几何与向量代数拓展

1第八章

空间解析几何与向量代数2第一节向量及其线性运算一、向量概念1.向量:既有大小,又有方向的量,称为向量(或矢量).用一条有方向的线段来表示向量.2.向量的几何表示法以线段的长度表示向量的大小,

AB特别:模为1的向量称为单位向量.

模为0的向量称为零向量.记为,它的方向可以看作是任意的.有向线段的方向表示向量的方向.以A为起点,B为终点的向量,记为或.AB向量

的大小叫做向量的模.记为

或.

ABAB||||33.自由向量自由向量:只有大小、方向,而无特定起点的向量.具有在空间中可以任意平移的性质.大小相等且方向相同,4.向量相等即通过平移可以使它们重合,45.向量平行(或共线)6.向量共面当把若干个向量的起点放在一起时,若它们的终点和公共起点在一个平面上,则称这些向量共面.

如果两个向量与的方向相同或相反,称为平行,记为‖51.向量的加减法(1)平行四边形法则(2)三角形法则向量的加法二、向量的线性运算6向量加法的运算规律:(1)交换律:

(2)结合律:7向量的减法(2)向量减法.规定:(1)负向量:与模相同而方向相反的向量,称为的负向量,记作.将之一平移,使起点重合,由的终点向的终点作一向量,即为

82.向量与数的乘法定义模:

当

>0时,

当

<0时,

当

=0时,

设

为实数.

规定:向量与数

的为一个向量.方向:9向量与数的乘积的运算规律:(1)结合律:(2)分配律:定理向量的单位化:

10试用向量证明三角形两边中点的连线平行于第三边,且其长度等于第三边的一半.

例1证ABCDE所以所以且11定点横轴纵轴竖轴空间直角坐标系三个坐标轴的正方向符合右手系.即以右手握住

z轴，当右手的四个手指度转向

y轴正向时，大拇指的指向就是z轴的正向.从

x

轴正向以角三、空间直角坐标系12Ⅶ面面面空间直角坐标系共有八个卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ13空间的点有序数组特殊点的表示:坐标轴上的点坐标面上的点一个分量为零:点在坐标面上.

两个分量为零:点在坐标轴上.

14向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标1.起点在原点的向量(向径)OM设点M(x,y,z)zijkMoxyCABzyxN以

分别表示沿x,y,z轴正向的单位向量,称为基本单位向量.OM=OA+AN+NM=OA+OB+OC称OA、OB、OC分别是OM在x轴,y轴,z轴上的分向量,而x,y,z,分别是OM在三坐标轴上的投影,称为OM的坐标.简记为

,此称为向量

的坐标表示式.15向量在轴上的投影向量在轴上的投影向量在轴上的投影2.起点不在原点O的任一向量设点M1

(x1,y1,z1),M2

(x2,y2,z2)16四、利用坐标作向量的线性运算17两向量平行的充要条件.即ax

=

bx,ay

=

by,az

=

bz,于是即对应的坐标成比例.注:在上式中规定,若某个分母为零,则相应的分子也为零.已知设且

为常数,18设为直线上的点，例2解由题意知：1920五、向量的模、方向角、投影1.向量的模与两点间的距离公式

由勾股定理知，此即向量模的坐标表示.

21POxyzRQR1R2P2P1Q1Q2M2M1N为空间两点,则由此得到两点间的距离公式：

22

在z轴上求与两点A(4,1,7)和B(3,5,

2)等距离的点.设该点为M(0,0,z),由题设|MA|=|MB|,即解得即所求点为例3解232.方向角与方向余弦空间两向量的夹角的概念：类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.

特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与之间任意取值.AOB或.24非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.由图分析可知向量的方向余弦方向余弦通常用来表示向量的方向.25非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.向量方向余弦的坐标表示式26方向余弦的特征特殊地：单位向量的方向余弦为27

已知两点M1(2,2,)和M2(1,3,0).计算向量M1M2的模,方向余弦和方向角.例4解M1M2={1,1,}模:方向余弦:方向角:283.向量在轴上的投影空间一点在轴上的投影29空间一向量在轴上的投影30关于向量的投影定理(1)证31两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影之和.

关于向量的投影定理(2)（可推广到有限多个）32关于向量的投影定理(3)33sF解:由物理知,与位移平行的分力作功,与位移垂直的分力不作功.于是第二节数量积向量积混合积一、两向量的数量积(ScalarProduct)例如:设力F作用于某物体上,物体有一段位移S,求功的表示式.34数量积也称为“点积”、“内积”.结论两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积.定义35关于数量积的说明：证证36数量积符合下列运算规律：（1）交换律：（2）分配律：（3）若为数：若、为数：37利用向量证明三角形的余弦定理例1证38例2证所以39数量积的坐标表达式设40两向量夹角余弦的坐标表示式由此可知两向量垂直的充要条件为41例3解42利用向量的方法证明三角形的三条高线交于一点.

例4证43二、两向量的向量积(VectorProduct)先研究物体转动时产生的力矩M的方向:垂直于OP与F所在的平面,指向使OP、F与M满足右手规则.44定义向量积也称为“叉积”、“外积”.

45注:（1）向量积的模的几何意义.46向量积符合下列运算规律：（1）（2）分配律：（3）若为数：注意次序47向量积的坐标表示式设48向量积还可用三阶行列式表示49例5解50三角形ABC的面积为例5解51三、向量的混合积(TripleScalar

Product)定义设--混合积的坐标表达式52（1）向量混合积的几何意义：关于混合积的说明：53解例654ABCD例7解55式中正负号的选择必须和行列式的符号一致.ABCD56向量的数量积向量的向量积向量的混合积（结果是一个数量）（结果是一个向量）（结果是一个数量）（注意共线、共面的条件）小结57

如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线向量．法线向量的特征：垂直于平面内的任一向量．已知平面的法线向量为设平面上的任一点为第三节平面及其方程一、平面的点法式方程且过点求平面方程.58—平面的点法式方程59解例1化简得所求平面方程为由平面的点法式60取所求平面方程为化简得解例2BCA61——称为平面的三点式方程

62所以所求平面的法向量为化简得所求平面方程为解例3两平面的法向分别为63二、平面的一般方程前面看到,平面可用三元一次方程表示；反之,任一三元一次方程

（*）

当

A,B,C不全为零时,表示一张平面,

它的法向为

（*）称为平面的一般方程.

64平面一般方程的几种特殊情况：平面通过坐标原点；平面通过轴；平面平行于轴；平面平行于坐标面；类似地可讨论情形.类似地可讨论情形.65解例4求通过x轴和点(4,3,1)的平面方程.由于平面过x轴,所以A=D=0.设所求平面的方程为By+Cz=0,又点(4,3,1)在平面上,所以

3B

C=0,

C=

3B,所求平面方程为By

3Bz=0,所以所求平面方程为66设平面方程为将三点坐标代入得解例567代入即得所求方程为平面的截距式方程oyPxzQR68把平面方程化为截距式解例669两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.定义（通常取锐角）三、两平面的夹角70按照两向量夹角余弦公式有两平面夹角余弦公式两平面位置特征：//71解例7两平面的法向分别为72解例8判断下列各组平面的位置关系:

两平面平行两平面平行但不重合．解73两平面平行两平面重合.解74解例9所求平面的法向为化简得75解例10设所求方程为76解四、点到平面的距离而77——点到平面距离公式78平面的方程（熟记平面的几种特殊位置的方程）两平面的夹角.点到平面的距离公式.点法式方程.一般方程.截距式方程.（注意两平面的位置关系）小结79定义空间直线可看成两个不平行平面的交线．空间直线的一般方程第四节空间直线及其方程一、空间直线的一般方程80方向向量的定义：如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为这条直线的方向向量．//二、空间直线的对称式方程与参数方程81直线的对称式方程(或点向式方程)此时直线与x轴垂直；

82令直线的一组方向数方向向量的余弦称为直线的方向余弦.直线的参数方程83解例1——直线的两点式方程

方向向量为所以所求直线方程为84所以交点为取所求直线方程解例2因为直线和y轴垂直相交,85解例3将直线一般式化为对称方程及参数方程：

先在直线上找一点:令解得86再求方向向量:参数方程为87

定义直线直线^两直线的方向向量的夹角称为两直线的夹角.（通常取锐角）两直线的夹角公式三、两直线的夹角s1s288两直线的位置关系：//直线直线例如，89解例490定义直线和它在平面上的投影直线的夹角称为直线与平面的夹角．^^四、直线与平面的夹角91直线与平面的夹角公式直线与平面的位置关系：//92判定下列各组直线与平面的关系:又点M0(3,4,0)在直线L上,但不在平面上,所以L与

平行,但不重合.解例5L的方向向量

的法向量所以

L与

平行.93判定下列各组直线与平面的关系:解例5L的方向向量

的法向量所以

L与

垂直.94为所求夹角．解例695解例7例8解方向向量96例9解97例9解所求直线为过点A,B的直线：

98五、平面束方程设两张平面相交于直线L,则过L的平面束可表示为

99例10解先求

L的方向向量：

方法1100例10方法1101例10方法2设过直线

L的平面束方程为

以下同方法1.102六、点到直线的距离

解所以

103例11解104空间直线的一般方程.空间直线的对称式方程与参数方程.两直线的夹角.直线与平面的夹角.（注意两直线的位置关系）（注意直线与平面的位置关系）小结105F(x,y,z)=0

Sxyzo一、曲面方程的概念定义:若曲面S与三元方程F(x,y,z)=0有如下关系:(1)S上任一点的坐标都满足方程F(x,y,z)=0;(2)坐标满足方程F(x,y,z)=0的点都在S上;那末,方程F(x,y,z)=0叫做曲面S的方程,而曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的图形

.第五节曲面及其方程106研究空间曲面有两个基本问题：（2）已知曲面方程，研究曲面形状．（讨论旋转曲面）（讨论柱面、二次曲面）（1）已知曲面上点的运动轨迹时，求曲面方程．107

M0

M

R例1解以下给出几例常见的曲面.根据题意有所求方程为特殊地：球心在原点时方程为108例2解方程的图形是怎样的？根据题意有图形上不封顶，下封底．109定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．播放二、旋转曲面旋转曲线称为该旋转曲面的母线.110旋转过程中的特征：将代入母线:111将代入得方程112所以圆锥面方程为例4解113例5114115例6116定义观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.三、柱面播放117xyzo例如:考虑方程x2+y2=R2所表示的曲面.在xoy面上,x2+y2=R2表示以原点O为圆心,半径为R的圆.曲面可以看作是由平行于

z

轴的直线L沿xoy面上的圆x2+y2=R2移动而形成,称该曲面为圆柱面.ol118画出下列柱面的图形:抛物柱面平面119二次曲面的定义：三元二次方程所表示的曲面称之．相应地平面被称为一次曲面．讨论二次曲面性状的截痕法：用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截,考察其交线(即截痕)的形状,

然后加以综合,

从而了解曲面的全貌．以下用截痕法讨论几种常见的二次曲面．四、二次曲面120zxyO1

用坐标面z=0,

x=0和y=0去截割,分别得椭圆(1)椭球面121zxyO(1)椭球面2

用平面z=k去截割(要求|k|c),得椭圆当|k|c

时,|k|越大,椭圆越小;当|k|=c时,椭圆退缩成点.122椭球面的几种特殊情况：旋转椭球面球面球面方程可写为123xyzozxyo(2)椭圆抛物面124xyzo(2)椭圆抛物面特殊情况：--旋转抛物面.125(3)椭圆锥面特殊情况：--圆锥面.126(4)单叶双曲面

xyoz(5)双叶双曲面xyo127(6)双曲抛物面(马鞍面)xyzo128椭圆柱面还有三种以二次曲线为准线的柱面：抛物柱面双曲柱面129第四节空间曲线及其方程曲线上的点都满足方程，不在曲线上的点不能同时满足两个方程.空间曲线C可看作空间两曲面的交线.特点：一、空间曲线的一般方程130方程组表示怎样的曲线？解表示圆柱面，表示平面，交线为椭圆.例1131方程组