探究与发现双曲线的渐近线教学设计-高二上学期数学人教A版选择性

《探究与发现：为什么是双曲线的渐近线》教学设计一、教学内容在选择性必修第一册第三章《圆锥曲线的方程》中的双曲线的简单几何性质的课时教学过程中，介绍了双曲线的渐近线的定义和方程，首先从一个特殊的双曲线入手，借助信息技术，双曲线上任一点的横坐标到对应渐近线的距离，沿着双曲线延伸的方向拖动点的位置，距离在逐渐减小，从而得到双曲线与其渐近线是无限接近且永不相交的关系，将从代数角度进行严格证明的过程放到了课后的《探究与发现》.本节课的主要教学内容就是证明为什么是双曲线的渐近线，是对课堂教学内容的深层次剖析，是对提高学生数形结合能力，渗透极限等数学思想方法，发展数学运算等核心素养来说必要的学习过程，共一课时.二、教学目标1.知道双曲线的渐近线的定义，能证明是双曲线的渐近线；2.经历独立思考、合作交流的探究过程，积累数学思维活动经验，感悟数形结合、函数与方程、转化与化归、极限等数学思想方法；3.感受解析几何的本质就是用代数方法研究几何问题，体会从具体到一般的数学研究方法，发展直观想象、逻辑推理、数学运算等数学素养.三、教学重点与难点教学重点：双曲线的渐近线的代数证明过程.教学难点：双曲线的渐近线的代数证明过程.教学诊断分析知识上，学生知道双曲线的渐近线方程，能大致画出双曲线与其渐近线的图形，也能从无限接近、永不相交来刻画这种渐近特征，但是对于从代数角度，用哪个量来刻画这种渐近特征，又如何进行严谨的证明，证明的方向是什么，特别是证明过程中运算的技巧是比较困难的地方.能力上，学生具备一定的规范作图能力，也有一定的数学运算和逻辑推理能力，但是数形结合、转化与化归、函数与方程等数学思想方法的运用能力还远远不够，特别是极限的数学思想，除了之前在球的表面积公式的推导过程中接触过，这是第二次运用其解决问题.五、教学过程设计说明：本节课双曲线方程中的，后面不再标注.探究与发现：为什么是双曲线的渐近线【课前任务单】课本中123页关于双曲线的渐近线是这样描述的：你有哪些困惑？请整理下来，小组交流讨论.【课中案】展示交流、确定困惑引导语：课本中关于双曲线的渐近线是这样描述的：借助课前任务单，收集了大家的困惑，从中选取比较有代表性的小赛同学的问题单（如图1），今天让我们一起来为她答疑解惑.图1师生活动：教师口述引导语，展示课本关于双曲线的渐近线的相关描述和学生的问题单，针对学生提出的问题，展开讨论，预设如下：师：第一个问题，怎样刻画“无限接近、永不相交”？生：双曲线与渐近线之间的距离越来越小，趋近于0，且不等于0.师：第二个问题，要想证明是双曲线的渐近线，也就是说明双曲线与渐近线的关系是？生：无限接近、永不相交.师：要想刻画这种渐近线，首先可以从哪个角度出发？生：从形出发.教师运用GGB软件展示随着a、b的变化，双曲线与其渐近线“无限接近、永不相交”（如图2）.（图2）师：图形说明虽然直观，若要严谨还需要进行代数证明，数学中一类问题的解决往往从具体走向一般，请看问题1.设计意图：课本中对于双曲线的渐近线的描述，学生会有很多想法和困惑，借助课前任务单，小组交流讨论，形成问题单，提报给教师，教师针对学生困惑一致的点，在课堂展示，师生共同解决.在此环节，师生主要是针对前两个问题，首先将“无限接近、永不相交”转化成双曲线与渐近线之间的一种距离的刻画，越来越近；接着将学生提出的困惑2的解决转化为双曲线与其渐近线之间“无限接近且不相交”的渐进特征来解决，学生容易想到可以从图形观察这种渐进性，但不严谨，为从形到数的证明提供必要性.激发学生对问题解决方式的思考，增强遇到困难绝不退缩的勇气，调动学生学习积极性，增强数学学习的成就感.二、推理论证、解决困惑问题1.双曲线的渐近线是什么？为什么？师生活动：学生口答，双曲线的渐近线是，教师追问：为什么是双曲线的渐近线？从代数角度，你能找到哪个量来刻画两者之间的渐进特征？学生上台在PPT中画出找到的那个刻画渐近特征的“量”（如图3），即双曲线上任一点到渐近线的距离，同时指出由于双曲线的对称性，我们只研究第一象限,一并指出代数证明的大致步骤.一位同学板书，其它同学学案书写证明过程.（图3）预设学生遇到的困难1：双曲线上任取一点的坐标表示如何统一为一个变量？预设学生遇到的困难2：点到渐近线的距离表达出来之后，如何证明？针对学生遇到的困难，采取同伴交流补充的方式，特别是在证明的方法的选取上，鼓励学生多角度多方法，预设方法有以下三种（方法3留在课后继续探究）：；；用定义证明在上是减函数，且趋近于0.针对学生的难点，教师引导学生思考讨论各个击破.设计意图：问题1的设计是为了让学生将图形上的渐近特征转化为一个数量（双曲线上任一点到渐近线的距离）来刻画，将探究一的解决转化为去证明随着点在双曲线延伸的方向上运动，点到渐近线的距离逐渐减小趋近于0且不等于0，按照数学研究问题的思路：先猜想后证明，激发学生思考如何从代数角度进行严谨证明.对于代数证明过程中可能会遇到的几个问题，比如说双曲线上任一点的坐标表示，纵坐标是否可以由横坐标表示？怎么表示？为什么要这样表示？将点到渐近线的距离表示出来之后，如何实现的说明？提倡学生多角度的解决方式，渗透函数与方程、转化与化归、极限等数学思想方法，从具体的双曲线出发，分散教学难点，突出的本节课的教学重点.追问1.还可以用哪个相对简单的量来刻画这种“渐近”特征？请你说明理由.师生活动：学生上台指出寻找到的量（如图4），师生共同归纳证明目标即：（），给予学生时间思考书写，两位同学就两个量的证明过程进行板书讲解，同伴补充，教师点评.（图4）设计意图：（）两者的本质仍然是，但是运算量和运算难度都较之有所降低，不仅能帮助学生更快更好的解决问题，还能检验之前的代数证明过程的理解程度，为由具体走向一般提供方法.追问2.除了距离，还能用哪个量来刻画这种“渐近”特征？请你说明理由.师生活动：学生思考，口答，教师PPT中画出寻找的量（用双曲线上任一点与原点所连直线的斜率），教师运用GGB验证学生猜想的正确性（如图5），追问：我们怎样进行代数证明？学生板书讲解.图5设计意图：从形出发，到代数证明，再回到形，数形结合，首先引导学生猜想双曲线上任一点与原点所连直线的斜率也可以刻画渐近特征，借助教师运用信息技术验证学生猜想的正确性，并由学生完成代数证明，符合数学问题的研究路径：猜想——验证——证明的全过程.提高学生数形结合的能力，帮助学生解析几何的本质就是用代数方法解决几何问题，更深刻的感悟数学中解决问题的一般路径.追问3.除外，双曲线还有其它的渐近线吗？为什么？师生活动：学生思考口答，师生共同得出结论：没有其它的渐近线.教师追问：以上4种方法哪种更简单？学生口答.设计意图：问题1是证明为什么是双曲线的渐近线，我们不仅要证明它是，还得说明只有它是，基于以上原因设计追问3，最终得到双曲线的渐近线就是的结论.完成本节课的教学重点和难点，对于代数证明的4种方法，引导学生从运算到逻辑推理上的难易度进行对比，得到最优方法，为学生从具体到一般证明方法的选择做好铺垫.问题2.为什么是双曲线的渐近线？学生活动.请你以第一象限为例，选择一种方法进行代数证明.（要求：独立完成后，小组交流讨论，派一名代表展示，时间：5分钟）师生活动：学生独立思考、在学案上书写，两位同学实物投影讲解，同伴对其它方法进行补充讲解，教师总结点评.设计意图：将问题2解决完全交给学生，从思考书写到讲解补充，提高全体学生展示讲解的参与度和积极性，提高学生学习数学的热情和成就感,突破本节课的难点.问题3.为什么可以用来求的渐近线？师生活动：学生小组交流讨论，派代表上台展示讲解，将双曲线左边进行因式分解，从而进行换元，发现是一个反比例函数，借助反比例函数的两条渐进线来反推双曲线的渐近线，学生补充，教师点评.设计意图：将双曲线的渐近线与反比例函数的渐近线相关联，激发学生思考，其实我们之前学习过的很多函数都有渐近线，通过本节课的学习，要想说明渐进特征，都可以通过哪些角度，为问题4的引出做好铺垫.问题4.我们以前学习过的哪些函数有渐近线呢？师生活动：学生上台举例讲解，就以上同学所说的反比例函数进行深入剖析，若要说明反比例函数的渐近线是，有两个角度，从形怎样入手，从数怎样证明.设计意图：数学问题常用的研究路径是：猜想——验证——证明.学生通过本节课，对于渐近线有更深的理解，那么回顾之前的函数，可以说出它们的渐近线，那么如何证明就是本节课带领学生一起学会的知识和方法.提高学生数形结合的能力，帮助学生解析几何的本质就是用代数方法解决几何问题，更深刻的感悟数学中解决问题的一般路径.方法提炼、归纳总结1.我们是怎样证明是双曲线的渐近线的？2.证明过程中，你用到了哪些数学思想方法？3.你认为通过本节课的探究，你的哪些核心素养得到了很好