的关系一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根x1，x2与系数a，b，c有什么关系？是如何得到这种关系的？2例6已知关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围；(2)若原方程的两个实数根分别为x1，x2，且满足x12＋x22＝|x1|＋|x2|＋2x1x2，求m的值．解：(1)∵方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0有两个不相等的实数根，∴[－2(m＋1)]2－4(m2＋5)＝8m－16＞0，解得m＞2.解：

(2)∵原方程的两个实数根分别为x1，x2，∴x1＋x2＝2(m＋1)，x1x2＝m2＋5.∵m＞2，∴x1＋x2＝2(m＋1)＞0，x1x2＝m2＋5＞0，∴x1＞0，x2＞0.∵x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝|x1|＋|x2|＋2x1x2，∴4(m＋1)2－2(m2＋5)＝2(m＋1)＋2(m2＋5)，即6m－18＝0，解得m＝3.(2)若原方程的两个实数根分别为x1，x2，且满足x12＋x22＝|x1|＋|x2|＋2x1x2，求m的值．【归纳总结】根据根与系数的关系求方程中待定字母的值时，必须结合根的判别式．根与系数的关系成立的条件是根的判别式的值大于或等于0.模块5一元二次方程在实际问题中的应用怎样利用一元二次方程解决实际问题？其一般步骤如何？例7如图是一块矩形铁皮，将四个角各剪去一个边长为2米的正方形，剩下的部分做成一个容积为90立方米的无盖长方体箱子，已知长方体箱子底面的长比宽多4米，求矩形铁皮的面积．[解析]

设矩形铁皮的宽为x米，则长为(x＋4)米，无盖长方体箱子的底面长为(x＋4－4)米，宽为(x－4)米，根据箱子的容积为90立方米建立方程求解即可．解：设矩形铁皮的宽为x米，则长为(x＋4)米．由题意，得x(x－4)×2＝90，解得x1＝9，x2＝－5(舍去)，所以矩形铁皮的长为9＋4＝13(米)，矩形铁皮的面积是13×9＝117(米2)．答：矩形铁皮的面积是117平方米．例8某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若每个玩具每降低1元，每天可多售出2个．已知每个玩具的固定成本为360元，则这种玩具的销售单价为多少元/个时，厂家每天可获利润20000元？解：设销售单价为x元/个，由题意，得(x－360)[160＋2(480－x)]＝20000，整理，得x2－920x＋211600＝0，解得x1＝x2＝460.答：这种玩具的销售单价为460元/个时，厂家每天可获利润20000元．例9为进一步促进义务教育均衡发展，某市加大了基础教育经费的投入，已知2018年该市投入基础教育经费5000万元，2020年投入基础教育经费7200万元．(1)求该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率；(2)如果按(1)中基础教育经费投入的年平均增长率计算，该市计划2021年用不超过当年基础教育经费的5%购买电脑和实物投影仪共1500台，调配给农村学校，若购买一台电脑需3500元，购买一台实物投影仪需2000元，则最多可购买电脑多少台？’解：

(1)设该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为x.根据题意，得5000(1＋x)2＝7200，解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(舍去)．因此，该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为20%.例9为进一步促进义务教育均衡发展，某市加大了基础教育经费的投入，已知2018年该市投入基础教育经费5000万元，2020年投入基础教育经费7200万元．(1)求该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率；(2)如果按(1)中基础教育经费投入的年平均增长率计算，该市计划2021年用不超过当年基础教育经费的5%购买电脑和实物投影仪共1500台，调配给农村学校，若购买一台电脑需3500元，购买