随机过程课文例题(考试必备)

定义1.10设随机变量X的分布函数为F(x),称g(t)==d==E(eitx)=j8eitxdF(x),—a<t<a—g为X的特征函数.特征函数的性质:(1)g(0)=1, |g(t)|Wl,g(-t)=g(t).⑵g(t)在(-88)上一直连续.⑶若随机变量X的n阶矩EXn存在，则X的特征函数g(t)可微分n次，且当kWn时，有g(k)(0)=ikEXk。⑷g(t)是非负定函数。即对任意正整数n及任意实数t,t,t...,t和复数z,z，…，z,1 2 3n 1 2n有Yg(t—t)zz>0。klklk,l=1⑸若x，XX是相互独立随机变量，侧X=X+X+...+X的特征函数12n12ng(t)=g(t)g(t)...g(t)其中g(t)是随机变量X的特征函数,i=1,2，•…n.1 2 n i i(6)随机变量的分布函数由其特征函数唯一确定。例1.2设X服从B(n,p),求X的特征函数g(t)及EX、EX2、DX。解X的分布例为P(X=k)=ckpkqn—k,q=1—p,k=0,1,...n,ng(t)=Yeitkckpkqn—k=Yck(peit)kqn—knnk=0 k=0=(peit+q)n。又性质知t=0=np,EX=—ig'(0)=—i—(pet=0=np,=npq+n2p2,t=0EX2=(—i)2g''(0)==npq+n2p2,t=0dt2DX=EX2—(EX)2=npq例1・3设X~N(0,1),求X的特征函数g(t).

seit-亍dx.-8.x2 x2 ]『 x2-由于|ixeitx-2|=Ixle—2，且 J81xIe—2dx.vs,故可对(1,2)式右端在积分号求导，2兀-81J8ixeitx-；dx二二J8eitx(de-1)—8i •x2=ixeltx-2*2兀8-.1 Ji •x2=ixeltx-2*2兀-8 2兀-8=—tg(t)，于是得微分方程g于是得微分方程g'(t)-tg(t)二0分离变量方程有譬一血两边积分的Ing(t)二-2t2+c,2故方程通解为g(t)=e由于g(0)=1，所以c=0,于是X得特征函数为g(t)=e~2例1.4随机变量X的特征函数为g(t),Y=aX+b，其中a,b为任意实数，证明Y的特征X函数g(t)为 g(t)=eitbgx(at).YY证gY(t)=E[eit(aX+b)]=E[ei(ta)Xeitb]=eitbE[ei(ta)X]=eitbg(at)x定义1.12设X是非负整数值随机变量,分布列p=P(X=k),k=0,1, ,k则称P(s)==d==E(sx)=£pskkk=0为X的母函数。母函数有以下性质：非负整数随机变量的分布列有其母函数唯一确定设P⑸是X的母函数，若EX存在，则EX=P'(1),若DX存在，贝I」DX=P''(1)+P'(1)-[P'(1)]2.3)独立随机变量只和的母函数等于母函数之积.(4)若X,X,…是相互独立且同分布的非负整数值随机变量，N是与X,X，•…独立1212的非负整数随机变量，则Y二迓X的母函数H(S)二G(P(s))，其中G(s)、P(s)kk=1分别是N、X的母函数。1例1・6 设商场在一天的顾客数N服从参数九=1000的泊松分布，又设每位顾客所花费的钱X服从N(100,502)，求商店的日销售额Z的平均值。i解由条件可知EN=1000，EX=100,故由(1.6)式EZ=EN•EX=1000x100=100000(元)1例1・7设商场一天内的顾客到达人数N是参数为九的泊松随机变量，每个顾客在该商场的消费是相互独立的。其消费金额(元)都服从［0,a］上的均匀分布，求商场一天平均营业额。解：记X为商场一天的营业额，Y为第i个顾客在商场的消费金额i=1,2,...,N，则iX仝Y。ii=1九kP(N=k)=——e-九,k=0,1,2,...,k!1EY=—a,i=1,2,....Ni2由(1.8)式EX=另E(XIN=k)P(N=k)k=0=艺E(EY|N=k)P(N=k)ik=oi=1=EE(Ey)P(N=k)ik=o i=1=Ek•EY•P(N=k)1k=o=EY k•P(N=k)1=EY•EN=—a九(元)12第二章例2.5设随机过程X(t)=Ycos(0t)+Zsin(0t),t>0,其中,Y、Z是相互独立的随机变量，且EY=EZ=0,DY=DZ 2，求｛x(t),t>0｝的均值函数m(t)和协方差函数B(s，t).XX解由数学期望的性质EX(t)二E[Ycos(6t)+Zsin(6t)]二cos©)EY+sin©)EZ二0因为Y与Z相互独立，故B(s,t)二R(s,t)二E[X(s)X(t)]Xx=E[Ycos(0s)+Zsin(0s)][Ycos©)+Zsin©)]=cos(0s)cos(0t)E(Y2)+sin(0s)sin(0t)E(Z2)=c2cos[(t-s)0].定义2.4设｛X(t),teT｝,｛Y(t),teT｝是两个二阶矩过程，侧称B(s,t)二二d二二E[(X(s)-m(s))(Y(t)-m(t))],s,teTXY X Y为｛X(t),teT｝与｛Y(t),teT｝的互协方差函数，称R(s.t)二二d二二E[X(s)Y(t)]XY为｛X(t),teT｝与｛Y(t),teT｝的互相关函数.如果对任意s,teT,有B(s,t)二0,则称｛X(t),teT｝与｛Y(t),teT｝互不相XY关.显然有R(s.t)二R(s,t)-m(s)m(t).XY XY X Y例2.8设X(t)为信号过程,Y(t)为噪声过程.令W(t)二X(t)+Y(t),则W(t)的均值函数为m(t)=m(t)+m(t),W X Y其相关函数为R(s,t)二E[x(s