天津市芦台一中2023届高一数学第一学期期末质量检测模拟试题含解析

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(本大题共12小题，共60分)

1.函数〃x)=a'+2的图像恒过定点p,则夕的坐标是()

A.(0,l)B,(l,0)

C.(l,2)D.(0,3)

2.已知y=/(x)在定义域(Ti)上是减函数，且则。的取值范围为()

A.(0,1)B.(-2,1)

C.(0,72)D.(0,2)

jrrr

3.设函数f(x)=45皿4以+")(4>0,3>0,-耳<w<5，xe«)的部分图象如图，则A+o+0=()

B.3+-

3

C.3+-

4

D.2+-

6

4.如图，在AABC中，已知6力=，反，P为AD上一点,且满足丽=+d酝，则实数加的值为

29

21

A.-B.-

33

1

C±D.-

92

5.下列命题不正确的是(

B.若尤＞2,则％+」一的最小值为4

A.若xeR,贝打一/的最大值为1

x-2

C.若xeR,贝打+/的最小值为ID.若》>y>0,z>0,则

x+ZX

log”x,0<x<4

6.已知函数是(0,+8)上的增函数(其中。＞0且owl),则实数。的取值范围为

(3-a)x+10a-22,x>4

()

A.(l,2)B.[2,2⑹

C.(l,3)D.[2,3)

7.数列[(一1)"〃｝的前2021项的和52021为()

A.-1009B.1010

C.-1011D.2020

8.下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+8)上单调递增的函数是

A.1/B.y=d

C.y=cosxD.y=2W

(八))sincra

9.若a£0,不，—j=---------=tan—,贝(jtana=()

I2)>/3+l—cosa2

A石

B.G

4

D.国

32

C=1O3

10.若4=3°3,=log,0.3,§1,则a,b,c的大小关系为()

'3

A.b<c<ciB.c<a<b

C.a<b<cD.b<a<c

11.若a是第二象限角，P(x,2)是其终边上的一点，且cosa=—g,则》=()

A.-2B.-1

C..立D「巫或交

222

12.函数y=ei'「2的零点个数为()

A.0个B.1个

C.2个D.3个

二、填空题(本大题共4小题，共20分)

13.已知函数4x)=k-4，g(x)=k-l|+3,若函数图象恒在函数g(x)图象的下方，则实数。的取值范围

是.

14.已知圆心角为2rad的扇形的周长为12,则该扇形的面积为.

15.《三十六计》是中国古代兵法策略，是中国文化的瑰宝.“分离参数法”就是《三十六计》中的“调虎离山”之计在数

学上的应用，例如，已知含参数2的方程f(x,2)=0有解的问题,我们可分离出参数4(调),将方程化为FW=g(x),

根据g(x)的值域，求出产(团的范围，继而求出/I的取值范围，已知,若关于x的方程

(/l+l)sinx+cos2x+2=0有解，则实数X的取值范围为.

16.Sigmoid函数是一个在生物学、计算机神经网络等领域常用的函数模型，其解析式为.，则此函数在？上

S('x)'=-i+^―e-x-

(填“单调递增”“单调递减”或“不单调”)，值域为

三、解答题(本大题共6小题，共70分)

17.已知函数.f(x)=log,,x(。＞0且。声1)的图象过点(9,2).

(1)求。的值.

＜2)若g(x)=/(2—x)+/(2+x).

(i)求g(x)的定义域并判断其奇偶性；

(ii)求g(x)的单调递增区间.

18.设全集为R,集合P={x|3〈烂13},非空集合。={x|a+l乱＜2.—5},

⑴若a=10,求PCQ；(«P)nQ;

(2)若Qa(PnQ),求实数。的取值范围

19.已知函数/(x)=Asin(o>x+。)(A>()⑷>()，M|<%)的一段图像如图所示.

(1)求此函数的解析式；

(2)求此函数在(-2肛2万)上的单调递增区间.

20.已知函数/(x)=log2(4'+l)+/nr.

(1)若f(x)为偶函数，求实数，〃的值；

(2)当机=0时，若不等式三二>/［108式2。+1)］对任意％21恒成立，求实数。的取值范围；

2141L

(3)当加>0时，关于x的方程/8(log4x)-+21og2-+--4=1在区间［1,20］上恰有两个不同的实数解，求

xm

实数m的取值范围.

21.2020年12月17日凌晨，经过23天月球采样旅行，嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆预定区域，我国首

次对外天体无人采样返回任务取得圆满成功，成为时隔40多年来首个完成落月采样并返回地球的国家，标志着我国探

月工程“绕，落，回”圆满收官.近年来，得益于我国先进的运载火箭技术，我国在航天领域取得了巨大成就.据了解，在

M

不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式v=%/n—计算火箭的最大速度v(m/s),其中％(m/s)是喷

m

流相对速度，机(kg)是火箭(除推进剂外)的质量，M(kg)是推进剂与火箭质量的总和，从称为“总质比”，已知4型火

箭的喷流相对速度为1000(m/s).

(1)当总质比为200时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；

31

(2)经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的彳倍，总质比变为原来的-，若要使火

23

箭的最大速度至少增加500(m/s),求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值.参考数据：In200a5.3,

2.718<e<2.719.

22.已知函数(xeR)

e+1

(D记g(x)=/(x)-8，已知函数g(x)为奇函数，求实数分的值;

(2)求证：函数f(x)是R上的减函数

参考答案

一、选择题(本大题共12小题，共60分)

1、D

【解析】利用指数函数的性质即可得出结果.

【详解】由指数函数y=“'恒过定点(0,1),

所以函数〃力=优+2的图像恒过定点p(0,3).

故选：D

2、A

【解析】根据函数的单调性进行求解即可.

【详解】因为y=/(x)在定义域(-覃)上是减函数，

—1<1-6Z<1

所以由/(1一。)</(。2—1)=><一1</—1<1=>0<九<1,

a>a1—\

故选：A

3、A

【解析】根据函数的图象，求出A,3和中的值，得到函数的解析式，即可得到结论

T5兀兀371271

【详解】由图象知A=2,—=三一彳=?，则T=2TT=—,所以①=1,

4636co

即f(x)=2sin(x+(p)»

由五点对应法，得彳十①=彳，即中二/，

326

即A+co+(p=2+14-^=3+-^,

故选A

【点睛】本题主要考查了由三角函数的图象求解函数的解析式，其中解答中根据条件求出A,3和<p的值是解决本题

的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

4、B

【解析】而=6+/=而+4丽=无+4(百一①)=(1-4)而+4回='(1-4)丽+4瓦所以

—(1—2)=—1

＜3、79,所以机=§。故选B。

4=m

5、D

【解析】选项A、B、C通过给定范围求解对应的值域即可判断正误，选项D通过移向做差，化简合并，即可判断.

【详解】对于A,若XER,贝！11一％241，即1—/的最大值为L故A正确；

对于B,若x＞2,则x+—=x—2+-^—+2N2j(x—2)x[-^-]+2=4,当且仅当x—2=—^—,

x—2x—2'yx—2)x—2

即x=3时取等号，所以X+」一最小值为4,故B正确；

九一2

对于C,若xwR,则1+父之1，即1+一的最小值为1,故C正确;

y+z上=止户『二手T＞。，故D不正确

对于D,9：x>y>0z>Of

9x+zxx(%+z)尤(x+z)

故选：D.

6、D

【解析】利用对数函数、一次函数的性质判断。的初步取值范围，再由整体的单调性建立不等式，构造函数，利用函

数的单调性求解不等式，从求得。的取值范围.

【详解】由题意必有C，可得1＜。＜3,且log〃444(3—a)+l()a—22,

3-a＞。

整理为6a-log44-1020.4-i?(-^)=6x-logv4-10(l<x<3)

In4

由换底公式有g(x)=6x-；——10,

Inx

可得函数g（x）为增函数，

In4

注意至Ug⑵=12-----10=0,

In2

所以由g（a）20,得。之2,

即，实数a的取值范围为2Wa<3

故选:D.

7、C

【解析】根据分组求和可得结果.

【详解】

52021=-1+2-3+4-5+•••+2020-2021=-1+(2-3)+(4-5)+---+(2020-2021)=-1-1010=-1011,

故选：C

8、D

【解析】选项4为偶函数，但在区间（0,+8）上单调递减；选项8,尸1为奇函数；选项C,尸cosx为偶函数,

但在区间（0,+8）上没有单调性；选项〃满足题意

1

【详解】选项4尸。向为偶函数，但在区间（0,+8）上单调递减，故错误；

选项8尸/为奇函数，故错误；

选项G尸cosx为偶函数，但在区间（0,+8）上没有单调性，故错误；

选项〃尸23为偶函数，当x>0时，解析式可化为尸2*,显然满足在区间（0,+8）上单调递增，故正确

故选o

【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题

9、C

由题可得G+l—cosc=2cos2q,从而可求出cosa=@,即得.

【解析】

22

sinaa

【详解】-tan—

V3+1-COS(22

.a小.aa

sin一2sincos

兀a

所以一Z丁----2------2，又因为ae0,,si.n—w0八,

a

cos43+1-cosaI2

2

所以6+1-cosa=2cos2,,即8+1-cosa=1+cosa，

所以cosa=乎，又因为ae(0,71

由…1J3

所以sina=—，tancc=—

23

故选：C

10、A

【解析】根据指数函数和对数函数的单调性进行判断即可.

【详解】•••)>0.3,.•.Iog3().3<—1,.•.」<一1,c=log|3=-l,a>o,

33

b<c<a.

故选：A

11、C

x1

【解析】根据余弦函数的定义有结合a是第二象限角求解即可.

Vx2+4

x1,1

【详解】由题设，cosa=,=_三，整理得》2=彳，又a是第二象限角,

VX2+432

所以x=

2

故选：C

12、C

【解析】根据给定条件直接解方程即可判断作答.

详解】由y=0得：e3一2=0,即即1=2,解得|x|=ln2,即％=±也2,

所以函数y=ew-2的零点个数为2.

故选：C

二、填空题(本大题共4小题，共20分)

13、—2vav4

【解析】作出。=-2和〃=4时，两个函数图象，结合图象分析可得结果.

[详解]当时，/(x)=|x+2]=「r：2，xW；2,^(%)=|x_1|+3=1

11[x+2,x>-211[x+2,x>l

।।[4-x,x<4,।[4-x,x<l

当"4时，Mig(x)=|l|+3=gm，

要使函数/(x)=|x-a|的图象恒在函数8(力=1%-1|+3图象的下方，由图可知，—2<a<4,

故答案为：-2<a<4.

14、9

【解析】根据题意条件，先设出扇形的半径「和弧长/,并找到弧长与半径之间的关系，通过已知的扇形周长，可以求

解出扇形的半径和弧长，然后再利用S扇形=；〃完成求解.

【详解】设扇形的半径为「，弧长为/,由已知得，圆心角贝!l/=ar,

因为扇形的周长为12,所以2r+/=2r+ar=12,

所以厂=3,/=a厂=2x3=6,

则片形=g〃=gx3x6=9.

故答案为：9.

15、（-oo,-3]

【解析】参变分离可得2+1=-COS2%-2=_3二2即红，令，=sinxje（0,11,构造函数g«）=-三竺je（0,1],

sinxsinxt

利用导数求解函数单调性，分析可得gQ）的值域为（-8,-2],即得解

【详解】由题意，（4+l）sinx+cos2x+2=。，0,y

cos2x+2

故4+1=—

sinx

pcy3-2sin-x(仆7i

Xcos2x=1-2sm2x,A+1=--------；-------,工6°，不

sinxI2_

令，=sinxJ£(0,1]

3—2产3—2产3

故;t+l=----------,令g«)=---------=2t一一,re(0,l]

ttt

3

・・.g'Q)=2+3>0,故gQ)在，£(。,1]单调递增

由于g(l)=-2』->。时g(t)->-co

故gQ)的值域为(-,-2]

故丸+1£(—8,—2],即实数％的取值范围为(一8,—3]

故答案为：(—8,—3]

16、①.单调递增②・(0」)

【解析】由题可得，利用定义法及指数函数的单调性可得函数的单调性，再利用指数函数的性质及不

S(、)=l一之

等式的性质可得函数值域.

【详解】•••工，定义域为R,

S(.r)=^=A=—=1-^

(J1+e-x1+Ae“23

吟心一且一…，则夕"TR二一之一(一之

9eXlX1X2

•Xi<x2<0<e<铲H铲i4-1>0,+1>0,e-e<O'

A>

S(X1)-S(X2)<0即S(%)<S(XJ

所以函数在p上单调递增;

§(盼=品

又铲>o,

所以9即Se(01Y

铲+1>L0<金<1T〈一品一品<1

故答案为：单调递增；(0」>

三、解答题(本大题共6小题，共70分)

17、(1)a=3；(2)(i)定义域为(-2,2),g(x)是偶函数；(ii)(一2,0).

【解析】(1)由/(9)=2可求得实数。的值；

(2)(i)根据对数的真数大于零可得出关于实数x的不等式，由此可解得函数g(x)的定义域，然后利用函数奇偶性

的定义可证明函数g(x)为偶函数；

(ii)利用复合函数法可求得函数g(x)的增区间.

【详解】(1)由条件知/(期=92=，即.2=9,又a>0且awl,所以a=3；

(2)g(x)=/(2-x)+/(2+x)=log3(2-x)+log3(2+x).

(i)由得一2<%<2,故g(x)的定义域为(一2,2%

乙"i4，U

因为g(-X)=log3(2+x)+log3(2-x)=g(x),故g(x)是偶函数;

2

(ii)g(x)=log2(2-x)+log2(2+%)=log2(4-x),

因为函数V=log3u单调递增，函数〃=4—f在(-2,0)上单调递增,

故g(x)的单调递增区间为(一2,0).

18、(1)UI11M13},{x|13<x<15}；(2)(6,9].

【解析】(1)把。的值代入求出集合Q,再由交集、补集的运算求出PCIQ,(QPCQ；

(2)由。口(「口。)得。£「，再由子集的定义列出不等式组，求出。的范围

【详解】(Q当a=10时,Q={x|lL,x<15},

又集合尸={幻3<%,13},

所以PcQ={x|3〈通|3}c{x|llx<15}={x|l掇*13},

金[={x|%,3或x>13},

则(dKP)nC={x|13<x<15};

(2)由Qq(PDQ)得，Q三P,

a+1<2a—5

因为Q*。，则a+l〉3,解得6<%9,

2a—5„13

综上所述：实数”的取值范围是(6,9].

；⑵(-2万,-6］和［2,2%).

【解析】(1)根据三角函数的图象求出43,仍即可确定函数的解析式;

(2)根据函数的表达式，即可求函数/1(x)的单调递增区间;

【详解】(1)由函数的图象可知4=26,3=6-(—2)=8,

周期片16,

E2万

T=—=16,

co

2〃

.・3=---=—71,

168

.\y=273sin(—

8

•.•函数的图象经过(2,-273)»

：・—x2+9=2k冗---f

82

即9=2々乃一网，

4

又|。|V八，

34

••.函数的解析式为：尸2Gsin(£x-=)

84

TTTT'冗TT

(2)由已知得2匕r-'w'x—二<2左乃+々，

2842

得16A+2W416介10,

即函数的单调递增区间为［16介2,16A+10］,kGZ

当A=-l时，为［-14,-6］,

当A=0时，为［2,10］,

VxG(-2",2n),

函数在(-2n,2n)上的递增区间为(-2n,-6)和［2,2式)

【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求法，根据三角函数的图象是解决本题的关键，要求熟练掌握三角函数的图

象和性质

20、(1)-1；(2)f——,>/2—1j；

⑶身<8,

【解析】(1)根据偶函数解得：机=-1,再用定义法进行证明;

(2)记g(x)=2'-2;(％21),判断出g(x)在(1,位)上单增，列不等式组求出实数a的取值范围；

(3)先判断出/(力=1。82(4'+1)+〃比在口上单增且/(0)=1,令"log?》，把问题转化为2产一2/+*一4=0

334

在此0,-上有两根，令。=-2产+2/+4/e0,-必=一，利用图像有两个交点，列不等式求出实数，”的取

m

值范围.

【小问1详解】

/(x)=log2(4'+l)+mx定义域为R.

因为/(x)为偶函数，所以/(T)=/(D,即log2(4T+l)—m=Iog2(4+l)+机，解得：m=1

vA

此时，/(x)=log2(2+2-)

所以/(-x)=log2(2-x+2,)=/(x)

所以/(x)=log2(2'+27)偶函数，

所以m--1.

【小问2详解】

4A_14V-1

当加=0时，不等式亍1/［唾4(2。+1)］可化为：—^>log2(2^+2),

4V-1

即土」>log(2tz+2)对任意x>1恒成立.

r2

记g⑺=亨=2'-2-\(x>l),只需g(x)n.n>log2(2a+2).

因为y=2'在(1,+«>)上单增，y=-2-'«(l,+o))上单增，

所以g(x)=2-2T在(1,+8)上单增，

I3

^S(^min=8(i)=2--=~,

，3

所以］log2(2a+2)<)解得：

2

2a+l>0

即实数”的取值范围为1-；,啦-11.

【小问3详解】

当相>0时，y=】og2(4'+l)在R上单增，y=小在R上单增，所以./1(x)=log2(4'+l)+处在R上单增且

/(0)=log2(4°+l)=l.

,.914.7-14

则/8(log4x)-+21og?-+—―4=1可化为/,8(log4x)+21og,-+一一4=/(0).

_xm]Lxm

又因为在R上单增，所以8(log4X)2+21og2j+\-4=0,换底得：

8-21og,x+--4=0,即2(log,x)2-21og,x+3-4=0.

klog241-mm

43

令f=k)g2%,贝以问题转化为2/-2,+——4=0在re0,-上有两根,

吟m2

4o3

即一=一2广+2，+4/£0,-

m2

分别作出图像如图所示:

8

49--<

只需4，，,解得:9<wm

8

即实数m的取值范围为9-

(点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合

的方法求解

21、(1)5300m/s；(2)在材料更新和技术改进前总质比最小整数为74.