高考数学一轮复习 练案（58）第九讲 圆锥曲线的综合问题 第1课时 直线与圆锥曲线的位置关系（含解析）-人教版高三数学试题

[练案58]第九讲圆锥曲线的综合问题第一课时直线与圆锥曲线的位置关系A组基础巩固一、单选题1．(2019·河南豫东联考)已知椭圆的中心在原点，离心率e＝eq\f(1,2)，且它的一个焦点与抛物线y2＝－4x的焦点重合，则此椭圆的方程为(A)A．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 B．eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,6)＝1C.eq\f(x2,2)＋y2＝1 D．eq\f(x2,4)＋y2＝1[解析]依题意，可设椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1,0)，所以c＝1.又离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，解得a＝2，b2＝a2－c2＝3，所以椭圆方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，故选A.2．(2019·山东聊城二模，6)已知直线l与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，若线段AB的中点为(2,1)，则直线l的方程为(D)A．y＝x－1 B．y＝－2x＋5C．y－x＋3 D．y＝2x－3[解析]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y\o\al(2,1)＝4x1①，,y\o\al(2,2)＝4x2②，))①－②得yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2)＝4(x1－x2)，由题可知x1≠x2，∴eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(4,y1＋y2)＝eq\f(4,2)＝2，即kAB＝2，∴直线l的方程为y－1＝2(x－2)，即2x－y－3＝0.故选D.3．(2020·石家庄质检)双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作倾斜角为60°的直线与y轴和双曲线的右支分别交于A，B两点，若点A平分线段F1B，则该双曲线的离心率是(B)A．eq\r(3) B．2＋eq\r(3)C．2 D．eq\r(2)＋1[解析]由题意可知A是F1B的中点，O是F1F2的中点(O为坐标原点)，连接BF2，则OA是△F1BF2的中位线，故OA∥BF2，故F1F2⊥BF2，又∠BF1F2＝60°，|F1F2|＝2c，∴|BF1|＝4c，|BF2|＝2eq\r(3)c，∴2a＝4c－2eq\r(3)c，∴e＝eq\f(c,a)＝2＋eq\r(3)，故选B.4．(2019·广东深圳调研)设F1，F2分别为椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，点A，B分别为椭圆C的右顶点和下顶点，且点F1关于直线AB的对称点为M.若MF2⊥F1F2，则椭圆C的离心率为(C)A．eq\f(\r(3)－1,2) B．eq\f(\r(3)－1,3)C.eq\f(\r(5)－1,2) D．eq\f(\r(2),2)[解析]设M(c，y0)，则MF1的中点为N(0，eq\f(y0,2))，即N在y轴上，N又在直线AB上，即点N与B重合，AB⊥BF1⇒kABkBF1＝－1⇒eq\f(b,a)·(－eq\f(b,c))＝－1.故⇒b2＝ac⇒a2－c2＝ac⇒e2＋e－1＝0，∴e＝eq\f(\r(5)－1,2)，选C.5．(2020·榆林调研)已知抛物线y2＝2px(p>0)与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线交于点M(1，m)，点M到抛物线焦点的距离为3，则双曲线的离心率等于(A)A．3 B．4C．eq\r(3) D．2[解析]点M到抛物线焦点的距离为eq\f(p,2)＋1＝3⇒p＝4，∴抛物线方程为y2＝8x，∴m2＝8.双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，两边平方得y2＝(±eq\f(b,a))2x2，把M(1，m)代入上式得8＝(eq\f(b,a))2，∴双曲线的离心率e＝eq\r(1＋\f(b,a)2)＝3.6．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过焦点F的直线交抛物线于A、B两点，O为坐标原点，若△AOB的面积为eq\r(6)，则|AB|＝(A)A．6 B．8C．12 D．16[解析]由题意知抛物线y2＝4x的焦点F的坐标为(1,0)，易知当直线AB垂直于x轴时，△AOB的面积为2，不满足题意，所以可设直线AB的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，与y2＝4x联立，消去x得ky2－4y－4k＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1＋y2＝eq\f(4,k)，y1y2＝－4，所以|y1－y2|＝eq\r(\f(16,k2)＋16)，所以△AOB的面积为eq\f(1,2)×1×eq\r(\f(16,k2)＋16)＝eq\r(6)，解得k＝±eq\r(2)，所以|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|＝6，故选A.7．(2019·北京市海淀区模拟)椭圆C1：eq\f(x2,4)＋y2＝1与双曲线C2：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的离心率之积为1，则双曲线C2的两条渐近线的倾斜角分别为(C)A．eq\f(π,6)，－eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)，－eq\f(π,3)C.eq\f(π,6)，eq\f(5π,6) D．eq\f(π,3)，eq\f(2π,3)[解析]椭圆中：a＝2，b＝1，所以，c＝eq\r(3)，离心率为：eq\f(\r(3),2)，设双曲线的离心率为：e，则e×eq\f(\r(3),2)＝1，得：e＝eq\f(2\r(3),3)，双曲线中：e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2\r(3),3)，即：c2＝eq\f(4,3)a2，又c2＝a2＋b2，所以，eq\f(4,3)a2＝a2＋b2，得：a＝eq\r(3)b，双曲线的渐近线为：y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\f(\r(3),3)x，所以，两条渐近线的倾率为：k＝±eq\f(\r(3),3)倾斜角分别为eq\f(π,6)，eq\f(5π,6)，故选C.8．(2020·河南省濮阳市模拟)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于A、B两点，弦AB的中点M到抛物线C的准线的距离为5，则直线l的斜率为(B)A．±eq\f(\r(6),2) B．±eq\f(\r(6),3)C．±eq\f(\r(2),2) D．±1[解析]由题意，抛物线C：y2＝4x的焦点F(1,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的方程为y＝k(x－1)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1,y2＝4x))得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，∴x1＋x2＝eq\f(2k2＋4,k2)，又由题意x1＋x2＋2＝10，即x1＋x2＝8，∴eq\f(k2＋2,k2)＝4，解得k＝±eq\f(\r(6),3)，故选B.二、多选题9．(2020·广西河池期末改编)已知直线l在y轴上的截距为2，且与双曲线x2－eq\f(y2,3)＝1的渐近线平行，则直线l的方程可以是(AB)A．y＝eq\r(3)x＋2 B．y＝－eq\r(3)x＋2C．y＝－eq\f(\r(3),3)x＋2 D．y＝eq\f(\r(3),3)x＋2[解析]双曲线x2－eq\f(y2,3)＝1的渐近线方程为y＝±eq\r(3)x，∴直线l的方程为y＝±eq\r(3)x＋2.故选AB.10．若原点O到直线l的距离不大于1，则直线l与下列曲线一定有公共点的是(AC)A．y＝x2－2 B．(x－1)2＋y2＝1C.eq\f(x2,2)＋y2＝1 D．x2－y2＝1[解析]数形结合知选AC.三、填空题11．(2019·大同质检)已知抛物线y2＝16x的准线过双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且双曲线的一条渐近线方程为y＝eq\r(3)x，则该双曲线的标准方程是eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1.[解析]∵抛物线y2＝16x的准线x＝－4过双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一个焦点，∴c＝4.又双曲线的一条渐近线方程为y＝eq\r(3)x，可得b＝eq\r(3)a，又c＝eq\r(a2＋b2)＝4，∴a＝2，b＝2eq\r(3)，∴所求双曲线的标准方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1.12．(2019·辽宁营口期末)直线y＝k(x－1)与抛物线y2＝4x交于A，B两点，若|AB|＝eq\f(16,3)，则k＝±eq\r(3).[解析]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为直线AB经过抛物线y2＝4x的焦点，所以|AB|＝x1＋x2＋2＝eq\f(16,3)，所以x1＋x2＝eq\f(10,3).联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,y＝kx－1))得到k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，所以x1＋x2＝eq\f(2k2＋4,k2)＝eq\f(10,3)，所以k＝±eq\r(3).13．(2019·河北衡水三模)“九天揽月”是中华民族的伟大梦想，我国探月工程的进展与实力举世瞩目．近期，“嫦娥四号”探测器实现历史上的首次月背着陆，月球上“嫦娥四号”的着陆点，被命名为天河基地，如图是“嫦娥四号”运行轨道示意图，圆形轨道距月球表面100千米，椭圆形轨道的一个焦点是月球球心，一个长轴顶点位于两轨道相切的变轨处，另一个长轴顶点距月球表面15千米，则椭圆形轨道的焦距为__85__千米．[解析]设椭圆的长半轴长为a千米，半焦距为c千米，月球半径为r千米．由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋c＝100＋r，,a－c＝15＋r，))解得2c＝85.即椭圆形轨道的焦距为85千米．四、解答题14．(2017·北京高考)已知抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)．过点(0，eq\f(1,2))作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点．(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A为线段BM的中点．[解析](1)由抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)，得p＝eq\f(1,2).所以抛物线C的方程为y2＝x.抛物线C的焦点坐标为(eq\f(1,4)，0)，准线方程为x＝－eq\f(1,4).(2)由题意，设直线l的方程为y＝kx＋eq\f(1,2)(k≠0)，l与抛物线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋\f(1,2)，,y2＝x))得4k2x2＋(4k－4)x＋1＝0.则x1＋x2＝eq\f(1－k,k2)，x1x2＝eq\f(1,4k2).因为点P的坐标为(1,1)，所以直线OP的方程为y＝x，点A的坐标为(x1，x1)．直线ON的方程为y＝eq\f(y2,x2)x，点B的坐标为(x1，eq\f(y2x1,x2))．因为y1＋eq\f(y2x1,x2)－2x1＝eq\f(y1x2＋y2x1－2x1x2,x2)＝eq\f(kx1＋\f(1,2)x2＋kx2＋\f(1,2)x1－2x1x2,x2)＝eq\f(2k－2x1x2＋\f(1,2)x2＋x1,x2)＝eq\f(2k－2×\f(1,4k2)＋\f(1－k,2k2),x2)＝0，所以y1＋eq\f(y2x1,x2)＝2x1.故A为线段BM的中点．15．(2019·广东惠州三调)已知椭圆E的一个顶点为A(0,1)，焦点在x轴上，椭圆的右焦点到直线x－y＋2eq\r(2)＝0的距离是3.(1)求椭圆E的方程；(2)设过点A的直线l与该椭圆交于另一点B，当弦AB的长度最大时，求直线l的方程．[解析](1)由题意，知b＝1.因为右焦点(c,0)(c>0)到直线x－y＋2eq\r(2)＝0的距离d＝eq\f(|c＋2\r(2)|,\r(2))＝3，所以c＝eq\r(2)，所以a＝eq\r(b2＋c2)＝eq\r(3)，因为椭圆E的焦点在x轴上，所以椭圆E的方程为eq\f(x2,3)＋y2＝1.(2)当直线l的斜率不存在时，|AB|＝2.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0)，联立得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,\f(x2,3)＋y2＝1，))消去y得(1＋3k2)x2＋6kx＝0，因为xA＝0，所以xB＝－eq\f(6k,1＋3k2)，则|AB|＝eq\r(1＋k2)eq\f(6|k|,1＋3k2)，|AB|2＝eq\f(36k21＋k2,1＋3k22)，令t＝1＋3k2，t∈(1，＋∞)，则|AB|2＝4[－2(eq\f(1,t))2＋eq\f(1,t)＋1]＝－8(eq\f(1,t)－eq\f(1,4))2＋eq\f(9,2)，所以，当eq\f(1,t)＝eq\f(1,4)，即k2＝1，亦即k＝±1时，|AB|2取得最大值eq\f(9,2)，即|AB|的最大值为eq\f(3\r(2),2).综上，|AB|的最大值为eq\f(3\r(2),2)，此时直线l的方程为y＝x＋1或y＝－x＋1.B组能力提升1．(2018·课标Ⅰ卷)已知双曲线C：eq\f(x2,3)－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝(B)A．eq\f(3,2) B．3C．2eq\r(3) D．4[解析]由双曲线C：eq\f(x2,3)－y2＝1可知其渐近线方程为y＝±eq\f(\r(3),3)x，∴∠MOx＝30°，∴∠MON＝60°，不妨设∠OMN＝90°，则易知焦点F到渐近线的距离为b，即|MF|＝b＝1，又知|OF|＝c＝2，∴|OM|＝eq\r(3)，则在Rt△OMN中，|MN|＝|OM|·tan∠MON＝3.故选B.2．(2019·贵州贵阳适应性考试)双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别为l1，l2，F为其一个焦点，若F关于l1的对称点在l2上，则双曲线的渐近线方程为(D)A．y＝±2x B．y＝±3xC．y＝±eq\r(2)x D．y＝±eq\r(3)x[解析]设F关于l1的对称点为H，即l1垂直平分FH，∴∠1＝∠2，又∠1＝∠3，∴∠1＝∠2＝∠3＝eq\f(π,3)，∴kl1＝eq\r(3)，∴所求渐近线方程为y＝±eq\r(3)x.故选D.3．(2020·河南天一大联考)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线C与圆C′：x2＋(y－eq\r(3))2＝3交于M，N两点，若|MN|＝eq\r(6)，则△MNF的面积为(B)A．eq\f(\r(2),8) B．eq\f(3,8)C．eq\f(3\r(2),8) D．eq\f(3\r(2),4)[解析]作出图形如下图所示，由题意知|AM|＝2eq\r(3).因为点N为圆C′圆周上一点，所以∠ANM＝90°，则在Rt△ANM中，由|AM|＝2eq\r(3)，|MN|＝eq\r(6)，得|AN|＝eq\r(|AM|2－|MN|2)＝eq\r(6)，∠AMN＝45°，所以N(eq\r(3)，eq\r(3))代入y2＝2px中，解得p＝eq\f(\r(3),2)，故△MNF的面积为eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),4)×eq\r(3)＝eq\f(3,8).4．(2020·安徽1号卷A10联盟联考)设点D为圆E：(x＋eq\r(3))2＋y2＝16上的动点，点F(eq\r(3)，0)，线段DF的垂直平分线与DE相交于点C.(1)求证：动点C的轨迹是椭圆，并求出该椭圆的标准方程；(2)设(1)中椭圆的上顶点为P，经过点Q(2，－1)的直线l与该椭圆交于A，B两点(异于点P)，记直线PA的斜率为k1，直线PB的斜率为k2，求k1＋k2的值．[解析](1)由题意得，|CF|＝|CD|，∴|CE|＋|CF|＝|CE|＋|CD|＝|ED|＝4>|EF|＝2eq\r(3)，∴点C的轨迹是以点E，F为焦点，焦距为2eq\r(3)，长轴为4的椭圆．b＝eq\r(a2－c2)＝eq\r(4－3)＝1，∴椭圆的标准方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝2，此时直线l与椭圆相切，不符合题意；若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＋1＝k(x－2)，即y＝kx－2k－1.联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－2k－1,\f(x2,4)＋y2＝1))，得(1＋4k2)x2－8k(2k＋1)x＋16k2＋16k＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq\f(8k2k＋1,1＋4k2)，x1x2＝eq\f(16k2＋16k,1＋4k2)，∴k1＋k2＝eq\f(y1－1,x1)＋eq\f(y2－1,x2)＝eq\f(x2kx1－2k－2＋x1kx2－2k－2,x1x2)＝eq\f(2kx1x