小学奥数题库《计算》公式类连续自然数的立方和公式-0星题（含详解）

计算-公式类计算-连续自然数的立方

和公式-0星题

课程目标

知识点考试要求具体要求考察频率

平方和公式B1.熟悉平方和公式少考

2.运用公式进行复杂的计算。

知识提要

平方和公式

・平方和公式M+22+32+…+4=n（"+l）（2n+l）

6

精选例题

平方和公式

1.计算：22+42+62+-+502=.

【答案】22100

【分析】

原式=22X(12+22+3Z+-+252)

=4x51x26x254-6

=22100.

2.计算：12+22+42+52+72+82+102+II2+132+142+162=.

【答案】1001

原式=(I2+22+…+162)-(32+62+92+122+152)

【分析】=(仔+22+…+162)-32x(I2+22+32+42+52)

=1496-495

=1001.

3.计算：36+49+64+81+…+400=.

【答案】2815

【分析】

原式=62+72+82+-+202

=12+22+32+•­•+202-(I2+22+32+42+52)

=20x21x414-6-5x6x11-?6

=2870-55

=2815.

4.计算：/+22+3?+…+1()2=.

【答案】385

【分析】

原式=12+22+32+-+102

=10x11x21-?6

=385.

5.计算：202+212+222+-.+10。2=.

【答案】335880

【分析】

原式=I2+22+32+•­•+1002-(I2+22+32+•­•+192)

=100x101x201+6—19x20x39+6

=338350-2470

=335880.

6.337X02=12+22+32+…+3372,那么团=.

【答案】195

【分析】I2+22H---1-n2=^n(n+l)(2n+1)

因为12+22+…+3372=工x337x338X675

6

所以团2=工x338x675=1952

6

故团=195.

7.计算：36+49+64+81+-+400=.

【答案】2815

原式=62+72+82+-+202

=I2+22+32+…+202-(I2+22+32+42+52)

【分析】="20x21x41-3x5x6x11

66

=2870-55

=2815.

8.计算:102+112+122+-+2002=.

【答案】2686415

【分析】原式缺少前几项，可以先补上前几项，再减去前几项，再利用公式进行求解.

原式=(I2+22+-+92+102+II2+122+…+2002)-

(I2+22+…+92)

200x(200+1)x(400+1)9x10x19

=66

=2686700-285

=2686415.

9.计算：12+22+32+-+992=.

【答案】328350

【分析】

原式=12+22+32+-+992

=99x100x199+6

=328350.

10.计算:ll2+122+132+-+202=.

【答案】2485

原式=(I2+22+-+202)-(I2+22+•••+102)

【分析】=41x21x20+6-21x10x11+6

=2485.

11.计算：IO?+122+142+…+502=.

【答案】21980

【分析】

原式=(22+42+62+•••+502)-(22+42+62+82)

=22x(I2+22+…+252)-22x(I2+22+32+42)

=4x51x25x264-6-4x30

=21980.

12.计算:12+32+52+-+192=.

【答案】1330

原式=12+32+52+-+192

=(I2+22+32+-+192)-(22+42+…+182)

【分析］=19x20x396-4x(I2+22+■­■+92)

=2470-9x10x19x4+6

=2470-285x4

=1330.

13.计算：1x4+3x7+5x10+…+99x151=.

【答案】256225

【分析】观察可知式子中每一项乘积的被乘数与乘数依次成等差数列，被乘数依次为1,3,5,

…，99,乘数依次为4,7,10,151,根据等差数列的相关知识，被乘数可以表示为2n-

1,乘数可以表示为3n+l,所以通项公式为(2n-1)x(3n+1)=6层-n-1.所以，

原式=(6xl2-1-1)+(6x22-2-1)+-+(6x502-50-1)

=6X(12+22+…+502)-(1+2+-+50)-50

1

=50x51x101--x50x51-50

2

=256225.

另解：如果不进行通项归纳，由于式子中每一项的被乘数与乘数的差是不相等，可以先将这个

差变为相等再进行计算.

1

原式=二X(3x8+9x14+15x20+…+297x302)

6

1

=-x

6

[3x(3+5)+9x(9+5)+15x(15+5)+…+297x(297+5)]

1

=-x

6

(32+3x5+92+9x5+152+15x5+…+2972+297X5)

1

=-x

6

[(32+92+152+-•・+2972)+5x(3+9+15+…+297)]

[9x(I2+32+52+…+992)+5x3x(l+3+5+・・・+99)]

35

=5X⑴+32+52+…+992)+2x(1+3+5+…+99).

而12+32+52+…+992和1+3+5+…+99都是我们非常熟悉的.

12+32+52+-+992

=(I2+2?+3?+…4-1002)-(22+4?+6?+…+1002)

11

=-x100x101x201-4x-x50x51x101

66

1

=-x100X101X(201-102)

6

1

=-X99x100x101

6

=166650,

1+3+5+…+99=502=2500,

所以

一35

原式=-x166650+-x2500=256225.

小结：从上面的计算过程中可以看出，」

1

12+32+52+…4-992=-x99x100X101,

6

而

1

1x2+2x3+-+99x100=-x99x100x101,

所以有

(I2+32+52+…+992)x2=lx2+2x3+・・・+99x100.

14.计算:92+102+112+-+202=.

【答案】2666

【分析】

原式=Q2+22+…+202)-(I2+2?+…+82)

=41x21x20+6—17x9x8+6

=2666.

15.1x2+2x3+3x4+4x5+5x6+6x7+7x8+8x9+9x10=.

［答案］330

【彳析】此题项数较少，可以直接将每一项乘积都计算出来再计算它们的和，但是对于项数较

多的情况显然不能这样进行计算.对于项数较多的情况，可以进行如下变形：

n(n4-l)(n4-2)-(n-l)n(n4-1)1,、,、1,、,、

n(n+1)=---------------------------------------------=-n(n+l)(n+2)--(n-l)n(n+1)

所以原式',

1/I1\/I1

=-xlx2x3+l-x2x3x4——xlx2x3)+・・・+(-x9xl0xll——x8x9x10

3\33/\33

1

=-x9x10X11=330

另解：由于以n+1)=九2+九，所以

原式

=(I2+1)+(22+2)+…+(92+9)=(I2+22+…+92)+(1+2+…+9)

11

=-x9xl0xl9+-x9xl0=330

62

采用此种方法也可以得到

1

1x2+2x34-•••+nx(n+l)=-n(n+l)(n+2)

16.计算：Ix3+2x4+3x5+…9x11=.

【答案】375

【分析】

原式=(2-1)(2+1)+(3-1)(3+1)+…+(10-1)(10+1)

=(22-1)+(32-1)+…+(102-1)

=(22+32+-+102)-9

=(12+22+32+-+102)-10

10x11x21

=375.

17.12+32+52+72+…372=.

【答案】9139

【分析】因为

,,,,,2n(2n+l)(4n+1)

12+22+32+42+…+(2n-I)2+(2n)2=------------------------

6

22+42+…+(2九＞=4x(I2+22+…+n2)

nx(n+1)x(2n+1)

=4X---------------6---------------

所以

,52n(2n+l)(4n+1)

7129+32+…+(2n-I)29+229+42+…+(2九＞=--------2----------

6

1

12+32+52+…+(2n-I)2=-n(4n2-1).

当n=19时，

原式=gx19x(4x192-1)

=9139.

18.12+32+52+•••+192=.

【答案】2185

I2+32+52+­­•+192

=(I2+22+32+-+192)-(22+42+•­•+182)

.、一=ix19x20x39-4x(I2+22+-+92)

【分析】6.

=2470--X9x10x19

6

=2470—285

=2185.

9-24小岛+*+…+/)-G+力+…+i”；.…

【答案】§

【分析】虽然很容易看出;点S=T……可是再仔细一看，并没有什么效果，因为这不象分

数裂项那样能消去很多项.我们再来看后面的式子，每一项的分母容易让我们想到公式12+

224-32+­•-4-n2=ixnX(n4-1)x(2n+1),

于是我们又有百二=马许・

减号前面括号里的式子有10项，减号后面括号里的式子也恰好有10项，是不是“一个对一个"

呢？

111\/I11\

帝+而+…+广臣++…+12+22+...+104

/111\/111\

<I--------1----------+…H---------------)-6XI---------------+---------------+…H-----------------------I

\2x34x520x21/\1x2x32x3x510x11x21/

/I11\/I11

<I----|------k-|-------j—24xI---------1---------1------------

\2x34x520x21/\2x4x34x6x520x22x21

L\2x32x4x3/\4x54x6x5/120x2120x22x214

(111\

\2x44x620x22/

/111\

\1x2+2x3+…+10x117

60

11

20.计算：11x29+12x28+­••+19x21=.

【答案】3315

【分析】

原式=(2。2-92)+(202-82)+…+(202-I2)

=202x9-(M+22+…+92)

1

=3600--X9x10x19

6

=3315.

21.计算：1x22+2x32+3x42+…+18x192+19x202=.

【答案】41230

【分析】分拆(2-1)x22=23—22,(3-1)X32=33-32,再用公式,

原式=(23-22)+(33-32)+…+(203-202)

=(1+23+33+•••+203)-(1+22+32+…+202)

=202x2124-20x21x414-6

=41230.

22.计算：52+62+72+-+302=.

【答案】9425

【分析】

原式=(I2+22+32+•­•+292+302)-(I2+22+32+42)

30x31x61

=-6-------30

=9455-30

=9425.

23.规定aab=ax(a+2)-(a+l)-b,计算：(2△1)+…+(11△10)=.

【答案】505

【分析】这个题目直接套用定义给的公式非常麻烦，需要套用10次，然后再求和.但是我们注

意到要求的10项值有一个共同的特点就是在要我们求得这个式子中6=a-1，所以，我们不

妨把b=a-1代入原定义.

aAb=ax(a+2)—(a+l)-b

就变成了

a△b=ax(a+2)—(a+1)—(a—1)=a2.

所以241=22,3A2=32,3A2=ll2,那么

原式=22+32+42+-+ll2

11x12x23

=61

=505.

24.1x1+2x3+3x5+4x7+-+99x197=.

【答案】651750

【分析】I2+22H---Fn2=+l)(2n+1).

6

1

Ix2+2x3+3x4+…+n(Ti+1)="+1)(几+2)

原式="+22+32+…+992+1x2+2x3+3x4+…+98x99

11

=-x99x100x199+-x98x99x100

63

=328350+323400

=651750

25.正整数4分解质因数可以写成4=20x36x5〃，其中a,0,y是自然数.如果4的二分之一是

完全平方数，A的三分之一是完全立方数，4的五分之一是某个自然数的五次方，那么a+0+

y的最小值是.

【答案】31

【分析】4的二分之一是完全平方数，a-l,0,y是2的倍数；4的三分之一是完全立方数，

a,0-l,y是3的倍数；4的五分之一是某个自然数的五次方，a,£,y-1是5的倍数；要a+0+

y的值最小，分别求满足条件的a1,y值：3x5—1是2的倍数，a的最小值为15,2x3—1是5

的倍数，y的最小值为6,2x5—1是3的倍数，£的最小值为10,所以a+0+y的最小值是：

15+6+10=31.

26.对自然数a和n,规定a(7n=a"+a”】，例如3。2=3?+3=12,那么：

(1)172+272+372+-+9972=；

(2)271+272+273+-+2(799=.

【答案】(1)333300；⑵3x2"-3

【分析】(1)

原式=I2+1+22+2+32+3+-+992+99

=(I2+22+32+…+992)+(1+2+3+-+99)

=99x100x199+6+4950

=328350+4950

=333300;

(2)

原式=21+2°+22+21+23+22+…+2"+298

=(20+21+22+…+298)+(21+22+23+…+2")

=(20+21+22+…298)x3

=(2"-1)x3

=3x299—3

27.围棋棋盘是由19条点和19条竖蔑组成的正方形方阵，其中有多少个正方形呢？

【答案】2109个

【分析】简答：按正方形的大小分类，共有182+172+.••+M=2109个.

28.我们知道：9=3x3,16=4x4,这里，9、16叫做“完全平方数”，在前300个自然数中,

去掉所存的“完全平方数”，剩下的自然数的和是多少？.

【答案】43365

【分析】不超过300的完全平方数，有1、4、9、16、25、36、49、64、81、100>121、144、

169、196、225、256、289,^12+22+32+-+172=17x18x35=1785.前300

6

个自然数的和是：1+2+3+…+300=45150,于是剩下的自然数的和45150-1785=

43365.

29.12+22+32+•••+20012+20022除以7的余数是多少？

【答案】0

【分析】由于

I2+22+32+…+20012+20022

2002x2003x4005

一6

=1001x2003x1335

而1001是7的倍数，所以这个乘积也是7的倍数，故M+22+32+…+200/+20022除以7的

余数是0;

30.计算以下式子的值：

111111

24X(273+475+-"+2072i)-(P+FT2^+-"F+2^+-+10^

【答案】黑

【分析】虽然很容易看出白=之一如短……可是再仔细一看，并没有什么效果，因为

这不像分数裂项那样能消,很多项.黄们再来看后面的式子，每一项的分母容易让我们想到公

式

1

I24-224-32H---1-n2=-Xnx(n4-1)x(2n+1),

6

于是我们又有

_______1_______________6______

I24-224-32H---Fn2nx(n+l)(2n—1),

减号前面括号里的式子有10项，减号后面括号里的式子也恰好有10项

111111

24X(2^3+475+,"+2^2i)~(P+F72^+",+P+22+...+102)

111

,2x34x520x2V

111

4x2x32x3x510x11x12，

111

12x34x520x21，

111

24X(--------1---------k...H-----------)

‘2x4x34x6x520x22x2r

r1111

「2x32x4x3714x54x6x5，

111

…+(20X21—20X22x21)]

111