第27章 相似【培优卷】（解析版）

第二十七章相似三角形培优卷满分120分一、单选题1.(3分)已知四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的周长分别为24、36，则它们对角线AC与A′C′的比为（

）

A.

2：3

B.

3：2

C.

4：9

D.

9：4【答案】A【考点】相似多边形的性质【解析】【解答】解：如图，连接AC、A′C′∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，∴=，∠B=∠B′，∴△ABC∽△A′B′C′，∴==QUOTE24362436=QUOTE2323，故答案为：A．【分析】连接AC、A′C′,根据已知易证△ABC∽△A′B′C′，就可证得对角线之比等于相似比，然后根据周长比等于相似比，可解答。2.(3分)如图，已知DE为△ABC的中位线，△ADE的面积为3，则四边形DECB的面积为（

）A.

6

B.

8

C.

9

D.

12【答案】C【考点】相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：∵DE为△ABC的中位线，∴DE∥BC，2DE＝BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝（QUOTE𝐷𝐸𝐵𝐶𝐷𝐸𝐵𝐶）2＝QUOTE1414，∴S△ABC＝4S△ADE＝12，∴四边形DECB的面积为12﹣3＝9，故答案为：C.【分析】利用三角形中位线定理可证得DE∥BC，2DE＝BC，可以推出△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，就可求出△ABC的面积，然后求出四边形DECB的面积。3.(3分)“相似的图形”是（

）A.

形状相同的图形

B.

大小不相同的图形

C.

能够重合的图形

D.

大小相同的图形【答案】A【考点】相似图形【解析】【解答】解：相似图形是形状相同的图形，大小可以相同，也可以不同，故选A．【分析】根据相似形的定义直接进行判断即可．4.(3分)如图，在△ABC中，点D是BC边上任一点，点F，G，E分别是AD，BF，CF的中点，连结GE，若△FGE的面积为8，则△ABC的面积为(

)A.

32

B.

48

C.

64

D.

72【答案】C【考点】三角形的角平分线、中线和高，相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：∵

点G，E分别是BF，CF的中点，

∴GE∥BC，GE=QUOTE1212BC，

∴△FEG∽△FBC，

∴，

∵△FGE的面积为8，

∴△FBC的面积为32，

∵点F是AD的中点，

∴S△AFB=S△FBD，S△ACF=S△CDF，

∴S△AFB+S△ACF=S△FBD+S△CDF=S△FBC=32，

∴S△ABC=S△AFB+S△ACF+S△FBC=64.

故选C.【分析】根据三角形中位线定理可得GE∥BC，GE=QUOTE1212BC，利用平行线可证△FEG∽△FBC，利用相似三角形的性质可得，从而可得△FBC的面积为32.根据三角形的等底同高可得S△AFB=S△FBD，S△ACF=S△CDF，从而可得S△AFB+S△ACF=S△FBD+S△CDF=S△FBC=32，由S△ABC=S△AFB+S△ACF+S△FBC即可求出结论.5.(3分)已知△ABC的三边长分别为6cm，7.5cm，9cm，△DEF的一边长为4cm，当△DEF的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似（）A.

2cm，3cm

B.

4cm，5cm

C.

5cm，6cm

D.

6cm，7cm【答案】C【考点】相似三角形的判定【解析】解答：设△DEF的另两边为xcm，ycm，若△DEF中为4cm边长的对应边为6cm，则：==，解得：x=5，y=6；若△DEF中为4cm边长的对应边为7.5cm，则：==，解得：x=3.2，y=4.8；若△DEF中为4cm边长的对应边为9cm，则：==解得：x=，y=；故选C．分析：根据三边对应成比例的三角形相似，即可求得．注意△DEF中为4cm边长的对应边可能是6cm或7.5cm或9cm，所以有三种情况．6.(3分)如图，在正方形ABCD中，G为CD的中点，连结AG并延长，交BC边的延长线于点E，对角线BD交AG于点F，已知AF=2，则线段AE的长是（

）A.

4

B.

6

C.

8

D.

10【答案】B【考点】正方形的性质，相似三角形的性质，三角形的中位线定理【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，

∴AB＝CD，AB∥CD，

∴∠ABF＝∠GDF，∠BAF＝∠DGF，

∴△ABF∽△GDF，

QUOTE𝐴𝐹𝐹𝐺=𝐴𝐵𝐷𝐺𝐴𝐹𝐹𝐺=𝐴𝐵𝐷𝐺，

∴FG＝QUOTE1212AF＝1，

∴AG＝3．

∵CG∥AB，AB＝CD=2CG，

∴CG为△EAB的中位线，

∴AE＝2AG＝6．

故答案为：B．

【分析】根据正方形的性质可得出AB∥CD，进而可得出△ABF∽△GDF，由相似三角形的性质可得出QUOTE𝐴𝐹𝐹𝐺=𝐴𝐵𝐷𝐺𝐴𝐹𝐹𝐺=𝐴𝐵𝐷𝐺＝2，结合AF＝2可求出FG、AG的长度，由CG∥AB、AB＝2CG可得出CG为△EAB的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度．7.(3分)已知抛物线y=–x2+1的顶点为P，点A是第一象限内该二次函数图像上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图像于点B，分别过点B，A作x轴的垂线，垂足分别为C，D，连接PA，PD,PD交AB于点E，△PAD与△PEA相似吗？（

）A.

始终相似

B.

始终不相似

C.

只有AB=AD时相似

D.

无法确定【答案】A【考点】相似三角形的判定与性质，二次函数y=ax^2+bx+c的性质【解析】【解答】解：令x=0，则y=1，∴OP=1，设A（m，﹣m2+1），即AD=﹣m2+1，∵AB⊥y轴，AD⊥x轴，∴AF=OD=m，OF=﹣m2+1，PF=m2，在Rt△PAF中，PA2=PF2+AF2=（m2）2+m2=m4+m2，在Rt△POD中，PD=QUOTE𝑂𝑃2+𝑂𝐷2=1+𝑚2𝑂𝑃2+𝑂𝐷2=1+𝑚2，由AB∥x轴得，△PEF∽△PDO，∴QUOTE𝑃𝐹𝑂𝑃=𝑃𝐸𝑃𝐷𝑃𝐹𝑂𝑃=𝑃𝐸𝑃𝐷，即QUOTE𝑚21=𝑃𝐸1+𝑚2𝑚21=𝑃𝐸1+𝑚2，解得PE=m2QUOTE1+𝑚21+𝑚2，∴PA2=PD·PE=m4+m2，∴QUOTE𝑃𝐴𝑃𝐷=𝑃𝐸𝑃𝐴𝑃𝐴𝑃𝐷=𝑃𝐸𝑃𝐴，∵∠APE=∠DPA，∴△PAD∽△PEA，则△PAD与△PEA始终相似.故答案为：A.【分析】根据抛物线与y轴交点的坐标特点求出点P的坐标，从而求出OP的长，根据点的坐标与图形的性质设点A的坐标为A（m，﹣m2+1），根据矩形的性质及点到坐标轴的距离公式即可得出AF=OD=m，OF=﹣m2+1，进而根据线段的和差得出PF=m2，在Rt△POD中，根据勾股定理表示出PD，根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出△PEF∽△PDO，根据相似三角形对应边成比例得出QUOTE𝑃𝐹𝑂𝑃=𝑃𝐸𝑃𝐷𝑃𝐹𝑂𝑃=𝑃𝐸𝑃𝐷，根据比例式表示出PE的长，在Rt△PAF中根据勾股定理表谁出PA2，进而即可得出PA2=PD·PE，即QUOTE𝑃𝐴𝑃𝐷=𝑃𝐸𝑃𝐴𝑃𝐴𝑃𝐷=𝑃𝐸𝑃𝐴，根据两组边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似得出△PAD∽△PEA，故△PAD与△PEA始终相似.8.(3分)如图，在平面直角坐标系中，动点A、B分别在x轴上和函数y=x的图象上，AB＝4，CB⊥AB，BC＝2，则OC的最大值为（

）A.

2QUOTE22＋2

B.

2QUOTE22＋4

C.

2QUOTE55

D.

2QUOTE55＋2

【答案】A【考点】勾股定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：作以B为圆心，以2为半径的圆，当OC∥AB时最大，此时OC与圆B相切，过B作BE⊥x轴于E，过A作AD⊥OC于D，∵BC⊥AB，OC⊥BC，∴四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=2，CD=AB=4，点B在y=x上，点A在x轴上，设A（n，0），B（m，m），∵∠OAD+∠BAE=90°，∠BAE+∠ABE=90°，∴∠OAD=∠ABE，又∠ODA=∠AEB=90°，∴△AOD∽△BAE，∴QUOTEADBE=OAABADBE=OAAB即QUOTE2m=n42m=n4，∴QUOTE𝑚𝑛=8𝑚𝑛=8在RtABE中，AE=m-n，由勾股定理得：QUOTE(m-n)2+m2=16(m-n)2+m2=16，QUOTE2m2−2mn+𝑛2=162m2−2mn+𝑛2=16，QUOTE2m2+𝑛2=322m2+𝑛2=32，QUOTE{2m2+𝑛2=32mn=8{2m2+𝑛2=32mn=8，QUOTE2m2+(8m)2=322m2+(8m)2=32，QUOTE2𝑚4+64=32𝑚22𝑚4+64=32𝑚2，QUOTE𝑚4−16𝑚2+32=0𝑚4−16𝑚2+32=0，，QUOTE𝑚2=8卤42𝑚2=8卤42，∵2QUOTE<<mQUOTE<<4，∴4QUOTE<<m2QUOTE<<16，QUOTE𝑚2=8+42𝑚2=8+42，在Rt△OAD中，OD=，，QUOTE=28−2𝑚2=28−2𝑚2，QUOTE=28−2(8+42)=28−2(8+42)，QUOTE=12−82=12−82，QUOTE=(22−2)2=(22−2)2，，∴OD，OC=OD+DC=，故答案为：A.

【分析】作以B为圆心，以2为半径的圆，当OC//AB时最大，此时OC与圆B相切，过B作BE⊥x轴于E，过A作AD⊥OC于D，可证四边形ABCD为矩形，可得AD=BC=2，CD=AB=4，由点B在y=x上，点A在x轴上，设A(n,0)，B(m,m)，可证∠AOD∽△BAE，由相似三角形的性质可得QUOTE2m=n42m=n4，即mn=8，由勾股定理得：(m-n)2+m2=16，联立解得，由2<m<4，可确定m2=8+4QUOTE22，在Rt△OAD中，由勾股定理OD=，则由线段和差关系求得OC长.9.(3分)如图，在矩形QUOTE𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴𝐵𝐶𝐷中，QUOTE𝐴𝐵=3𝐴𝐵=3，QUOTE𝐴𝐷=4𝐴𝐷=4，QUOTE𝐶𝐸𝐶𝐸平分，与对角线QUOTE𝐵𝐷𝐵𝐷相交于点QUOTE𝑁𝑁，QUOTE𝐹𝐹是线段QUOTE𝐶𝐸𝐶𝐸的中点，则下列结论中：①QUOTE𝑂𝐹=56𝑂𝐹=56；②QUOTE𝑂𝑁=2526𝑂𝑁=2526；③；④，正确的有（

）个A.

1

B.

2

C.

3

D.

4【答案】C【考点】矩形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的中位线定理【解析】【解答】如图，过点E作，∵CE是的角平分线，，，∴BE=EG，∴GC=BC=4，又∵QUOTE𝐴𝐵=3𝐴𝐵=3，QUOTE𝐴𝐷=4𝐴𝐷=4，∴AC=5，∴AG=1，在Rt△AGE中，，得QUOTE𝐴𝐸=53𝐴𝐸=53，QUOTE𝐵𝐸=43𝐵𝐸=43，∵O、F分别是AC、EC的中点，∴，∴，∴QUOTE𝑂𝐹𝐴𝐸=𝑂𝐶𝐴𝐶=12𝑂𝐹𝐴𝐸=𝑂𝐶𝐴𝐶=12，∴QUOTE𝑂𝐹=12𝐴𝐸=56𝑂𝐹=12𝐴𝐸=56，故①符合题意；由得，∴，，∵，∴，∴，∴QUOTE𝑁𝑂=2526𝑁𝑂=2526，故②符合题意；∵QUOTE𝐸𝐶=𝐸𝐵2+𝐵𝐶2=4103𝐸𝐶=𝐸𝐵2+𝐵𝐶2=4103，∴，故④不符合题意；∵QUOTE𝑁𝑂=2526𝑁𝑂=2526，∴QUOTE𝐵𝑁=2013𝐵𝑁=2013，∴QUOTE𝑂𝑁𝐵𝑁=58𝑂𝑁𝐵𝑁=58，∴△NOF与△NBE的相似比是，，∵∴，同理可得：，∴，故③符合题意；故答案选：C．【分析】过点E作，证明，可得到①，根据平行证出，根据比例可得到②，根据勾股定理求出EC，再由正弦的意义可得出④，根据已知线段的长度，可求出△NOF与△NBE的相似比是，分别计算△NOF和△OFC的面积相加即可；10.(3分)在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD边上的两个动点，∠EAF＝45°，下列几个结论中：①EF＝BE＋DF；②MN2＝BM2＋DN2；③FA平分∠DFE；④连接MF，则△AMF为等腰直角三角形；⑤∠AMN＝∠AFE.其中一定成立的结论有（

）A.

2个

B.

3个

C.

4个

D.

5个【答案】D【考点】三角形全等的判定，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质【解析】【解答】∵四边形ABCD正方形，∴AB=AD，，∴将绕点A逆时针旋转QUOTE90掳90掳得到，如图所示，则AH=AE，，∴，∴，∵AF=AF，∴，∴EF=FH=DF+DH=DF+BE，故①正确；如图所示，将绕点A逆时针旋转QUOTE90掳90掳得到，连接NG，易证，是直角三角形，∴MN=GN，∴QUOTE𝑀𝑁2=𝑁𝐺2=𝐷𝑁2+𝐷𝐺2=𝐷𝑁2+𝐵𝑀2𝑀𝑁2=𝑁𝐺2=𝐷𝑁2+𝐷𝐺2=𝐷𝑁2+𝐵𝑀2,故②正确；由①可得，，∴，∴FA平分∠DFE，故③正确；∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠BDC=45°，∵∠MAN=45°，∴∠BDC=∠MAN，∴点A，M，F，D四点共圆，∵∠ADF=90°，∴∠AMF=90°，∴则△AMF为等腰直角三角形，故④正确；由∠MAN＝∠FDN=45°，，可得到，∴,又∵，∴∠AMN＝∠AFE，故⑤正确；故答案为：D.【分析】通过图形的旋转，得到，证明，可得①正确；将绕点A逆时针旋转QUOTE90掳90掳得到，连接NG，证得，可得②正确；根据可得③正确；由∠BDC=∠MAN=45°，可得点A，M，F，D四点共圆，进而可得到④正确；通过证明三角形相似可得⑤正确；二、填空题11.(4分)如图，一次函数QUOTE𝑦=43𝑥+𝑏𝑦=43𝑥+𝑏的图象与y轴交于点QUOTE𝐵(0,3)𝐵(0,3)，与反比例函数QUOTE𝑦=𝑘𝑥(𝑥<0)𝑦=𝑘𝑥(𝑥<0)的图象交于点QUOTE𝐷(𝑚,𝑛)𝐷(𝑚,𝑛)．以QUOTE𝐵𝐷𝐵𝐷为对角线作矩形QUOTE𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴𝐵𝐶𝐷，使顶点QUOTE𝐴𝐴，QUOTE𝐶𝐶落在QUOTE𝑥𝑥轴上（点QUOTE𝐴𝐴在点QUOTE𝐶𝐶的右边），QUOTE𝐵𝐷𝐵𝐷与QUOTE𝐴𝐶𝐴𝐶交于点QUOTE𝐸𝐸．则QUOTE𝑘=𝑘=________．【答案】QUOTE272272【考点】矩形的性质，相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：过点D作DF∥x轴，交y轴于点F，如图所示．∵直线QUOTE𝑦=43𝑥+𝑏𝑦=43𝑥+𝑏经过点，∴QUOTE𝑏=3𝑏=3．∴OB=3．∴一次函数的解析式为QUOTE𝑦=43𝑥+3𝑦=43𝑥+3．∵四边形ABCD是矩形，∴QUOTE𝐵𝐸=𝐷𝐸=12𝐵𝐷𝐵𝐸=𝐷𝐸=12𝐵𝐷．∵QUOTE𝐷𝐹//𝑥𝐷𝐹//𝑥轴，∴．∴QUOTE𝐵𝑂𝐵𝐹=𝐵𝐸𝐵𝐷=12𝐵𝑂𝐵𝐹=𝐵𝐸𝐵𝐷=12．∴QUOTE𝐵𝑂=12𝐵𝐹𝐵𝑂=12𝐵𝐹．∴点O是BF的中点．∴OF=OB=3．∴．∴．∵点在直线QUOTE𝑦=43𝑥+3𝑦=43𝑥+3上，∴解得，．∴．∵点在双曲线QUOTE𝑦=𝑘𝑥(𝑥<0)𝑦=𝑘𝑥(𝑥<0)上，∴．故答案为：QUOTE272272．【分析】先求出一次函数的解析式为QUOTE𝑦=43𝑥+3𝑦=43𝑥+3，再求出，最后求解即可。12.(4分)如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC=∠ACB，AD=4，BD=5,则边AC的长为________．【答案】6【考点】相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：∵∠ADC=∠ACB，∠A=∠A，

∴△ACD∽△ABC，

∴QUOTE𝐴𝐶𝐴𝐵=𝐴𝐷𝐴𝐶𝐴𝐶𝐴𝐵=𝐴𝐷𝐴𝐶

∵

AD=4，BD=5，

∴AB=9，

∴QUOTE𝐴𝐶9=4𝐴𝐶𝐴𝐶9=4𝐴𝐶，

∴AC=6.

故答案为：6.【分析】根据两角分别相等的两个三角形相似，可证△ACD∽△ABC，由相似三角形对应边成比例，可得QUOTE𝐴𝐶𝐴𝐵=𝐴𝐷𝐴𝐶𝐴𝐶𝐴𝐵=𝐴𝐷𝐴𝐶，代入相应数据计算即得.

13.(4分)如图，在△ABC中，D、E分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：4，则S△BDE：S△ACD＝________.【答案】1：20【考点】相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：∵S△BDE：S△DEC＝1：4，∴BE：EC＝1：4，∴BE：BC＝1：5，∵DE∥AC，∴△BED∽△BCA，∴＝QUOTE(𝐵𝐸𝐵𝐶)2(𝐵𝐸𝐵𝐶)2＝QUOTE125125，设S△BED＝k，则S△DEC＝4k，S△ABC＝25k，∴S△ADC＝20k，∴S△BDE：S△DCA＝1：20.故答案为：1：20.【分析】根据相似三角形的判定“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似”可得△BED∽△BCA，再由相似三角形的面积的比等于相似比的平方可得可求解.14.(4分)在平面直角坐标系中，点QUOTE𝐴𝐴的坐标为QUOTE(1,3)(1,3)，点QUOTE𝐵𝐵的坐标为QUOTE(3,1)(3,1)，在第三象限内作与位似的，点QUOTE𝐴𝐴的对应点为点QUOTE𝐶𝐶，与的位似比为QUOTE1:31:3，则点QUOTE𝐶𝐶的坐标为________．【答案】QUOTE(-13,-1)(-13,-1)【考点】位似变换【解析】【解答】解：∵与位似，点QUOTE𝐴𝐴的对应点为点QUOTE𝐶𝐶，与的位似比为QUOTE1:31:3，∵点QUOTE𝐴𝐴的坐标为QUOTE(1,3)(1,3)，点QUOTE𝐶𝐶在第三象限内，∴点QUOTE𝐶𝐶的横纵坐标分别为：，QUOTE3脳(-13)=-13脳(-13)=-1；∴点QUOTE𝐶𝐶的坐标为QUOTE(-13,-1)(-13,-1)；故答案为：QUOTE(-13,-1)(-13,-1)；【分析】根据相似和点C所在的象限求解即可。15.(4分)如图，在中，QUOTE𝐴𝐶=𝐵𝐶=5𝐴𝐶=𝐵𝐶=5，QUOTE𝐴𝐵=6𝐴𝐵=6，点D为AC上一点，作QUOTE𝐷𝐸//𝐴𝐵𝐷𝐸//𝐴𝐵交BC于点E，点C关于DE的对称点为点O，以OA为半径作⊙O恰好经过点C，并交直线DE于点M，N则MN的值为________．【答案】QUOTE25382538【考点】垂径定理，轴对称的性质，相似三角形的性质【解析】【解答】解：如图，连接OC，延长CO交AB于H，交圆于F，连接BF，再连接OC、OM，OC交MN于K，

∵△ACB为等腰三角形，

∴CH⊥AB，

CH==QUOTE52−3252−32=4，

∵∠FBC=∠BHC=90°，∠BCH=∠BCF，

∴△BHC∽△FBC，

∴BC：CH=CF：BC，

，

∴OM=QUOTE258258，

∵点C关于DE的对称点为点O，

∴OK=KC=QUOTE25162516，

∴MK=，

∴MN=2MK=QUOTE25382538.

故答案为：QUOTE25382538.

【分析】连接OC，延长CO交AB于H，交圆于F，连接BF，再连接OC、OM，OC交MN于K，根据等腰三角形的性质，先求出CH的长，再利用相似三角形的性质求出CF的长，则知圆的半径的长，再由对称的性质得出OK的长，然后根据勾股定理即可求出MK的长，则知MN的长.16.(4分)如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝4，N是斜边AB上方一点，连接BN，点D是BC的中点，DM垂直平分BN，交AB于点E，连接DN，交AB于点F，当△ANF为直角三角形时，线段AE的长为________．【答案】6或QUOTE285285【考点】线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质【解析】【解答】如图1中，当∠AFN＝90°时，在Rt△ACB中，∵∠C＝90°，AC＝4，∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝8，BC＝QUOTE33AC＝4QUOTE33，∵∠AFN＝∠DFB＝90°，∠ABC＝30°，∴∠FDB＝60°，∵CD＝DB＝2QUOTE33，∴DF＝QUOTE1212BD＝QUOTE33，∵DM垂直平分线段BN，∴DB＝DN，∴∠FDN＝∠EDB＝∠EBD＝30°，∴DE＝EB，∵DE＝＝2，∴BE＝DE＝2，∴AE＝AB﹣BE＝8﹣2＝6．如图2中，当∠ANF＝90°时，连接AD，CN交于点O，过点E作EH⊥DB于H．设EH＝x，则BH＝QUOTE33x，DH＝2QUOTE33﹣QUOTE33x．∵AC＝AN，CD＝DN，∴AD垂直平分线段CN，∴∠AON＝90°，∵CD＝DB，MN＝BM，∴DM∥CN，∴∠ADM＝∠AON＝90°，∵∠ACD＝∠EHD＝90°，∴∠ADC+∠EDH＝90°，∠EDH+∠DEH＝90°，∴∠ADC＝∠DEH，∴△ACD∽△DHE，∴QUOTE𝐴𝐶𝐷𝐻=𝐶𝐷𝐸𝐻𝐴𝐶𝐷𝐻=𝐶𝐷𝐸𝐻，∴＝QUOTE23𝑥23𝑥，解得x＝QUOTE6565，∴BE＝2x＝QUOTE125125，∴AE＝AB﹣BE＝8﹣QUOTE125125＝QUOTE285285，综上所述，满足条件的AE的值为6或QUOTE285285．故答案为6或QUOTE285285．【分析】分两种情形：如图1中，当∠AFN＝90°时．如图2中，当∠ANF＝90°时，分别求解即可解决问题．17.(4分)如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝16，点D在边BC上，点E在边AB上，沿DE将△ABC折叠，使点B与点A重合，连接AD，点P是线段AD上一动点，当半径为5的⊙P与△ABC的一边相切时，AP的长为________．【答案】QUOTE253253或QUOTE154154【考点】直线与圆的位置关系，翻折变换（折叠问题），相似三角形的性质，三角形-动点问题【解析】【解答】解：设BD＝x，由折叠知AD＝BD＝x，CD＝16﹣x，在Rt△ACD中，由勾股定理得，x2＝82+（16﹣x）2，解得，x＝10，∴CD＝10，∵AB＝QUOTE𝐴𝐶2+𝐵𝐶2𝐴𝐶2+𝐵𝐶2=QUOTE82+16282+162=QUOTE8585，∴AE＝BE＝QUOTE1212AB＝QUOTE4545，∴DE＝QUOTE102-(45)2=25<5102-(45)2=25<5，∴点P是线段AD上运动时，⊙P不可能与AB相切，分两种情况：①当⊙P与AC相切时，过点P作PF⊥AC于点F，如图1，∴PF＝5，PF∥CD，∴△APF∽△ADC，∴QUOTE𝐴𝑃𝐴𝐷=𝑃𝐹𝐶𝐷𝐴𝑃𝐴𝐷=𝑃𝐹𝐶𝐷，即QUOTE𝐴𝑃10=56𝐴𝑃10=56，∴QUOTEAP=253AP=253；②⊙P与BC相切时，过点P作PG⊥BC于点G，如图2，∴PG＝5，PG∥AC，∴△DPG∽△DAC，∴QUOTE𝐷𝑃𝐷𝐴=𝑃𝐺𝐴𝐶𝐷𝑃𝐷𝐴=𝑃𝐺𝐴𝐶，即QUOTE𝐷𝑃10=58𝐷𝑃10=58，∴DP＝QUOTE254254，∴AP＝10﹣QUOTE254254=QUOTE154154，综上，AP的长为QUOTE253253或QUOTE154154．【分析】设BD＝x，由折叠性质得AD与CD，在Rt△ACD中由勾股定理列出x的方程，进而求得DE，得出⊙P不能与AB相切，进而分两种情况：⊙P与AC相切和⊙P与BC相切，过P作切线的垂线段，再根据相似三角形的比例线段便可求得结果．18.(4分)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝8cm，点P为边AC上一点，且AP＝5cm．点Q为边AB上的任意一点（不与点A，B重合），若点A关于直线PQ的对称点A'恰好落在△ABC的边上，则AQ的长为________cm．【答案】QUOTE50115011或4【考点】勾股定理，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质【解析】【解答】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝8cm，∴BC＝6cm，①若点A'落在BC上，如图：点A关于直线PQ的对称点A'，∵点A关于直线PQ的对称点A'，∴A'Q＝AQ，AP＝A'P，∵AP＝5，∴PC＝3，A'C＝4，A'B＝2，∴A'A＝4QUOTE55，作A'H垂直AB，由勾股定理可得：，设AQ＝AQ'＝x，BH＝y，∴，解得：QUOTE{𝑥=5011𝑦=65{𝑥=5011𝑦=65，故AQ的长为QUOTE50115011．②若点A'落在AB上，如图：∵点A关于直线PQ的对称点A'，∴PQ⊥AB，∴△APQ～△ABC，∴QUOTE𝐴𝑃𝐴𝐵=𝐴𝑄𝐴𝐶𝐴𝑃𝐴𝐵=𝐴𝑄𝐴𝐶，∴QUOTE510=𝐴𝑄8510=𝐴𝑄8，∴AQ＝4．综上所述：若点A关于直线PQ的对称点A'恰好落在△ABC的边上，则AQ的长为QUOTE50115011或4cm．故答案为QUOTE50115011或4．【分析】由对称可知AP=A'P，AQ=A'Q，由勾股定理可计算A'C，A'P，作A'H⊥AB构造直角三角形，用勾股定理列方程组即可计算AQ的长．三、解答题19.(5分)如图,小丽在观察某建筑物AB．

（1）请你根据小亮在阳光下的投影,画出建筑物AB在阳光下的投影．

（2）已知小丽的身高为1.65m,在同一时刻测得小丽和建筑物AB的投影长分别为1.2m和8m,求建筑物AB的高．【答案】解：（1）如图:

（2）如图,因为DE,AB都垂直于地面,且光线DF∥AC,

所以Rt△DEF∽Rt△ABC,

所以QUOTE𝐷𝐸𝐴𝐵=𝐸𝐹𝐵𝐶𝐷𝐸𝐴𝐵=𝐸𝐹𝐵𝐶,

即QUOTE1.65𝐴𝐵=1.281.65𝐴𝐵=1.28,所以AB=11（m）．

即建筑物AB的高为11m．【考点】相似三角形的应用【解析】【分析】考查相似三角形的应用．因为在同一时刻物高与影长成正比例,所以解题的关键是将实际问题转化为数学问题．20.(11分)如图，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，，垂足为点E，，垂足为点F.（1）发现问题：在图中，QUOTEAGBEAGBE的值为________.（2）探究问题：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转角，如图所示，探究线段AG与BE之间的数量关系，并证明你的结论.（3）解决问题：正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图所示，延长CG交AD于点H；若QUOTEAG=6AG=6，QUOTEGH=22GH=22，直接写出BC的长度.【答案】（1）QUOTE22

（2）解：QUOTEAG=2BEAG=2BE，理由如下：如图，四边形ABCD，四边形GECF是正方形，，，，，，，QUOTEACBC=2ACBC=2，，且，∽，，即QUOTEAG=2BEAG=2BE，

（3）解：如图，过点H作于点M，四边形ABCD，四边形GECF是正方形，，，，为等腰直角三角形，，，在中，QUOTEAH=AM2+HM2=25AH=AM2+HM2=25，，且∽，即QUOTE6AC=22256AC=2225，，在中，QUOTEBC=22AC=35BC=22AC=35，的长度为QUOTE3535.【考点】正方形的性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质【解析】【解答】（1）四边形ABCD是正方形，，，，，，，，，，故答案为：QUOTE22【分析】（1）由正方形的性质可得，，可证QUOTEAB//GEAB//GE，，可得QUOTEGC=2ECGC=2EC，由平行线分线段成比例可得QUOTEAGBE=CGCE=2AGBE=CGCE=2；（2）由正方形的性质可得，即可证∽，可得QUOTEAGEB=ACBC=2AGEB=ACBC=2，则QUOTEAG=2BEAG=2BE；（3）过点H作于点M，构造等腰，利用HG的长度分别求出HM，GM，AH的长度，再利用与相似即可求出AC的长度，进一步求出BC的长度.21.(10分)如图，在△ABC中，AB=AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足∠DEF=∠B，且点D．F分别在边AB、AC上．（1）求证：△BDE∽△CEF；（2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC．【答案】（1）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠BDE=180°﹣∠B﹣∠DEB，∠CEF=180°﹣∠DEF﹣∠DEB，∠DEF=∠B，∴∠BDE=∠CEF，∴△BDE∽△CEF

（2）证明：∵△BDE∽△CEF，∴QUOTE𝐵𝐸𝐶𝐹=𝐷𝐸𝐸𝐹𝐵𝐸𝐶𝐹=𝐷𝐸𝐸𝐹

，∵点E是BC的中点，∴BE=CE，∴QUOTE𝐶𝐸𝐶𝐹=𝐷𝐸𝐸𝐹𝐶𝐸𝐶𝐹=𝐷𝐸𝐸𝐹

，∵∠DEF=∠B=∠C，∴△DEF∽△CEF，∴∠DFE=∠CFE，∴FE平分∠DFC【考点】等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，根据三角形的内角和和平角的定义得到∠BDE=∠CEF，利用相似三角形的判定方法可得结论；

（2）根据相似三角形的性质得到BE：CF＝DE：EF，然后根据线段中点定义可得BE=CE，等量代换得到CE：CF＝DE：EF，根据相似三角形的判定即可得角相等，从而得到结论.22.(5分)如图，△ABC中，，QUOTE𝐴𝐵=2𝐴𝐶𝐴𝐵=2𝐴𝐶．点P在△ABC内，且，求△ABC的面积．【答案】解：如图，作△ABQ，使得则△ABQ∽△ACP.由于QUOTE𝐴𝐵=2𝐴𝐶𝐴𝐵=2𝐴𝐶，所以相似比为2.于是．.由QUOTE𝐴𝑄:𝐴𝑃=2:1𝐴𝑄:𝐴𝑃=2:1知，，于是QUOTE𝑃𝑄=3𝐴𝑃=3𝑃𝑄=3𝐴𝑃=3．所以QUOTE𝐵𝑃2=25=𝐵𝑄2+𝑃𝑄2𝐵𝑃2=25=𝐵𝑄2+𝑃𝑄2，从而．于是QUOTE𝐴𝐵2=𝑃𝑄2+(𝐴𝑃+𝐵𝑄)2=28+83𝐴𝐵2=𝑃𝑄2+(𝐴𝑃+𝐵𝑄)2=28+83.故．【考点】三角形的面积，相似三角形的判定与性质【解析】【分析】通过旋转把PA、PB、PC组合到一个直角三角形中，运用三角形面积公式S=QUOTE12𝑎𝑏sin𝐶12𝑎𝑏sin𝐶,可求出面积.23.(5分)附加题：如图，在中，QUOTE𝐴𝐵=𝐴𝐶𝐴𝐵=𝐴𝐶，，垂足为QUOTE𝐷𝐷，QUOTE𝐸𝐸、QUOTE𝐺𝐺分别为QUOTE𝐴𝐷𝐴𝐷、QUOTE𝐴𝐶𝐴𝐶的中点，，垂足为QUOTE𝐹𝐹，求证：QUOTE𝐹𝐺=𝐷𝐺𝐹𝐺=𝐷𝐺．【答案】证明：连接QUOTE𝐴𝐹𝐴𝐹、QUOTE𝐶𝐹𝐶𝐹，∵AD⊥BC，DF⊥BE∴∠BFD=∠DFE=∠BDE=90°，∴∠BDF+∠FDE=∠FBD+∠BDF=90°，∴∠FDE=∠FBD∴，∴∠BDF=∠DEF，QUOTE𝐵𝐷𝐷𝐸=𝐷𝐹𝐸𝐹𝐵𝐷𝐷𝐸=𝐷𝐹𝐸𝐹，∴180°-∠BDF=180°-∠DEF即∠FDC=∠FEA∵E是AD的中点∴AE=DE∵AB=AC，AD⊥BC∴BD=CD∴QUOTE𝐶𝐷𝐴𝐸=𝐵𝐷𝐷𝐸𝐶𝐷𝐴𝐸=𝐵𝐷𝐷𝐸∴QUOTE𝐶𝐷𝐴𝐸=𝐷𝐹𝐸𝐹𝐶𝐷𝐴𝐸=𝐷𝐹𝐸𝐹∴∴∠AFE=∠CFD∴∠AFE+∠EFC=∠CFD+∠EFC即∠AFC=∠EFD=90°，又∵G是AC的中点，∴在Rt△AFC中，QUOTE𝐹𝐺=12𝐴𝐶𝐹𝐺=12𝐴𝐶在Rt△ADC中，QUOTE𝐷𝐺=12𝐴𝐶𝐷𝐺=12𝐴𝐶∴QUOTE𝐹𝐺=𝐷𝐺𝐹𝐺=𝐷𝐺．【考点】相似三角形的判定与性质【解析】【分析】先证明，再求出∠AFE=∠CFD，最后计算求解即可。四、综合题24.(12分)抛物线y＝x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，M（m，0）是x轴上一动点，N是线段EF上一点，若∠MNC＝90°，请指出实数m的变化范围，并说明理由．（3）如图2，将抛物线平移，使其顶点E与原点O重合，直线y＝kx+2（k＞0）与抛物线相交于点P、Q（点P在左边），过点P作x轴平行线交抛物线于点H，当k发生改变时，请说明直线QH过定点，并求定点坐标．【答案】（1）解：∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A、C，把点A（﹣1，0），C（0，﹣3）代入，得：，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；

（2）解：如图，作CH⊥EF于H，∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点坐标E（1，﹣4），设N的坐标为（1，n），﹣4≤n≤0∵∠MNC＝90°，∴∠CNH+∠MNF＝90°，又∵∠CNH+∠NCH＝90°，∴∠NCH＝∠MNF，又∵∠NHC＝∠MFN＝90°，∴Rt△NCH∽△MNF，∴QUOTE𝐶𝐻𝑁𝐹=𝐻𝑁𝐹𝑀𝐶𝐻𝑁𝐹=𝐻𝑁𝐹𝑀，即解得：m＝n2+3n+1＝QUOTE(𝑛+32)2𝑚:𝑠𝑚:𝑠−54(𝑛+32)2𝑚:𝑠𝑚:𝑠−54，∴当时，m最小值为；当n＝﹣4时，m有最大值，m的最大值＝16﹣12+1＝5．∴m的取值范围是．

（3）解：设点P（x1，y1），Q（x2，y2），∵过点P作x轴平行线交抛物线于点H，∴H（﹣x1，y1），∵y＝kx+2，y＝x2，消去y得，x2﹣kx﹣2＝0，x1+x2＝k，x1x2＝﹣2，设直线HQ表达式为y＝ax+t，将点Q（x2，y2），H（﹣x1，y1）代入，得，∴y2﹣y1＝a（x1+x2），即k（x2﹣x1）＝ka，∴a＝x2﹣x1，∵QUOTE𝑥22𝑥22＝（x2﹣x1）x2+t，∴t＝﹣2，∴直线HQ表达式为y＝（x2﹣x1）x﹣2，∴当k发生改变时，直线QH过定点，定点坐标为（0，﹣2）．【考点】二次函数的最值，相似三角形的判定与性质，二次函数的其他应用【解析】【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可；

（2）先求出抛物线的顶点坐标，设点N坐标为（1，n），由已知