四川省2022年高考理数考试真题与答案解析

四川省2022年高考•理科数学•考试真题与答案解析

一、选择题

本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.若z=—l+gi,贝1］告=（）

ZZ-1

1aG

A.—1+V3iB.—1—V3iC.-------1------iD.--——i

3333

【答案】c

【详解】z=-l-V3i,zz=（-l+后）（-1-后）=1+3=4.

z_-l+V3i1V3.

--+——i，故选：C

zz-1-V33

2.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果，随机抽取10位社

区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前

和讲座后问卷答题的正确率如下图，则（）

100%....................................................................................-•................

95%............................................................................•.............................."

90%..........♦............................................................*...............................

格85%....................♦............................♦…一♦.......*…一♦……

穆80%..................................................................-........................................*讲座前

田75%................................................................./..........................................•讲座后

70%.................................*•..........................................................................

65%…*........................................*..................................................

60%1'.......................-........................................

U12345678910

居民编号

A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%

B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%

C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差

D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

【答案】B

70%+75%

【详解】讲座前中位数为一—>70%,所以A错；

讲座后问卷答题的正确率只有一个是80%，4个85%,剩下全部大于等于90%,所以讲座后问卷

答题的正确率的平均数大于85%,所以B对；

讲座前问卷答题的正确率更加分散，所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率

的标准差，所以C错；

讲座后问卷答题的正确率的极差为100%-80%=20%,

讲座前问卷答题的正确率的极差为95%-60%=35%>20%，所以D错.

故选:B.

3.设全集°={-2,-1,0,1,2,3},集合"={_1,2},8=卜|--4刀+3=0},则电(4u5)=()

A.{1,3}B.{0,3}C.{-2,1}D.{-2,0}

【答案】D

2

［详解］由题意，5={X|X-4X+3=0}={1,3}；所以入8={-1,1,2,3},

所以«(/口8)={-2,0}。故选：D.

4.如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1,则该多面体的

体积为()

A.8B.12C.16D.20

【答案】B

【详解】由三视图还原几何体，如图,

则该直四棱柱的体积展一y-x2x2=12,故选：B.

5.函数尸（3,-3-*）cosx在区间一卦的图象大致为（）

［详解］令/'(x)=(3'—37)cosx,xe,

则/(—x)=(3、31cos(—x)=—(3,—3一")cosx=-f(x),

所以/'(x)为奇函数，排除BD;

又当时，3'—3T>0,cosx>0,所以/(力>0,排除C.

故选：A.

b

6.当x=l时，函数/G)=alnx+一取得最大值-2,则八2)=()

X

1-1

A.-1B.~~C.2D.1

【答案】B

【详解】因为函数/(x)定义域为(°，+。)，所以依题可知，/0)=-2,/'(1)=0,而

ab22

=所以b=—2,"b=o,即a=—2,b=-2,所以/卜)=—《+尊，因此函数/(x)

在(0/)上递增，在(L+00)上递减，》=1时取最大值，满足题意，即有八2)=-1+；=-；.

故选:B.

7.在长方体/88-48CQ中，已知8Q与平面相C。和平面4448所成的角均为30°,则()

A.AB=2ADB.4?与平面48CQ所成的角为30°

C.4C=CB]D.与平面所成的角为45°

【答案】D

【详解】如图所示：

不妨设==依题以及长方体的结构特征可知，与。与平面N8CO所成角为

cb

NBQB,8Q与平面“4月8所成角为ND8/,所以sin30°=丽=而，即6=。，

BQ=2c=\Ja2+b2+c2,解得a=\flc.

对于A,4B=a,AD=b,AB=6AD,A错误；

对于B,过8作BE■!叫于E,易知跖，平面AB£D，所以N6与平面AB.QD所成角为ABAE,

cJ2

因为tan/A4E=—=一，所以/氏4E/30。，B错误；

a2

对于c,AC7a=瓜,C4=J〃+c2=缶，AC^CB],C错误；

对于D,BQ与平面88。。所成角为NDB。，sinNDB0=^=；而

B、D2c2

0</。用。<900,所以/。与。=45°.D正确.

故选：D.

8.沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，

如图，荔是以。为圆心，04为半径的圆弧，C是的4?中点，。在筋上，CD上4B."会

CD?

圆术”给出前的弧长的近似值S的计算公式：S=/8+KT.当。4=2,408=60。时，s=

OA

()

11-373H-4V3「9-36

AA.----------D.----------

222

【答案】B

【详解】解：如图，连接。。，

因为C是的中点，

所以。C_L/8,

又CD上AB,所以O,C,°三点共线,

即OD=OA=OB=2,

又406=60。，

所以AB=OA=OB=2,

则OC=G,故CD=2-也,

2=2+&8[=11-4百,故选：B

所以s=/8+0.

OA22

9.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2兀，侧面积分别为际和与,

体积分别为4和若萨=2,则$=（）

q乙y乙

A.V5B,272C.V10＞平

【答案】C

【分析】设母线长为/,甲圆锥底面半径为外，乙圆锥底面圆半径为弓，根据圆锥的侧面积公

式可得＜=2〃，再结合圆心角之和可将讨2分别用/表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的

高，再根据圆锥的体积公式即可得解.

【详解】解：设母线长为/,甲圆锥底面半径为仁乙圆锥底面圆半径为弓,

则含=答=:=2,所以6=2弓，

5乙啊/r2

又等+等=2万，则与殳=1,所以/=|/,々=；/,

所以甲圆锥的高％=、3-白2=*/,

4葭鸟

上一*=回,故选：C.

1葭屹I

93

22

xv

10.椭圆U/+/叱…）的左顶点为/,点尺Q均在C上，且关于y轴对称.若直

线NP,/。的斜率之积为;，则C的离心率为（）

61

A.D.----C.yD.

T23

【答案】A

【分析】设0（芭，乂），则。（tqJ,根据斜率公式结合题意可得=再根据

-X.十。4

点+各=1,将乂用七表示，整理，再结合离心率公式即可得解

【详解】解：3,0）,

设尸（石，必）,则。（F，M）,则心产黄1七°

故如此。=+.+=七方4，

玉+。-Xj+a—Xj+。4

/(/_再2)

则心」b2(a2-Xj2)

又所以片

22

-xt+a

所以椭圆。的离心率e=：=H=曰，故选：A.

11.设函数/（x）=sin[s+?J在区间（0,兀）恰有三个极值点、两个零点，则。的取值范围是

（）

一13、「519、（1381（1319-

A。[5三句B.小向C.⑦1D.%，可

【答案】C

【详解】解：依题意可得口＞0,因为xe（O,乃），所以的+sr+：|,

要使函数在区间（0，乃）恰有三个极值点、两个零点，又歹=sinx,xe[?,34J的图象如下所示:

31,1,.1

12.已知〃=豆力=851。=45m区，则()

A.c>h>aB.h>a>cC.a>b>cD.a>c>b

【答案】A

C.1

【分析】由g=4tan）结合三角函数的性质可得。＞力；构造函数

/(x)=cosx+gx2—i,xe(0,+co),利用导数可得〃>〃，即可得解.

【详解】因为常哈，因为当段2，11c,,

I0,-l,sinx<x<tanx(所以tan[>],即2>1,所以c>b；

设/(x)=cosx+-1x2-l,xe(0,+oo),

八x）=-sinx+x〉0,所以/（x）在（0,+8）单调递增，则/（升/（。）=0，所以cos；-II〉0,

所以所以c〉b〉。，故选：A

二、填空题

本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.设向量坂的夹角的余弦值为:，且同=1,M=3,则（2Z+B”=.

【答案】11

【详解】解：设［与B的夹角为。，因为Z与B的夹角的余弦值为:，即cos6=；,

又忖=1,"=3,所以£%=曰•Wcos6=lx3x；=l,

所以（2a+B）.区=2a4+B=24}+同=2xl+3?=ll,故答案为：11.

x2

14.若双曲线V--?=1（加＞0）的渐近线与圆/+/一外+3=0相切，则〃?=

m

【答案】Y

2

X，X

【详解】解：双曲线V-版=1（加＞0）的渐近线为歹=±7,即X土叼=0,

不妨取X+叼=0,圆/+/一”+3=0,即》2+（尸2『=1,所以圆心为（0,2）,半径厂=1,

依题意圆心（°，2）到渐近线叼=。的距离1=十=勺=1,

解得加=["或加=-Y（舍去）.

15.从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为.

6

【答案】行.

【详解】从正方体的8个顶点中任取4个，有“=C；=70个结果，这4个点在同一个平面的有

//八n7126

加=6+6=12个，故所求概率尸=一=而.

n7035

AC

16.已知中，点。在边6c上，N4DB=l2°o,AD=2,CD=2BD.当年取得最小值时,

Af>

BD=.

【答案】V3-1

【详解】设CD=2BD=2m>0,

则在△48。中，AB2=BD-+AD'-2BD-ADcosZADB=w2+4+2m,

在AJCD中，AC2=CD2+AD2-2CD-ADcosZADC=4m2+4-4/M,

AC24m2+4-4m4（ZM2+4+2w）-12（l+m）12

.........---4_

所以45?m2+4+2m--------m2+4+2w......................（.,3

加+1）+----

17加+1

>4——[.-12---------=4-2也

V'm+\

当且仅当加+1==7即加=百-1时，等号成立，

m+1

AC

所以当年取最小值时，加=3r-1.

AD

故答案为：V3-1.

三、解答题

共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，每个试题考

生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(-)必考题：共60分.

25

17.记S,为数列｛&,｝的前〃项和.已知—+〃=2。“+1.

n

(1)证明：｛%｝是等差数列；

(2)若包，的，为成等比数列，求2的最小值.

【答案】

(1)证明见解析；

(2)-78.

【小问1详解】

2S

解：因为j+〃=2a,,+l,即2s“+〃92=2%+〃①，

77

当〃22时，2sl+(“—1)2——1)②，

22MM

①一②得，25„+M-25„_,-(«-1)=2nan+-2(-1)-(n-1),

即2%+2〃—1=2na,-2(n-l)a,I_1+1,

即=2(〃-1),所以4一生一=1,〃22且〃eN*,

所以｛为｝是以1为公差的等差数列.

【小问2详解】

解：由⑴可得知=%+3,%=%+6,为=%+8,

又。4,%,。9成等比数列，所以

即(q+6『=(q+3>(6+8),解得4=一12,

所以乙=〃-13,

…1,251(25?625

所以S„=-12“+--—=-«-—«=-,

，Zo

所以，当"=12或〃=13时(S,Jmin=-78.

18.在四棱锥P—N8CD中，PD上底面ABCD,CD〃AB,AD=DC=CB=l,AB=2,DP=y/i.

(1)证明：BDLPA-

(2)求尸。与平面尸48所成的角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；

⑵4-

【小问1详解】

证明：在四边形488中，作。于E,CF工幺B于F,

因为。。///6,〃。=8=。6=1,/8=2,

所以四边形48C。为等腰梯形，所以=8尸=；,故。E=g,BD7DE?+BE2=G,

所以/。2+&52=/82,所以，

因为POJ.平面48c。，8Ou平面48c。，所以尸。_1_8。，

又PDcAD=D,所以30,平面P4),又因P/u平面P/。，所以

【小问2详解】

解如图，以点。为原点建立空间直角坐标系，BD=拒，则Z(I,O,O),B(O,G,O),P(O,O,百),

设平面P48的法向量］=(x/,z),

n-AP=—x+>/3z=0_/厂、/一n-DP45

则有1.日.岛+任=。’可取则小〃网=袍=彳

所以尸。与平面PAB所成角的正弦值为鼻.

19.甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得。分,

没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的

概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.

（1）求甲学校获得冠军的概率；

（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望.

【答案】（1）06；（2）分布列见解析，玳丫）=13.

【小问1详解】

设甲在三个项目中获胜的事件依次记为4民0,所以甲学校获得冠军的概率为

P=P（ABC）+P（ABC）+P（ABC）+P（ABC）

=0.5x0.4x0.8+0.5x0.4x0.8+0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2

=0.16+0.16+0.24+0.04=0.6.

【小问2详解】

依题可知，X的可能取值为0,10,20,30,所以，

p（X=0）=0.5x04x0.8=0.16,P（X=10）=0.5x0.4x0.8+0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2=0.44,

P（X=20）=0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2+0.5x0.6x0.2=0.34,

p（X=30）=0.5x0.6x0.2=0.06。

即X的分布列为:

X0102030

P0.160.440.340.06

期望E(x)=0x0.16+10x0.44+20x0.34+30x0.06=13.

20.设抛物线C：/=2px(p>0)的焦点为尸，点°(p,0),过尸的直线交C于用，N两点.当

直线用。垂直于x轴时，|儿/1=3.

(1)求C的方程；

(2)设直线VNO与C的另一个交点分别为力，B,记直线的倾斜角分别为

a，B.当。一£取得最大值时，求直线S8的方程.

【答案】⑴V=4x；(2)AB-.x=^2y+4.

【小问1详解】

抛物线的准线为x=一5,当河。与X轴垂直时，点用的横坐标为Q,

此时|防1=。+5=3,所以P=2,所以抛物线C的方程为V=4x；

【小问2详解】

(2\(2\(2\/2、

设拉手J1，N号，为4与%1,直线MN:x=my+l,

k47\47\47\47

x=my-¥\

由12/可得-Amy-4=0,△〉0，,%=一4,

b=4x

k=一一%=4=--乂=4

由斜率公式可得小液_破必+必，"%+乂，

4444

x-24(x-2)

直线A/O:x=」［j+2,代入抛物线方程可得/一上__^.^-8=0,

,4

A>0/M=-8,所以%=2%,同理可得乂=2乂，所以与3==1二而

ktancc

又因为直线/WM力8的倾斜角分别为明尸，所以心B=tan/?=^=w-,

若要使a一尸最大，贝

^,tana-tan.=比=1<1=立

2

设£wv=2kAB=2%>0,则1+tanatan£1+2Z:1，114,

192代2

当且仅当;=2左即左=当时，等号成立，所以当〃一"最大时，…鼻,

%22

设直线"：x=历+〃，代入抛物线方程可得/一4岛—4〃=0,

公>0，%为=-4〃=4乂8=-16,所以〃=4,所以直线48:%=历+4.

X

21.已知函数/(x)=不一lnx+x-。.

(1)若/(x)2°,求a的取值范围；⑵证明：若/(X)有两个零点司历，则环苞々<1.

【答案】⑴Se+l](2)证明见的解析

【小问1详解】

"X)的定义域为(°，+8),

令/(X)=0得X=1

当XG(0,1),r(x)<0,/(x)单调递减

当Xe(l,+oo),/,(x)>0,/(x)单调递增/(X)>/(I)=e+l-a,

若/(x"0,则e+1—。20,即a4e+l,所以。的取值范围为(一°°，e+l]

【小问2详解】

由题知，/(X)一个零点小于1,一个零点大于1,不妨设药<1<%，要证苞&<1,即证玉<；

人2

1(HD,即证/(石)>/[],因为/&)=/(》2),即证/(々)>/g1

因为否，二e

人2\X27

e'-1ex\

艮|1证---lnx+x-xe*-Inx-->0,xe(l,+oo),即证----xe;-2\nx--\x>0

XXXx

ex11

下面证明x>l时，]一xe'>0,lnx-]X-1<0

e'1

设g(x)=---xex,x>\,

X

、

7

设奴x)=J(x>l)，夕'(x)=p_'F'=停炉>0,所以姒x)>°(l)=e,而［<e

XyXXJX

v-ex'

所以一e一e，>0,所以g'(x)>0,所以g(x)在(l,+8)单调递增，即g(x)>g(D=0,所以——xe'>0

xx

,〃、1",2x-x2-lX2八，/、八、

A(%)=x-2l+P-J=—2?—=-~(2x-12)~<0，所以〃(x)在工+◎单调递减

ev-

即〃(x)</7(l)=0,所以In<0；综上，工—xe*-2>0,所以卒2<1.

（~）选考题

共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分。

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