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第三章中值定理应用研究函数性质及曲线性态利用导数解决实际问题罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式(第三节)推广微分中值定理与导数的应用微分中值定理第一节一、罗尔中值定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理在其中当时,(1)则称为的极大点

,称为函数的极大值;(2)则称为的极小点

,称为函数的极小值

.极大点与极小点统称为极值点

.定义1:一、罗尔(Rolle)中值定理1.极值的概念3.极大值不一定大于极小值，极小值不一定大于极大值，注：1.极值点必是[a,b]的内点.2.极值是一个局部性质.4.最值和极值不完全相同.oxyoxy2.费马引理定理1若函数y=f(x)在点几何意义：定义2：导数为零的点称为驻点3.罗尔中值定理定理2oabxyξ几何解释:则由费马引理得

注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.例如,例如,(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)(2)(3)故方程在(0,1)内不可能有两个不同的实根.例1例2证由介值定理即为方程的小于1的正实根.矛盾,根的存在性根的唯一性二、拉格朗日(Lagrange)中值定理定理3作辅助函数显然,在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,问题转化为证由罗尔定理知至少存在一点即定理结论成立.证毕证:几何解释:拉格朗日中值公式注：(1)拉格朗日定理是罗尔定理的推广，当f(b)=f(a)时恰好是罗尔定理.(4)拉格朗日定理建立了函数与其导数之间的桥梁.

试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可.不满足在闭区间上连续的条件；不满足在开区间内可微的条件；以上两个都可说明问题.推论2：若函数f(x)、g(x)在区间Ｉ上可导，且推论1：例3证例4证由上式得三、柯西(Cauchy)中值定理定理4证:

作辅助函数且使即由罗尔定理知,至少存在一点思考:柯西定理的下述证法对吗?两个

不一定相同错!上面两式相比即得结论.错!当平面曲线由参数方程对应的中值定理就是柯西中值定理，这时弦AB的斜率为几何解释:注：柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，当g(x)=x时，恰好就是拉格朗日中值定理.例5证分析:结论可变形为例6.

试证至少存在一点使证:

用柯西中值定理.则f

(x),g(x)在[1,e]上满足柯西中值定理条件,令因此

即分析:内容小结1.微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理2.微分中值定理的应用(1)证明恒等式(2)证明不等式(3)证明有关中值问题的结论关键:利用逆向思维设辅助函数费马引理思考与练习1.填空题1)函数在区间[1,2]上满足拉格朗日定理条件,则中值2)设有个根,它们分别在区间上.方程2.

设且在内可导,证明至少存在一点使提示:由结论可知,只需证即验证在上满足罗尔定理条件.设3.

若可导,试证在其两个零点间一定有的零点.提示:设欲证:使只要证亦即作辅助函数验证在上满足罗尔定理条件.备用题求证存在使1

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