本章重点知识专项训练

本章重点知识专项训练湘教版·九年级上册一元二次方程根与系数的关系因式分解法配方法一元二次方程根的判别式一元二次方程的应用一元二次方程的解法公式法一元二次方程的有关概念一元二次方程知识回顾直接开平方法一.一元二次方程的定义：只含有

个未知数，且未知数的最高次数为

次的

方程叫一元二次方程。二.一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，a≠0）一2整式其中____是二次项，___是二次项系数，____是一次项，____是一次项系数，____是常数项。ax2abxbc三.一元二次方程的判断标准：(1)是整式方程；(2)只含有一个未知数；(3)未知数的最高次数为2次；(4)二次项的系数不为零.对应训练1.下面方程哪些是一元二次方程?哪些不是？请说明理由:×√√××××√√×2.若关于x的一元二次方程

的常数项是0，则m的值为（）

A.3

B.-3

C.±3

D.±9A

3.下列方程中,无论a为何值,总是关于x的一元二次方程的是()A.(2x-1)(x2+3)=2x2-aB.ax2+2x+4=0C.ax2+x=x2-1D.(a2+1)x2=0D特别提醒：若一元二次方程的二次项系数是一个字母或

式子，则该字母或式子不能为0！4.关于x

的方程

是一元二次方程吗？为什么？解：不是.∵当，即时，

∴方程中未知数的

最高次数不能是2.∴它不是一元二次方程5.关于x的方程(m+1)xm2-1

＋

(m-3)x

-1=0.

(1)当m为何值时，它是一元一次方程;

(2)当m为何值时，它是一元二次方程.解：(1)若首项非一次项，则：①②若首项是一次项，则：③5.关于x的方程(m+1)xm2-1

＋

(m-3)x

-1=0.

(1)当m为何值时，它是一元一次方程;

(2)当m为何值时，它是一元二次方程.四.一元二次方程的解法:解一元二方程的基本思路：降“次”解一元二方程的方法：直接开平方法配方法公式法因式分解法步骤：1.直接开平方法:根据平方根的定义，直接开平方求一元二次方程解的方法叫直接开平方法。定义：左边可化为一个包含未知数的平方式；右边可化为一个非负数。结构特征：6.运用直接开平方法解下列方程。对应训练(2)121-(y+3)2=02.配方法：在方程左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，使得含有未知数的项在一个完全平方式里，这种做法叫做配方。配方——整理后就可以直接根据平方根的意义求解了这种解一元二次方程的方法叫做配方法。定义：步骤：(1)化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数);(2)移项:使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项。(3)配方:方程两边同时加上一次项系数绝对值的一半的平方。(4)变形：变形为（mx+n）2=p的形式。(5)开方:当p≥0时根据平方根的意义,方程两边开平方;

当p＜0时，原方程无解。(6)求解:分别解所得的两个一元一次方程;(7)定解:写出原方程的解.结构特征：方程必须含有一次项.3.公式法:求根公式：一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),在b2-4ac≥0的条件下，它的根为：5.定根：写出方程的根：x1=?,x2=?1.变形:化已知方程为一般形式;3.计算:b2-4ac的值，(若b2-4ac<0,则原方程无实数根);4.代入:把有关数值代入求根公式计算;2.确定系数:写出a,b,c的值;注意：用公式法解一元二次方程的前提是:1.必需是一般形式的一元二次方程:ax2+bx+c=0(a≠0).

2.代数式b2-4ac≥0.步骤：一元二次方程的通用公式4.分解因式法：利用因式分解将一元二次方程化成左边是两个一次多项式的乘积，右边为零的形式，从而求解的方法叫做因式分解法．定义：1.将方程右边化为零；2.将方程左边分解成两个一次因式的乘积的形式。3.令每个因式为零，得到两个一元一次方程；4.解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的根。步骤：结构特征：右边可以化为零，左边可以因式分解为两个含有未知数的一次式的乘积.即A.B=0A=0或Ｂ＝０主要应用:1.不解方程判断一元二次方程根的情况2.已知方程根的情况确定字母的取值范围五.一元二次方程根的判别式:注意：1.求判别式时，应该先将方程化为一般形式.2.应用判别式解决有关问题时，前提条件为“方程是一元二次方程”，即二次项系数不为0.注意：运用韦达定理的前提条件是：(1)方程必须化为一般形式；(2)判别式b2-4ac≥0；六.一元二次方程根与系数的关系:韦达定理当△≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数之间有如下的关系：两根之和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数；两根之积等于常数项与二次项系数的比。七.一元二次方程的应用:1.循环问题2.增长率问题4.面积问题3.利润问题5.几何问题注意：①设要有单位；②解出方程后检验根的合理性。1.审:审清题意，理解已知量与未知量之间的关系;2.找:找出题目中所有的等量关系；3.设:设未知数,语句要完整,有单位的要注明单位;4.列:列代数式,列方程;5.解:解所列的方程;6.验:是否是所列方程的解;是否符合题意;7.答:答案也必需是完整的语句,注明单位.列方程解应用题的一般步骤:关键是找出等量关系.2、用适当的方法解一元二次方程

(1)x2=3x(2)(x-1)2=3

(3)x2-2x-99=0(4)2x2+5x-3=0

分析：方程（1）选用因式分解法；方程（2）选用直接开平方法；方程（3）选用配方法；方程（4）选用公式法3、若(x2+y2)2-4(x2+y2)-5=0,

则x2+y2=_________。

分析：用换元法设x2+y2=m得m2-4m-5=0，解得m1=5,m2=-1对所求结果，还要结合“x2+y2”进行取舍，从而得到最后结果．解：x2+y2=54、若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两不相等的实数根，则k的取值范围是（）

A．k>-1B.k>-1且k≠0

C.k<1D.k<1且k≠0

分析：b2-4ac=(-2)2-4×(-1)k=4k+4>0得k>-1，再由一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的定义中a≠0这一条件得k≠0．

解：B5、某商场将销售成本为30元的台灯以40元的价格售出，平均每月销售600个．市场调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，每月平均销售数量将减少10个．若销售利润率不得高于100％，那么销售这种台灯每月要获利10000元，台灯的售价应定为多少元？

分析：如果这种台灯售价上涨x元，那么每个台灯获利(40＋x－30)元，每月平均销售数量为(600－10x)个，销售利润为(40＋x－30)和(600－10x)的积．用一元二次方程解决实际问题时，所求得的结果往往有两个，而实际问题的答案常常是一个，这就需要我们仔细审题，看清题目的要求，进而作出正确的选择。

解：设这种台灯的售价上涨x元，根据题意，得

(40＋x－30)(600－10x)=10000．即x2-50x+400=0．解得x1=10，x2=40．所以每个台灯的售价应定为50元或80元．当台灯售价定为80元时，销售利润率高于100％不符合要求；当台灯售价定为50元时，销售利润率不高于100％符合要求．答：每个台灯售价应是50。1、一元二次方程x2-2x-1=0的根的情况为（）Ａ．有两个相等的实数根Ｂ．有两个不相等的实数根Ｃ．只有一个实数根Ｄ．没有实数根

分析：b2-4ac=(-2)2-4×(-1)=80

解：B2、关于x的一元二次方程的一个根为0，则实数a的值为

A．-1B．0C．1D．-1或1分析:把x=0代入方程得：|a|－1=0，∴a=±1。∵a－1≠0，∴a=－1．故选A。巩固提高3、已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2-2=0的两实根的平方和等于11，则k的值为

．

分析：设方程方程x2+（2k+1）x+k2﹣2=0，设其两根为x1，x2，得∵△=（2k+1）2﹣4×（k2﹣2）=4k+9＞0，∴k＞﹣。∵x1+x2=﹣（2k+1），x1•x2=k2﹣2，又∵x12+x22=11，∴（x1+x2）2﹣2x1x2=11。∴（2k+1）2﹣2（k2﹣2）=11，解得k=1或﹣3。∵k＞﹣，∴k=1。4、若关于x的一元二次方程x2＋2x＋a＝0有实数根，则a的取值范围是_．分析：∵关于x的一元二次方程有实根，∴△=，解之得a≤1。6、某汽车销售公司6月份销售某厂家汽车，在一定范围内，每辆汽车的进价与销售量有如下关系，若当月仅售出1辆汽车，则该汽车的进价为27万元；每多售出1辆，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/辆，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10辆以内（含10辆），每辆返利0.5万元，销售量在10辆以上，每辆返利1万.（1）若该公司当月售出3辆汽车，则每辆汽车的进价为

万元；（2）如果汽车的售价为28万元/辆，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少辆汽车？（盈利=销售利润+返利）分析：用销售数量表示出每辆的进价、返利等，再表示出盈利，列出方程，求解.解：（1）27－（3－1）×0.1=26.8.

（2）设销售汽车x辆，则汽车的进价为27－（x－1）×0.1=27.1－0.1x万元，若x≤10,则（28－27.1+0.1x）x+0.5x=12

解得x1=6,x2=－20(不合题意，舍去)

若x>10,则（28－27.1+0.1x）x+x=12

解得x3=5(与x>10舍去，舍去),x4=－24(不合题意，舍去)

答：公司计划当月盈利12万元，需要售出6辆汽车.5.用配方法解方程。①x2-2x-3=0②3x2-2x-5=06.用公式法解方程。①x2-2x-3=0②3x2-5=2x7.用分解因式法解方程。①(4x-1)(5x+7)=0②5x2=4x说出下列方程用哪种方法解比较适当。(3x-2)2=7x2-6x-9=03x2-2x-1=0(2x+3)2=(5x+1)2直接开平方法配方法公式法直接开平方法或分解因式法1.若一个三位数的个位数字是a，十位数字是b，百位数字是c，则这个三位数可表示为

。100c+10b+a一元一次方程的应用2.有一个两位数,它的十位数字与个位数字的和是5.把这个两位数的十位数字与个位数