随机变量及分布

2．2．3独立重复实验与二项分布教学目标：知识与技能：理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题。过程与方法：能进行一些与n次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算。情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美,体现数学的文化功能与人文价值。教学重点：理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题教学难点：能进行一些与n次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算教学过程：一、 复习引入：13•相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件若A与B是相互独立事件，则A与B,A与B,A与B也相互独立.14•相互独立事件同时发生的概率：P(A•B)=P(A)•P(B)一般地，如果事件A,A, ,A相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个1 2n事件发生的概率的积，P(A•A，: •A)=P(A)•P(A)• •P(A「1 2 n 1 2 n二、 讲解新课：1+独立重复试验的定义：指在同样条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验+2．独立重复试验的概率公式：一般地，如果在1次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率P(k)=CkPk(1—P)n-k・nn它是［(1—P)+Pb展开式的第k+1项-3.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数£是一个随机变量•如果在一次试验中某事件发生的概率是P,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是P忆=k)=Ckpkqn-k,(k=0,1,2,…，n,q=1—p).nn于是得到随机变量£的概率分布如下：£01•••k•••nPC0p0qnnC1p1qn—1n•••Ckpkqn—kn•••Cnpnq0n

由于Ckpkqn-k恰好是二项展开式n(q+p)n=C0p0qn+C1p1qn-1H FCkpkqn-kH FCnpnq0n n n n中的各项的值，所以称这样的随机变量§服从二项分布(binomialdistribution)，记作§〜B(n,p),其中n,p为参数，并记Ckpkqn一k=b(k；n,p).n三、讲解范例：例1.某射手每次射击击中目标的概率是0.8.求这名射手在10次射击中,恰有8次击中目标的概率；至少有8次击中目标的概率.(结果保留两个有效数字.)解：设X为击中目标的次数，则X〜B(10,0.8).在10次射击中,恰有8次击中目标的概率为P(X=8)=C8x0.8sx(1-O.8)io-8沁0.30.10在10次射击中,至少有8次击中目标的概率为P(X28)=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)C8x0.88x(1-0.8)10-8FC9x0.89x(1-0.8)10-9FC10x0.810x(1-0.8)10-10101010u0.68.例2.(2000年高考题)某厂生产电子元件,其产品的次品率为5%.现从一批产品中任意地连续取出2件,写出其中次品数§的概率分布.解：依题意,随机变量§〜B(2,5%).所以,P(§=0)=C0(95%)2=0.9025,P(§=1)=C1(5%)(95%)=0.095,22P(2=2)=C2(5%)2=0.0025.2因此，次品数§的概率分布是§012P0.90250.0950.0025例3.重复抛掷一枚筛子5次得到点数为6的次数记为§,求P(§>3)(1)解：依题意，随机变量§〜B5,：.I6丿・・・p(§・・・p(§=4)=C45_256=7776，p(§=5)=C55・・.p(§〉3)=p(§=4)+p(§=5)=3888-例4．某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留两个有效数字)：(1)5次预报中恰有4次准确的概率；(2)5次预报中至少有4次准确的概率+解：(1)记“预报1次，结果准确”为事件A.预报5次相当于5次独立重复试验，根据n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率计算公式，5次预报中恰有4次准确的概率P(4)=C4X0.84X(］一0.8)5-4二0.84沁0.4155答：5次预报中恰有4次准确的概率约为0.41.(2)5次预报中至少有4次准确的概率，就是5次预报中恰有4次准确的概率与5次预报都准确的概率的和，即P二P(4)+ P(5)二P(4)二C4 X0.84 X(1-0.8)5-4+ C5X0.85X(1-0.8)5-55 5 5 5 5=0.84+0.85沁0.410+0.328沁0.74答：5次预报中至少有4次准确的概率约为0.74．例5.某车间的5台机床在1小时内需要工人照管的概率都是4，求1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率是多少？(结果保留两个有效数字)解：记事件A=“1小时内，1台机器需要人照管”，1小时内5台机器需要照管相当于5次独立重复试验.1小时内5台机床中没有1台需要工人照管的概率仆°)=(1一4)5=1小时内5台机床中恰有1台需要工人照管的概率仆D=C51X卜(1一所以1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率为P=1-Ip(0)+P(1血0.37.5 5答：1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率约为0.37点评：“至多”，“至少”问题往往考虑逆向思维法四、课堂练习：每次试验的成功率为P(0<P<1)，重复进行10次试验，其中前7次都未成功后3次都成功的概率为()(A)C3p3(1-p)710(B)C3p3(1-p)3 (C)p3(1-p)7(D)p7(1-p)3102.10张奖券中含有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者中，恰有一人中奖的概率为()(A)C3(A)C3x0.72x0.310(B)C1x0.72x0.333(C)10(D)3A2•Ai7 3A3i05．一射手命中10环的概率为0.7，命中9环的概率为0.3，则该射手打3发得到不少于29环的概率为 .(设每次命中的环数都是自然数)—名篮球运动员投篮命中率为60%，在一次决赛中投10个球，则投中的球数不少于9个的概率为.—射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为兽，则此射手的8i命中率为 .9.种植某种树苗，成活率为90%，现在种植这种树苗5棵，试求：⑴全部成活的概率；⑵全部死亡的概率；⑶恰好成活3棵的概率； ⑷至少成活4棵的概率・五、小结：1.独立重复试验要从三方面考虑•第一：每次试验是在同样条件下进行+第二：各次试验中的事件是相互独立的“第三，每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生•如果1次试验中某事件发生的概率是P，那么n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率为P(k)二CkPk(1-P)"七对于此式可以这么理解：由于1次试验中事件A要么nn发生，要么不发生，所以在n次独立重复试验中A恰好发生k次，则在另外的n-k次中A没有发生，即A发生，由P(A)=P，P(A)二1-P•所以上面的公式恰为[(1-P)+P]n展开式中的第k+1项，可见排列组合、二项式定理及概率间存在着密切的联系*2．3离散型随机变量的均值与方差2．3．1离散型随机变量的均值教学目标：知识与技能：了解离散型随机变量的均值或期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望．过程与方法：理解公式“E(ag+b)=aEg+b”,以及“若g丨.B(n,p),则Eg=np”.能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的均值或期望。教学重点：离散型随机变量的均值或期望的概念*教学难点：根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望”教学过程：一、复习引入：离散型随机变量的几何分布：在独立重复试验中，某事件第一次发生时，所作试验的次数§也是一个正整数的离散型随机变量.“ k”表示在第k次独立重复试验时事件第一次发生.如果把k次试验时事件A发生记为A、事件A不发生记为A，kkP(A)=p,P(A)=q(q=l-p)，那么kkTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"P忆=k)=P(AAA厂A)=P(A)P(A)P(A)P(厂)P(A)=qk-1p (k=123 k-1k 1 2 3 k-1 k0,1,2,…，q=1-p•)•.•于是得到随机变量§的概率分布如下:§123 •…kPppqq2p …qk-1p称这样的随机变量§服从几何分布・TOC\o"1-5"\h\z记作g(k,p)=qk-1p，其中k=0,1,2,…，q=1-p•二、讲解新课：根据已知随机变量的分布列，我们可以方便的得出随机变量的某些制定的概率，但分布列的用途远不止于此，例如：已知某射手射击所得环数e的分布列如下456789 10P0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22在n次射击之前，可以根据这个分布列估计n次射击的平均环数•这就是我们今天要学习的离散型随机变量的均值或期望-根据射手射击所得环数e的分布列，我们可以估计，在n次射击中，预计大约有P化=4)xn=0.02n 次得4环；P(E=5)xn=0.04n 次得5环；P点=10)xn=0.22n次得10环.故在n次射击的总环数大约为4x0.02xn+5x0.04xnH b10x0.22xn=(4x0.02+5x0.04H b10x0.22)xn，从而，预计n次射击的平均环数约为4x0.02+5x0.04+•••+10x0.22=8.32.这是一个由射手射击所得环数的分布列得到的，只与射击环数的可能取值及其相应的概率有关的常数，它反映了射手射击的平均水平．对于任一射手，若已知其射击所得环数E的分布列，即已知各个P(E=i)(i=0,1,2,…,10),我们可以同样预计他任意n次射击的平均环数：0xP忆=0)+1xP(g=1)+…+10xP(g=10).1.均值或数学期望：一般地，若离散型随机变量d的概率分布为dx1x2•••xn•••pp1p2•••pn•••则称Eg=xp+xp+…+xp+…为d的均值或数学期望，简称期望.11 22 nn均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平+平均数、均值:一般地，在有限取值离散型随机变量d的概率分布中，令p1=p2=…11—p，则有p=p=…=p= ，Eg=(x+x+…+x)x，所以d的数学期望又n 1 2 nn 1 2 nn称为平均数、均值+均值或期望的一个性质:若耳=ag+b(a、b是常数)，d是随机变量，则n也是随机变量，它们的分布列为dx1x2•••xn•••nax+b1ax+b2•••ax+bn•••pp1p2•••pn•••于是Eq=(ax+b)p+(ax+b)p+ +(ax+b)p+—1 1 2 2 nn=a(xp+xp+…+xp+…)+b(p+p+…+p+…)11 22 nn 1 2 n=aEg+b，由此，我们得到了期望的一个性质：E(ag+b)=aEg+b5.若gL_B(n,p),则Eg=np证明如下：•/ P(g=k)=Ckpk(l-p)n-k=Ckpkqn-k，nn

Eg=0XC0p0qn+1xCipiqn-1+2XC2p2qn-2-| \-kxCkpkqn-k-| \-nXn n n nCnpnq0．nn!nn!n・(n-1)!又, kCn=k•k!(n-k)!=(k-1)![(n-1)-(k-1)]!="C：；'Eg=np(C0p0nq-1-C1p1qn-2-…-Ck-1pk-1q(n-1)-(k-1)-…-n-1 n-1 n-1Cn-1pn-1q0)=np(p+q)n-1=np.n-1故若F〜B(n,p),则Eg=np.三、讲解范例：例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分,罚不中得0分,已知他命中的概率为0.7,求他罚球一次得分g的期望.解：因为P(g=1)=0.7,p(g=0)=0.3，所以Eg=1x0.7+0x0.3=0.7+例4.随机抛掷一枚骰子，求所得骰子点数g的期望-解：TP(g=i)=1/6,i=1,2,…心,Eg=1x1/6+2x1/6H F6x1/6=3.5-d123456P1d123456P111111666666所以Eg11=1X+2X—-3X1+4X11+5X-1+6X—6666661=(1+2+3+4+5+6)X =3.5.6抛掷骰子所得点数d的数学期望，就是d的所有可能取值的平均值.四、课堂练习：口袋中有5只球，编号为1,2,3,4,5,从中任取3球，以g表示取出球的最大号码，则Eg=( )A.4； B.5； C.4.5； D.4.75+答案：C-篮球运动员在比赛中每次罚球命中的1分,罚不中得0分.已知某运动员罚球命中的概率为0.7,求⑴他罚球1次的得分§的数学期望；⑵他罚球2次的得分n的数学期望；⑶他罚球3次的得分§的数学期望.解：⑴因为P(g=1)=0.7,P(g=0)=0.3，所以Eg=1XP(g=1)+0XP(g=0)=0.7⑵。的概率分布为n0 1 2P 0.32 C1X0.7X0.3 0.722所以 Eg=ox0.09+1X0.42+2X0.98=1.4.(3)§的概率分布为§0123P0.33C1x0.7x0.323C2x0.72x0.330.73所以Eg=ox0.027+1X0.189+2X0.98=2.1.五、 小结：(1)离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；(2)求离散型随机变量d的期望的基本步骤：①理解d的意义，写出d可能取的全部值；②求d取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出 E^公式E(ag+b)=aEg+b,以及服从二项分布的随机变量的期望Eg=np+六、 课后作业：P64-65练习1,2,3,4P69A组1,2,3一袋子里装有大小相同的3个红球和两个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望 (用数字作答)解：令取取黄球个数g(=0、1、2)则g的要布列为g012331p10510331于疋E(g)=0X+1X+2X=0.810 5 10故知红球个数的数学期望为1.2一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，含红球个数的数学期望是1.2 •解：从5个球中同时取出2个球，出现红球的分布列为g012PC2—=0.1C25C1-C1~2=0.6C25C2—=0.3C25:、Eg=0x0.1+1x0.6+2x0.3=1.22．3．2离散型随机变量的方差教学目标：知识与技能：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。过程与方法：了解方差公式“D(a§+b)=aD§”，以及“若§〜B(n,p),则D§=np(1—p)”,并会应用上述公式计算有关随机变量的方差。教学重点：离散型随机变量的方差、标准差.教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题教学过程：一、复习引入：9.数学期望：一般地，若离散型随机变量d的概率分布为dx1x2•••xn•••pp1p2•••pn•••则称Eg=xp+xp+…+xp+…为d的数学期望，简称期望.1122nn10.数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平*11平均数、均值:在有限取值离散型随机变量d的概率分布中，令p=p=…=p，12n11则有p=p=…=p= ，Eg=(x+x+…+x)x，所以d的数学期望又称为平12nn12nn均数、均值+期望的一个性质：E(ag+b)=aEg+b若g丨B(n,p),则Eg=np*二、讲解新课：方差：对于离散型随机变量f，如果它所有可能取的值是x,x，…，x，…，12n且取这些值的概率分别是p，p，…，p，…，那么,12nDg=(x-Eg)2-p+(x-Eg)2-p-| \-(x-Eg)2-p-|—1122nn称为随机变量f的均方差，简称为方差，式中的Eg是随机变量f的期望.标准差：Dg的算术平方根fDg叫做随机变量f的标准差，记作Qg.方差的性质：(1)D(ag+b)二a2Dg；(2)Dg=Eg2-(Eg)2；(3)若f〜B(n，p)，则Dg=np(1-p)・其它：(1)随机变量f的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；⑵随机变量f的方差、标准差也是随机变量f的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛三、讲解范例：例1.随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、方差和标准差.解：抛掷散子所得点数X的分布列为g123456P111111666666从而111111EX=lx—+2x—+3x_+4x—+5x—+6x_=3.5；666666DX=(1-3.5)2x1+(2-3.5)2x1+(3-3.5)2x1+(4-3.5)2x16666+(5-3.5)2x1+(6-3.5)2x1沁2.9266bX=4DX沁1.71.例3.设随机变量§的分布列为§12•••nP11•••1nnn求D§-解：(略)Eg=*，Dg=罟.例4.已知离散型随机变量g］的概率分布为g112345671111111P7777777离散型随机变量g2的概率分布为g23.73.83.944.14.24.3F)1111111P7777777求这两个随机变量期望、均方差与标准差.解：Eg=1x—+2x—h f7x—=4；TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"7 7 7Dg=(1-4)2x-+(2-4)2x-+•••+(7-4)2x—=4；eg= =2.7 7 7i'iEg=3.7x—+3.8x—+•••+4.3x—=4；\o"CurrentDocument"7 7 7Dg2=0.04,理=4D\=0.2.点评：本题中的g和g都以相等的概率取各个不同的值，但g的取值较为分散，g的i2 i 2取值较为集中.Eg=Eg=4，Dg=4，Dg=0.04，方差比较清楚地指出了g比gi2 i 2 2i取值更集中.bg=2，bg=0.02，可以看出这两个随机变量取值与其期望值的偏差’12例6．A、B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示：A机床 B机床次品数g次品数g10123概率P0.70.20.060.04次品数g]0123概率P0.80.060.040.10问哪一台机床加工质量较好+解：Eg]=0X0.7+1X0.2+2X0.06+3X0.04=0.44,Eg=0X0.8+1X0.06+2X0.04+3X0.10=0.44.2它们的期望相同，再比较它们的方差+Dg=（0-0.44）2X0.7+（1-0.44）2X0.2+（2-0.44）2X0.06+（3-0.44）2X0.04=0.6064,Dg=（0-0.44）2X0.8+（1-0.44）2X0.06+（2-0.44）22X0.04+（3-0.44）2X0.10=0.9264..•・Dg$Dg2故A机床加工较稳定、质量较好.四、课堂练习：1.已知E〜B(n,p),E^=&D^=1.6，则n,p的值分别是( )A.100和0.08； b.20和0.4； c.10和0.2； d.10和0.8+答案：1.D •一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止.求在取得正品之前已取出次品数的期望.分析：涉及次品率；抽样是否放回的问题.本例采用不放回抽样，每次抽样后次品率将会发生变化，即各次抽样是不独立的.如果抽样采用放回抽样，则各次抽样的次品率不变，各次抽样是否抽出次品是完全独立的事件.解：设取得正品之前已取出的次品数为g，显然g所有可能取的值为0,1,2,3当g=0时，即第一次取得正品，试验停止，则P（g=0）P（g=0）9312当g=1时，即第一次取出次品，第二次取得正品，试验停止，则P（gP（g=1）399=x=——12/19当E=2时，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，试验停止，则299TOC\o"1-5"\h\zP(§=2)=—xx= —s121110220当E=3时，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，试验停止，则P(E=3)32 191=xxx—= —1211109220所以，Eg0x所以，Eg0x3+1x—+2x4 449220122010型+5x—+25x丄+100x—=0.2400 50 500 2000五、小结：⑴求离散型随机变量§的方差、标准差的步骤：①理解§的意义，写出§可能取的全部值；②求§取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出E§；④根据方差、标准差的定义求出 Dg、bg•若§〜B(n，p)，则不必写出分布列，直接用公式计算即可．⑵对于两个随机变量g和g，在Eg和Eg相等或很接近时，比较Dg和12121Dg，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要22．4正态分布教学目标：知识与技能：掌握正态分布在实际生活中的意义和作用。过程与方法：结合正态曲线，加深对正态密度函数的理理。情感、态度与价值观：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质。教学重点：正态分布曲线的性质、标准正态曲线N(0,1)。教学难点：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质。复习引入：总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线．

总体密度曲线它反映了总体在各个范围内取值的概率.根据这条曲线，可求出总体在区间(a,b)内取值的概率等于总体密度曲线，直线x=a，x=b及x轴所围图形的面积.观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示：1 _（x一从）2p（x）= e_202,xe（一8,+8）卩Q 2兀G式中的实数卩、oQ>0)是参数，分别表示总体的平均数与标准差， p(X)的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线．讲解新课：

P(a<X<B)=ib申(x)dxaHQ '则称X的分布为正态分布(normaldistribution).正态分布完全由参数卩和◎确定,因此正态分布常记作N(PQ2).如果随机变量X服从正态分布，则记为X〜N(PQ2).经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布.例如，高尔顿板试验中，小球在下落过程中要与众多小木块发生碰撞，每次碰撞的结果使得小球随机地向左或向右下落，因此小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标X是众多随机碰撞的结果，所以它近似服从正态分布.在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布.例如长度测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等；正常生产条件下各种产品的质量指标(如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等)；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等；一般都服从正态分布.因此，正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中.正态分布在概率和统计中占有重要的地位.说明：1参数H是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去佑计;◎是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计.2.早在1733年，法国数学家棣莫弗就用n!的近似公式得到了正态分布.之后，德国数学家高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它，并研究了它的性质，因此，人们也称正态分布为高斯分布.2.正态分布N(HQ2))是由均值|j和标准差O唯一决定的分布通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响+

3．通过对三组正态曲线分析，得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、左右对称•正态曲线的作图，书中没有做要求，教师也不必补上•讲课时教师可以应用几何画板，形象、美观地画出三条正态曲线的图形，结合前面均值与标准差对图形的影响，引导学生观察总结正态曲线的性质4．正态曲线的性质：（1） 曲线在x轴的上方，与x轴不相交+（2） 曲线关于直线x=p对称•（3） 当x=p时，曲线位于最高点亠（4） 当xVp时，曲线上升（增函数）；当x>p时，曲线下降（减函数）•并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近•

p一定时，曲线的形状由O确定-O越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；O越小•曲线越“瘦高”总体分布越集中：五条性质中前三条学生较易掌握，后两条较难理解，因此在讲授时应运用数形结合的原则，采用对比教学・5.标准正态曲线:当p=0、o=l时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示1 X2.式是f(x)= e2，(-8<xv+b)2n其相应的曲线称为标准正态曲线・标准正态总体N(0,1)在正态总体的研究中占有重要的地位.任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题•讲解范例：例1.给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值p和标准差O•1 -XL(1)f(x)=e"2,xe(一8,+8)J2兀1 一(x-])2(2)f(x)= e一8,xe(-8,+8)f(x)=2J2兀f(x)=e-2(x+i)2,xe(-8,+8)\：2n答案：(1)0，1；(2)1，2；(3)-1，0.5例2求标准正态总体在(-1，2)内取值的概率解：利用等式p"(9-①W)有p=O(2)-①(-1)=O(2)-{-①L(-1)]}=①(2)+①(1)-1=0.9772+0.8413—1=0.8151.1.标准正态总体的概率问题:

对于标准正态总体N(0,1),①(x)是总体取值小于x的概率，00即①(x)=P(x<x),00其中x>0,图中阴影部分的面积表示为概率P(x<x)+只要有标准正态分布表即可查表00解决•从图中不难发现：当x<0时，①(x)二1—①(―x)；而当x二0时，①(0)=0.500002.标准正态分布表标准正态总体N(0,1)在