矩阵分析考试重点课件

第一章线性空间和线性变换主要掌握以下内容：1、能给出常见线性空间的基；会求一个向量在给定基下的坐标；会求两组基的过渡矩阵1矩阵分析考试重点例1

实数域上的线性空间的一组基例2

实数域上的线性空间中的一组基例3

实数域上的线性空间中的一组基2矩阵分析考试重点习题1-53矩阵分析考试重点4矩阵分析考试重点5矩阵分析考试重点和子空间2、会求两个子空间的交空间、和空间的基与维数定理：设则：6矩阵分析考试重点习题1-77矩阵分析考试重点8矩阵分析考试重点3、能给出线性映射（线性变换）在给定基下的矩阵表示;

会求线性映射的值域空间及核空间的基与维数9矩阵分析考试重点10矩阵分析考试重点11矩阵分析考试重点12矩阵分析考试重点13矩阵分析考试重点14矩阵分析考试重点15矩阵分析考试重点16矩阵分析考试重点17矩阵分析考试重点4、会计算线性变换的特征值与特征向量

是的特征值是的特征值

18矩阵分析考试重点第二章矩阵与矩阵的Jordan标准形主要掌握以下内容：1、会求矩阵的Smith标准形：（1）初等变换法（2）行列式因子法（3）初等因子法2、会求矩阵的行列式因子、不变因子、初等因子3、会求数字矩阵A的Jordan标准形J及其变换矩阵P：（1）初等变换法（2）矩阵秩的方法4、掌握证明两个矩阵相似的方法：（1）有相同的行列式因子（2）有相同的不变因子（3）有相同的初等因子5、会用Jordan标准形求矩阵的幂19矩阵分析考试重点2-2

设，证明：阶矩阵与相似。20矩阵分析考试重点证明：计算A的行列式因子。显然下面看阶行列式因子。有一个阶子式要注意，即21矩阵分析考试重点容易计算出从而同理可计算出B的行列式因子及不变因子也是所以A与B相似。22矩阵分析考试重点2-3设

证明

阶矩阵与不相似。23矩阵分析考试重点24矩阵分析考试重点正整数使得，证明：与对角矩阵相似且主对角线上的元素均为次单位根。证明：设的Jordan标准形为2-5

设为数域上的阶方阵且存在25矩阵分析考试重点即有可逆矩阵使得由于，所以有从而有26矩阵分析考试重点因此，只有当为一阶矩阵时上面的矩阵等式才成立，这样有，这表明为对角矩阵，所以与对角矩阵相似。27矩阵分析考试重点2-6设为数域上的阶方阵且满足，证明：与对角矩阵相似。

28矩阵分析考试重点即有可逆矩阵使得由于，所以有证明：设的Jordan标准形为29矩阵分析考试重点从而即30矩阵分析考试重点因此，只有当为一阶矩阵时上面的矩阵等式才成立且，所以有这说明为一个对角矩阵且主对角线上的元素只能为1或0，适当地调换主对角线上的元素次序可以得到方阵此矩阵仍然与相似。31矩阵分析考试重点作业2-9

试写出Jordan标准形均为的两个矩阵。32矩阵分析考试重点解答：这里为任意的非零数。33矩阵分析考试重点第三章内积空间，正规矩阵与Hermite矩阵主要掌握以下内容：1、会用欧氏空间、酉空间的定义去证明；2、掌握内积、长度、夹角、正交的定义及性质；3、掌握标准正交基的定义及Schmidt正交化方法；4、掌握以下矩阵的定义、性质、结构定理：

酉矩阵、实正交矩阵、Hermite与反Hermite矩阵、实对称与反对称矩阵正规矩阵、正定与半正定矩阵5、掌握以下线性变换的定义、性质及与相应矩阵的关系：酉变换、正交变换、Hermite变换、对称与反对称变换、正规变换、正定二次齐次34矩阵分析考试重点3-17设是一个正定的H-阵,是一个反H-阵,证明:与的特征值实部为零.

证明:

设为矩阵的任意一个特征值,那么有.由于是一个正定H-阵,所以存在可逆矩阵使得将其代入上面的特征多项式有35矩阵分析考试重点这说明也是矩阵的特征值.另一方面注意矩阵为H-反阵,从而实部为零.同样可以证明另一问.36矩阵分析考试重点习题3-19设是一个半正定的H-阵且证明:证明:

设为的全部特征值,由于是半正定的,所以所有的.而且由于

，一定存在某个特征值大于0，于是有37矩阵分析考试重点习题3-20设是一个半正定的H-阵且是一个正定的H-阵,证明:证明:

由于是一个正定的H-阵,所以存在可逆矩阵使得这样有38矩阵分析考试重点注意矩阵仍然是一个半正定的H-阵,有上面的例题可知从而39矩阵分析考试重点

3-21

设是一个正定的H-阵,且又是酉矩阵,则证明:

由于是一个正定H-阵,所以必存在酉矩阵使得40矩阵分析考试重点由于又是酉矩阵,所以这样必有,从而41矩阵分析考试重点3-22证明：（1）半正定H-矩阵之和仍然是半正定的;

（2）半正定H-矩阵与正定H-阵之和是正定的;证明：设都是半正定H-阵，那么二者之和仍然是一个H-阵，其对应的Hermite二次型为其中42矩阵分析考试重点由于都是半正定H-矩阵，所以对于任意一组不全为零的复数我们有这说明为一个半正定H-阵。类似地，可以证明另外一问。43矩阵分析考试重点习题3-23设是一个正定的H-阵,是一个反H-阵,证明:是可逆矩阵.证明:

由于是一个正定H-阵,所以存在可逆矩阵使得这表明是可逆