新教材2022届高二数学培优AB卷（人教A版必修一）期中模拟卷（B能力卷）（解析版）

高二数学期中模拟卷（B能力卷）

一、单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个

选项中只有一项是最符合题目要求的）

1.直线=o的倾斜角为（）

A.45°B.60°C.90°D.135°

【答案】A

【详解】

由题意直线斜率为1,而倾斜角大于或等于0°且不大于180。，所以倾斜角为45。.

故选：A.

2.己知空间向量£=（—1,0,3）,S=（3,-2,x）,若近了，则实数X的值是（）.

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【详解】

因为£工人所以75=0，因止匕有Tx3+0x（_2）+3x=0nx=l.

故选：C

3.万众嘱目的北京冬奥会将于2022年2月4日正式开幕，继2008年北京奥运会之后，国

家体育场（又名鸟巢）将再次承办奥运会开幕式.在手工课上，王老师带领同学们一起制作

了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，

已知大椭圆的长轴长为40cm,短轴长为20cm,小椭圆的短轴长为10cm,则小椭圆的长轴

长为（）cm

A.30B.20C.10D.ioG

【答案】B

【详解】

由大椭圆和小椭圆扁平程度相同，可得两椭圆的离心率相同,

由大椭圆长轴长为40cm,短轴长为20cm,

可得焦距长为2。限m,故离心率为八乎

所以小椭圆离心率为e=立，

2

小椭圆的短轴长为10cm,即2Z?=10cm,

由e=J1-匕,可得：a=10cm,

所以长釉为20cm.

4.已知空间三点A（-2,0,8）,B（4,-4,6）,若向量丽与丽的夹角为60。，则

实数〃7=（）

A.1B.2C.-1D.-2

【答案】B

【详解】

QA（-2,0,8）,P（m,m,ni）,B（4,-4,6）,

PA=（-2-m,-m,8-ni）,PB=（4—m,-4—m,6—

PAPB3m2-12m+40

由题意有cos60。=

画廊」3而一12m+68,3/-12/W+68

即3加T2〃?+68=3疗_]2m+4。,

2

整理得m2—4m+4=0,

解得加=2

故选：B

5.直线y=x+机与圆x?+y2=4相交于M,N两点，若122VL则机的取值范围是

A.[-2,2]B.[-4,4]C.[0,2]

D.（-2A/2,-2]|J[2,2＞/2）

【答案】A

【详解】

当|MV|=2&,此时圆心（0,0）到MN的距离2=，?2_（苧）="^=夜

要使得但20,则要求d4&，故盘解得，*W-2,2],故选A.

6.设尸为双曲线j_2i=1（〃＞人＞0）的右焦点，O为坐标原点，若。尸的垂直平分线与渐

a"

2

近线在第一象限内的交点到另一条渐近线的距离为§1。/I，则双曲线的离心率为（）

A.2+B.苧C.2石D.5

【答案】B

【详解】

解：双曲线《-1=i（a>o,b>o）渐近线方程y=±”,

ab~a

由OF的垂直平分线为x=《，将x=；,代入y=^x,则丫=与，

22a2a

r*Az*

则交点坐标为M(；,3),

22a

b也+如l

由M到了=x,即bx+ay=0的距离d-22।_2।0尸片2c,

aVTTfe733

解得：9a2=5c"

则双曲线的离心率e=£=t5，

a5

故选：B.

7.圆工2+/+41_12丁+1=0关于直线ar-8y+6=0(Q>0,b>0)对称，则？的最小值是

16-30-32e厂

A.—B.—C.—D.25/3

333

【答案】c

【详解】

圆/+:/+4尤-12产1=0的圆心坐标为(-2,6)

因为圆丁+9+4》-12>+1=0关于直线如-6），+6=0（。>0,6>0）对称

所以直线以一纱+6=0（。>0,>>0）经过圆心（一2,6）,即一2a—⑨+6=0

:.a+3b=3(a>0,b>0)

2+9=(,+3勿3a3b...|(10+23b、32

1+—+—+97)=T

ah3ha

当且仅当辿=¥

即a=6时耳又等号

ab

8.在所有棱长均相等的直三棱柱ABC-48cl中，。、E分别为棱84、8C的中点，则直

线4月与平面AOE所成角的正弦值为（)

A屈R病「V370

102020。・噜

【答案】B

【详解】

解：取AB的中点0,以。为原点，以OB,0C和平面A8C过点。的垂线为坐标轴建立空

间直角坐标系，

设直三棱柱的棱长均为2,则4（-1,0,2）,0（1,0,1）,E-,^-.0,40,0,2）,

.•.隔=（2,0,0）,平=（2,0,-1）,庭=|，*，-2）,

设平面AQE的法向量为〃=（x,y,z）,则〃•4。=。，"•4七=0，

直线A妫与平面\DE所成角的正弦值为|cos（«,丽）卜噜.

故选：B.

二、多项选择题（本大题共4题，每小题5分，共计20分。每小题列出的四个

选项中有多项是符合题目要求的，多选或错选不得分）

9.己知圆C：x2+y2-2x=0,点A是直线丫=履-3上任意一点，若以点A为圆心，半径

为1的圆A与圆C没有公共点，则整数k的值可能为（）

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】ABC

【详解】

圆C的方程为r+y2-2x=0,即（x-iy+y2=i,圆心c（l,o）,半径为1,

由题意可得，圆心C（l,o）到直线依-y-3=0（ZwZ）的距离大于2,

即上1＞2,求得-3—2"＜女＜—3+2",=或一1或0.

+133

故选：ABC.

10.正方体ABCD48GA的棱长为\,E,F,G分别为BC,CCi,BBi的中点.则（）

A.直线。由与直线AF垂直B.直线AiG与平面AEF平行

9

C.平面AEF截正方体所得的截面面积为5D.点C与点G到平面AEF的距离相等

8

【答案】BC

【详解】

对于A中，若尸，

因为D"AE且AE^AF=A，所以J.平面AEF,

所以DQLE尸，所以此时不成立，所以A错误;

对于B中，如图所示，取4G的中点Q,连接AQ,GQ,

由条件可知：GQI/EF,AQUAE,且6。门4。=。,£尸门4£=后,

所以平面AGQ//平面4律,

又因为AGu平面AG。，所以AG〃平面AE尸，所以B正确;

对于C中，连接

因为E,尸为8C,CC的中点，所以EF//AR,

所以A,E,F,。四点共面，所以截面即为梯形AEFR,

由题得该等腰梯形的上底EF=也,下底明=夜，腰长为或，所以梯形面积为苫，故选

228

项C正确；

对于D中，假设C与G到平面AEF的距离相等，即平面AEF将CG平分，则平面AEF必

过CG的中点，连接CG交EF于H,而“不是CG中点，则假设不成立，故选项D错误.

故选：BC.

11.若双曲线C:，-2=l(a>0,b>0)的实轴长为6,焦距为10,右焦点为F,则下列结论

a2b-

正确的是()

A.C的渐近线上的点到厂距离的最小值为4B.C的离心率为之

4

C.C上的点到F距离的最小值为2D.过F的最短的弦长为半32

【答案】AC

【详解】

由题意知，2a=6,2c=10，即。=3,c=5，因为后=c~—a2，所以从=25—9=16，解得b=4,

所以右焦点为F为(5,0),双曲线C的渐近线方程为y=±gx，

对于选项A：由点F向双曲线C的渐近线作垂线时，垂线段的长度即为C的渐近线上的点

|±-x5-0

,3.

到厂距离的最小值，由点到直线的距离公式可得，d=R]i“I、

故选项A正确：

对于选项B：因为a=3,c=5,所以双曲线C的离心率为e=£=],故选项B错误；

a3

对于选项C：当双曲线C上的点为其右顶点(3,0)时，此时双曲线C上的点到F的距离最小

为2，故选项C正确；

对于选项D：过*F且斜率为零的直线与双曲线的交点为A(-3,0),8(3,0),此时为过点F的

最短弦为AB=6,故选项D错误.

故选：AC

12.1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号“，从此我国开

始了人造卫星的新篇章.人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球

为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，

即卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦

距分别为2“，2c,下列结论正确的是()

A.卫星向径的取值范围是[a-c,a+c]

B.卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间

C.卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁

D.卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小

【答案】ABD

【详解】

根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是[a-c,a+c],A正确；

当卫星在左半椭圆弧的运行时，对应的面积更大，面积守恒规律，速度更慢，B正确；

巴上=F=A-1,当比值越大，则e越小，椭圆轨道越圆，C错误.

a+ci+e1+e

根据面积守恒规律，卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速

度最小，。正确.

三、填空题(每小题5分，共计20分)

13.若£=(2,-3,5),S=(-3,l,-4),贝.

【答案】V258

【详解】

a-2b=(8,—5,13),

/.\a-2.=J64+25+169=>/258.

14.已知圆/+>2-6工一7=0与抛物线>2=2px(p>0)的准线相切，则〃=.

【答案】2

【详解】

试题分析：x2+y-6A-7=O.-.(x-3)2+y2=16,圆心为(3,0),半径为4,抛物线准线为

x=-g由圆与直线相切可知与=1"=2

22

考点：直线和抛物线的性质

15.设抛物线C：y2=2px(〃>0)的焦点为/，准线为/,点A为抛物线C上一点，以F为

圆心，E4为半径的圆交/于8、。两点，若NBF£>=120,的面积为26，则。=

【答案】I

【详解】

NBFD=120",

•*.NBDF=NDBF=30’，

y.-：\FF'\=p,

.'.\BF\=\DF\=\AF\=2p,|BD|=2\/3/?,

A到准线l的距离4=|力尸|=2P,

S皿=gxdx陷=gx2px26p=2石户=2百,解得p=l.

16.如图，在四棱锥P-ABC。中，PA_L平面ABC。，ZBAD^90,PA=AB=BC=-AD=

2

TT

BCHAD,已知。是四边形A3C£＞内部一点，且二面角。-尸。-A的平面角大小为二，则

4

△A。。的面积的取值范围是.

【答案】

【详解】

•.♦PA_L平面A38,XBAD=90°,以点A为坐标原点，A。、AB、4）所在直线分别为X、

则4(0,0,0)、8(0,1,0)、C(l,l,0)、0(2,0,0)、P(0,0,l),

设点Q(aS，0)，其中04a42,04b4l,

-UUil___,、

设平面P。。的法向量为m=(x,y,z),DP=(-2,0,1),0Q=(a—2,b,O),

则仁，MXx=b,可得m=3,a—2,2b),

/n-DQ=(a-2)x+by=0'7

易知平面PAD的一个法向量为5=(0,1,0),

由已知条件可得卜os<加7>|=tpr=].一义-----=当,

11H-HJ(a-2『+5：22

所以，2-a=鼎,即〃+®=2,

a=2

直线CD上的点(x,%0)满足x+y=2,联立，解得

b=0'

a=0

a+\[5b=2

联立《八，解得|,2石，

。=()b=-----

5

所以，点。的纵坐标6的取值范围为1o,半］

易知点。不在线段A。上，则be(o,亭］

所以，5小%=；40包=人€(0,

四、解答题(解答题需写出必要的解题过程或文字说明，17题10分，其余各

题每题各12分)

17.已知圆C经过点0(0,0),A(l,l),5(4,2).

(1)求圆c的方程；

(2)若直线：x—y+〃?=0与圆C交于N两点，且|"N|=6,求机的值.

【详解】

解：(1)根据题意，设圆C的方程为x2+y2+Dx+£y+F=0,

F=0

圆C经过。(0,0),4(1,1),8(4,2)三点,则有,2+D+E+尸=0,

20+4D+2E+尸=0

解可得：D=-8,E=6,F=0,

故要求圆的方程为/+y2-8x+6y=0；

(2)根据题意，圆的方程为Y+)，2_8x+6y=0,圆心坐标为(4,-3),

半径r」xy]D2+E2-4F=5，

2

若直线x-y+m=0与圆C交于M,N两点，且|MN|=6,

解可得：m=±4>/2-7-故〃?=±4&-7.

18.已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,半径为2.

(1)设圆锥的母线长为4,求圆锥的体积：

(2)设尸0=4,04、08是底面半径，且NAO3=90。，M为线段A8的中点，如图.求异

面直线PM与OB所成的角的余弦值.

【详解】

(1)•••圆锥的顶点为P,底面圆心为O,半径为2,圆锥的母线长为4,

，圆锥的体积蚱卜万

8岳

一------•,

3

(2);P0=4,OA,08是底面半径，S.ZAOB=90°,

M为线段AB的中点，

，以。为原点，04为x轴，。8为y轴，0P为z轴，

建立空间直角坐标系，

P(0,0,4),A(2,0,0),8(0,2,0),

0),0(0,0,0),

PM=(1,1,-4),OB=(0,2,0),

设异面直线PM与。3所成的角为氏

PMOB\2x/2

则cose=—”」=-^一=除

PM\-\OB\J18x26

•••异面直线PM与0B所成的角的余弦值为它.

6

19.已知£(一2,0),鸟(2,0)是椭圆3+2=1(">6>0)两个焦点，且5/=9从.

(1)求此椭圆的方程；

(2)设点尸在椭圆上，且NKPg=(,求△6PK的面积.

【详解】

(1)因为与(一2,0),6(2,0)是椭圆!+¥=1(“>/,>0)两个焦点，

所以C。—cr-b1=4•①

又因为5/=9"，②

所以由①@可得/=9,从=5,

92

所以此椭圆的方程为三+工=1.

95

(2)设|尸耳|=闻愿］=〃,(犯〃>0),

由椭圆定义可知m+〃=2々=6,③

在△耳P鸟中，由余弦定理得4+/一2〃加cos(=(2c)2,即1+/一.二仄，④

20

由③④式可得，加九=§,

e(-rl01.120735^

所以、S人FPF=—mnsm—=—x—x——=---.

△S鸣232323

即△耳夕鸟的面积为亚.

3

20.已知圆M过C(l,-1),。(-1,1)两点，且圆心M在x+y-2=0上.

(1)求圆M的方程；

(2)设P是直线3x+4)，+8=0上的动点，PA,PB是圆M的两条切线，A,8为切点，求四

边形PAMB面积的最小值.

【详解】

解：⑴设圆M的方程为：(x-a)2+(j-6)2=r2(r>0),

'(l-a)2+(-1-6)2=r,=i

根据题意得(-1-4+(1-6)2=/=,〃=1,

a+b-2=0r=2

故所求圆”的方程为：(x-l)2+(y-l)2-4；

(2)如图，

四边形RU组的面积为5=禺.+'网，即S=g(HM|P4|+|BM|P8|)

y.\AM\^\BM\=2,\P^=\PB\,所以S=2|叫

而|PA|=,即S=2』PMFT.

因此要求S的最小值，只需求的最小值即可,

\PM\的最小值即为点M到直线3x+4)，+8=0的距离

B+4+8J

所以1rahi

四边形R4MB面积的最小值为2』PM『-4=2右.

21.如图，已知三棱柱ABC-4瓦£的侧棱与底面垂直，AAt=AB=AC=1,ABLAC,M

和N分别是CG和BC的中点，点尸在直线A片上，且AP=%A4.

(1)证明：无论4取何值，总有AM，PN；

(2)是否存在点P,使得平面尸MV与平面ABC所成的角为30?若存在，试确定点P的位

置；若不存在，请说明理由.

【详解】

(1)因为⑨，平面ABC,AB1AC,以点A为坐标原点，AC、43所在直线分

别为X、＞、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则A（0,0,0）、P（0,l,2）,AM=H,pOj,NP=（-^,\,A-^

——•一11

所以，AM-NP=--+—=0,则AMLPN,

22

因此，无论4取何值，总有AMJ_PN；

111

,设平面mcv的