小学奥数题库《计算》公式类平方和公式-4星题（含详解）

计算一公式类计算一平方和公式一4星题

课程目标

知识点考试要求具体要求考察频率

平方和公式B1.熟悉平方和公式少考

2.运用公式进行复杂的计算。

知识提要

平方和公式

・平方和公式好+22+32+.••+/=迎空生里2

6

精选例题

平方和公式

1.计算：12+32+52+-+192=.

【答案】1330

原式=12+32+52+-+192

=(I2+22+32+­­•+192)-(22+42+…+182)

【分析】=19x20x39+6-4x(/+2?+…+92)

=2470—9x10x19x4+6

=2470-285x4

=1330.

2.计算：12+22+42+52+72+82+102+II2+132+142+162=.

【答案】1001

原式=(I2+22+…+162)-(32+62+92+122+152)

【分析］=(/+22+…+162)-32x(I2+22+32+42+52)

=1496-495

=1001.

3.12+32+52+-+192=.

【答案】2185

I2+32+52+-+192

=(I2+22+32+-+192)-(22+42+…+182)

.、一=1x19x20x39-4x(I2+22+-+92)

【分析】6

=2470--X9x10x19

6

=2470-285

=2185.

4.计算：1x4+3x7+5x10+…+99x151=.

【答案】256225

【分析】观察可知式子中每一项乘积的被乘数与乘数依次成等差数列，被乘数依次为1,3,5,

…，99,乘数依次为4,7,10,…，151,根据等差数列的相关知识，被乘数可以表示为2n-

1,乘数可以表示为3n+l,所以通项公式为(2n-1)x(3兀+1)=6兀2一n—1.所以，

原式=(6xI2-1-1)+(6x22-2-1)+-+(6x502-50-1)

=6X(12+22+…+502)-(1+2+-+50)-50

1

=50x51x101--X50x51-50

=256225.

另解：如果不进行通项归纳，由于式子中每一项的被乘数与乘数的差是不相等，可以先将这个

差变为相等再进行计算.

1

原式=-x(3x8+9x14+15x20+-+297x302)

6

1

=6X

[3x(3+5)+9x(9+5)+15x(15+5)+…+297x(297+5)]

1

=6X

(32+3X5+92+9X5+152+15x5+…+2972+297X5)

1

=-x

6

[(32+92+152+…+2972)+5x(3+9+15+…+297)]

1

=6X

[9x(I2+32+52+…+992)+5x3x(14-3+54--+99)]

35

=2X(仔+32+52+…+992)+5x(1+3+5+…+99).

而仔+32+52+…+992和1+3+5+…+99都是我们非常熟悉的.

12+32+52+--+992

=(I2+22+32+…+1002)-(22+42+624-…+1002)

11

=-x100x101X201-4x-x50x51x101

66

=葭100x101x(201-102)

6

1

=-X99x100x101

6

=166650,

1+3+5+・・•+99=502=2500,

所以

_35

原式=-x166650+-x2500=256225.

小结：从上面的计算过程中可以看出，

1

12+32+52+-+992=-X99X100x101,

6

而

1

1x2+2x3+-+99x100=-x99x100x101,

所以有

(I2+32+52+•­•+992)x2=lx2+2x3+…+99X100.

5.计算：11x29+12x28+…+19x21=.

【答案】3315

【分析】

原式=(202-92)+(202-82)+-••+(202-I2)

=202x9-(I2+22+…+92)

1

=3600--X9x10x19

6

=3315.

6.12+32+52+72+-372=.

【答案】9139

【分析】因为

,,,,,,2n(2n+l)(4n+1)

12+22+32+42+…+(2n-I)2+(2n)2=---------------

6

224-42+…+(2也)2=4x(I24-224-…+n2)

nx(n+1)x(2n+1)

=4x-----------------.

所以

22n(2n4-l)(4n+1)

9912+32+…+9(2no-l)92+2?+42+…+(2n)2=---------------

6

l2+32+52+…+(2n-I)2=|n(4n2-1).

当n=19时，

1

原式=-X19X(4X192-1)

=9139.

7-24*(*+袅+…+焉)一(3+小+…+]Z+22；..+IOZ)=.

【答案】g

【分析】虽然很容易看出：=|y=y……可是再仔细一看，并没有什么效果，因为这不象分

数裂项那样能消去很多项.我们再来看后面的式子，每一项的分母容易让我们想到公式I?+

22+324---1-n2=1xnx(n4-l)x(2n+1),

于是我们又有西号

■+n2-nx(n+l)x(2n+l)-

减号前面括号里的式子有10项，减号后面括号里的式子也恰好有10项，是不是“一个对一个"

呢？

1\/I11\

石石+石石+…+赤㈤■■密+声万+…+声声

/111\/I11\

12x34x520x21/\1x2x32x3x510x11x21/

/I11\/I11

K(--------1----------F•••H------------)-24X1--------------1---------------!-■♦•+-----------------

\2x34x520x21/\2x4x34x6x520x22x21

=24x

1L(\—2x-3---2-x-45—x3;)+f\4—x-5---4-x-6—x5)/+…+f\—20x--21---2-0-x-2-2-x-2-1

/111\

=24x\2x4+4x6*…*20x22/

111\

--------1--------+…H-------------)

1x22x310x11/

60

&计3“+叫-2%

【答案】2485

原式=(I2+22+­­•+202)-(I2+22+-+102)

【分析】=41x21x20+6—21x10x11+6

=2485.

9.对自然数a和ri,规定a%i=a"+anT,例如3P2=32+3=12,那么:

(1)172+272+372+-+9972=；

(2)201+202+273+…+2099=.

【答案】(1)333300：(2)3x2"-3

【分析】(1)

原式=12+1+22+2+32+3+…+992+99

=(I2+22+32+…+992)+(1+2+3+-+99)

=99x100x199+6+4950

=328350+4950

=333300;

(2)

原式=21+2°+22+21+23+22+-+2"+298

=(20+21+22+■■■+298)+(21+22+23+…+2")

=(20+21+22+-298)X3

=(2"-1)x3

=3x2"-3.

10.计算：Ix3+2x4+3x5+…9X11=.

【答案】375

【分析】

原式=(2-1)(2+1)+(3-1)(3+1)+-+(10-1)(10+1)

=(22-1)+(32-1)+…+(102-1)

=(22+32+-+102)-9

=(I2+22+32+-+102)-10

10X11X21

=375.

11.计算：36+49+64+81+…+400=.

【答案】2815

原式=62+72+82+--+202

=I2+22+32+…+2。2-(I2+22+32+42+52)

【分析】=ix20x21x41-ix5x6xll

66

=2870-55

=2815.

12.规定a△b=ax(a+2)-(a+1)-b,计算：(241)+•••+(11△10)=.

【答案】505

【分析】这个题目直接套用定义给的公式非常麻烦，需要套用10次，然后再求和.但是我们注

意到要求的10项值有一个共同的特点就是在要我们求得这个式子中b=a-l,所以，我们不

妨把b=a-1代入原定义.

aAb=ax(a+2)—(a+1)—6

就变成了

a△b=ax(a+2)—(a+1)—(a-1)=a2.

所以2A1=22,3A2=32,3△2=ll2,那么

原式=22+32+42+-+ll2

11x12x23

=61

=505.

13.1x2+2x3+3x4+4x5+5x6+6x7+7x8+8x9+9x10=.

【答案】330

【分析】此题项数较少，可以直接将每一项乘积都计算出来再计算它们的和，但是对于项数较

多的情况显然不能这样进行计算.对于项数较多的情况，可以进行如下变形：

,、n(n4-l)(n4-2)—(n-l)n(n+1)1、,、1,、,

n(n+1)=---------------------------------------------=-n(n+l)(n4-2)--(n—l)n(n+1)

所以原式‘’’

1/11

=-xlx2x3+-x2x3x4--xlx2x3+•••4-x9x10x11--x8x9x10

3\33

1

=-x9x10x11=330

另解：由于九(几+1)=几2+几，所以

原式

=(I2+1)+(22+2)+-・•+(92+9)=(I24-22+…+92)+(1+2+・・•+9)

11

=-x9x10x19+-x9x10=330

62

采用此种方法也可以得到

1

lx2+2x3+・・,+nx(n+l)=-n(n+l)(n+2)

14.1x1+2x3+3x5+4x7+…+99x197=.

【答案】651750

22

【分析】I4-2+…+九2=ln(n+l)(2n+1).

6

1

1X2+2X3+3X4H---1-n(n+1)=-n(n+l)(n+2)

原式=I2+22+32+-+992+1x2+2x3+3x4+-+98x99

11

=-x99x100x199+-x98x99x100

63

=328350+323400

=651750

15.计算：1x22+2x32+3x42+…+18x192+19x202=.

【答案】41230

【分析】分拆(2-1)x22=23-22,(3-1)X32=33-32,再用公式，

原式=(23-22)+(33-32)+••■+(203-202)

=(1+23+33+…+203)-(1+22+32+-+202)

=2。2x2/+4-20x21x41+6

=41230.

16.正整数4分解质因数可以写成4=X5L其中a1,y是自然数.如果4的二分之一是

完全平方数，A的三分之一是完全立方数，4的五分之一是某个自然数的五次方，那么a+0+

y的最小值是.

【答案】31

【分析】4的二分之一是完全平方数，a-1,0,y是2的倍数；4的三分之一是完全立方数，

a,0-l,y是3的倍数：4的五分之一是某个自然数的五次方，a,0,y-1是5的倍数：要a+0+

y的值最小，分别求满足条件的a,值：3x5—1是2的倍数，a的最小值为15,2x3-1是5

的倍数，y的最小值为6,2x5—1是3的倍数，0的最小值为10,所以a+/?+y的最小值是：

15+6+10=31.

17.看规律13=12,13+23=32,I3+23+33=62-,试求63+73•+…+143.

【答案】10800

原式=(I3+23+••■+143)-(I3+23-+•••+53)

=(1+2+3+-+14)2一(1+2+3+4+5尸

［分析］=1052-152

=(105-15)(105+15)

=90x120

=10800.

计算以下式子的值：

111111

24*(*+而+-+而而)一年+