小学数学5年级培优奥数讲义 第10讲-周期问题（含解析）

第10讲周期问题

学习目标

京学会对一个周期问题进行分析、推理；

、利用我们的规律来解决一些较简单的问题；

下通过学生解决问题的过程，激发学生的创新思维，培养学生学习的主动性和坚韧不拔、勇

于探索的意志品质。

'知识梳理

一、周期问题

在日常生活中，有一些按照一定的规律不断重复的现象，如：人的十二生肖，一年有春夏

秋冬四个季节，一个星期七天等等。像这样日常生活中常碰到的有一定周期的问题，我们称为

简单周期问题。这类问题一般要利用余数的知识来解答。

二、解题策略

在研究这些简单周期问题时，我们首先要仔细审题，判断其不断重复出现的规律，也就是找出循

环的固定数，然后利用除法算式求出余数，最后根据余数得出正确的结果。

京典例分析“

巍一：一般周期问题

例1、小丁把同样大小的红、白、黑珠子按先2个红的、后1个白的、再3个黑的的规律排列

（如下图），请你算一算，第32个珠子是什么颜色？

・•••••••••……

例2、你能找出下面每组图形的排列规律吗？根据发现的规律，算出每组第20个图形分别是

什么。（1）口/\口4口4口4……

...

例3、100个3相乘，积的个位数字是几？

例4、有一列数按“432791864327918643279186......”排列，那么前54个数字之和是多少？

例5、小红买了一本童话书，每两页文字之间有3页插图，也就是说3页插图前后各有1页文

字。如果这本书有128页，而第1页是文字，这本童话书共有插图多少页？

考点二：较复杂周期问题

例1、有一列数，按5、6、2、4、5、6、2、4…排列。

(1)第129个数是多少？(2)这129个数相加的和是多少？

例2、假设所有的自然数排列起来，如下所示39应该排在哪个字母下面？88应该排在哪个字

母下面？

ABCD

1234

5678

9・・・

例3、1991年1月1日是星期二，（1）该月的22日是星期几？该月28日是星期几？（2）1994年

1月1日是星期几？

例4、我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪12种动物按顺序轮流

代表年号，例如，第一年如果属鼠年，第二年就属牛年，第三年就是虎年…。如果公元1年属

鸡年，那么公元2001年属什么年？

京实战演练与

课堂狙击,

1、“数学趣味题数学趣味题……”依次重复排列，第2010个字是什么？

2、盼望祖国早日统一盼望祖国早日统一盼望祖国早日统一…第2001个字是什么字?

3、2001年8月1日是星期三，8月28日是星期几？

4、100个2相乘，积的个位数字是几?

5、有一列数按“9453672945367294……”排列，那么前50个数字之和是多少？

6、同学们做早操，36个同学排成一列，每两个女生中间是两个男生，第一个是女生，这列队

伍中男生有多少人？

7、我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪12种动物按顺序轮流代表

年号。

(1)如果公元3年属猪年，那么公元2000年属什么年？

(2)如果公元6年属虎年，那么公元21世纪的第一个虎年是哪一年？

(3)公元2001年属蛇年，公元2年属什么年？

8、有a、b、c三条直线，从a线开始，从1起依次在三条直线上写数(如下图)，22、59、2001

各在哪一条线上？

＞课后反击

1、把38面小三角旗按下图排列，其中有多少面白旗?

卜冲冲冲卜卜冲

2、公园门口挂了一排彩灯泡按“二红三黄四蓝”重复排列，第63只灯泡是什么颜色？第112

只呢？

3、2001年6月1日是星期五，9月1日是星期几？

4、50个7相乘，积的个位数字是几？

5、有一列数“7231652316523165……5请问从左起第2个数字到第25个数字之间（含第2个

与第25个数字）所有数字的和是多少？

6、一个圆形花辅周围长30米，沿周围每隔3米插一面红旗，每两面红旗中间插两面黄旗。花

辅周围共插了多少面黄旗？

7、河岸上种了100棵桃树.，第一棵是蟠桃，后面两棵是水蜜桃，再后面三棵是大青桃。接下

去一直这样排列。问：第100棵是什么桃树？三种树各有多少棵？

8、2001个学生按下列方法编号排成五列:

一二三四五

12345

9876

10111213

17161514

问：最后一个学生应该排在第几列？

直击赛场

1、•表示实心圆，。表示空心圆，若干个实心圆与空心圆排成一行如下:

在前200个圆中有个实心圆。

(第一届小学“希望杯”全国数学邀请赛第2试)

2、今天(2010年4月11日)是星期日，则2010年的六一儿童节是星期。

(第八届小学“希望杯”全国数学邀请赛第2试)

重点回顾

(1)能够发现周期问题的规律;

(2)利用我们的规律来解决的问题;

名师点拨

重点和难点突破:

(1)在研究这些简单周期问题时，我们首先要仔细审题，判断其不断重复出现的规律，也就

是找出循

环的固定数

(2)然后利用除法算式求出余数，最后根据余数得出正确的结果。

学霸经验

»£本节课我学到了

＞我需要努力的地方是

第10讲周期问题

教学目标

京学会对一个周期问题进行分析、推理；

6利用我们的规律来解决一些较简单的问题；

0通过学生解决问题的过程，激发学生的创新思维，培养学生学习的主动性和坚韧不拔、勇

于探索的意志品质。

续知识梳理:

一、周期问题

在日常生活中，有一些按照一定的规律不断重复的现象，如：人的十二生肖，一年有春夏

秋冬四个季节，一个星期七天等等。像这样日常生活中常碰到的有一定周期的问题，我们称为

简单周期问题。这类问题一般要利用余数的知识来解答。

二、解题策略

在研究这些简单周期问题时，我们首先要仔细审题，判断其不断重复出现的规律，也就是找出循

环的固定数，然后利用除法算式求出余数，最后根据余数得出正确的结果。

典例分析

考点一：一般周期问题

例1、小丁把同样大小的红、白、黑珠子按先2个红的、后1个白的、再3个黑的的规律排列

（如下图），请你算一算，第32个珠子是什么颜色?

・••••••?•••

【解析】从上图可以看出，珠子是按“两红一白三黑”的规律重复排列，即6个珠子为一周期。

32+6=5（组）……2（个），32个珠子中含有5个周期多2个，所以第32个珠子就是重复5个周期

后的第2个珠子，应为红色。

例2、你能找出下面每组图形的排列规律吗？根据发现的规律，算出每组第20个图形分别是

什么。（□□△□△口△口△……

（2）□△△□△△□△△.......

【解析】第⑴题排列规律是“口△”两个图形重复出现，20+2=10,即“口△”重复出现10

次，所以第20个图形是第⑵题的排列规律是“口△△”三个图形重复出现，204-3=6-2,

即“口重复出现6次后又出现了两个图形“口△”，所以第20个图形是4。

例3、100个3相乘，积的个位数字是几？

【解析】这道题我们只考虑积的个位数字的排列规律。1个3.积的个位是3；2个3相乘积的

个位数字是9；3个3相乘积的个位数字是7；4个3相乘积的个位数字是1；5个3相乘积的

个位数字是3……可以发现，积的个位数字分别以3、9、7、1不断重复出现，即每4个3积

的个位数字为一周期。100+4=25（个），因此100个3相乘积的个位数字是第25个周期中的最

后一个，即是1。

例4、有一列数按“432791864327918643279186...”排列，那么前54个数字之和是多少？

【解析】上面一列数中，从第1个数字开始重复出现的部分是“43279186”，周期数是8。要求

出这列数字的和，就要先求出这列数里共有多少组“43279186”。

54+8=6（组）...6（个）

因此，前6组数字和是（4+3+2+7+9+1+8+6）x6=240,余下6个数字之和是4+3+2

+7+9+1=26。所以，这列数中前54个数字之和是240+26=266。

例5、小红买了一本童话书，每两页文字之间有3页插图，也就是说3页插图前后各有1页文

字。如果这本书有128页，而第1页是文字，这本童话书共有插图多少页？

【解析】已知这本童话书3页插图前后各有1页文字，也就是说这本书是按“1页文字3页插

图"的规律重复排列的，把“1页文字3页插图”看作一周期，128页中含有128+（1+3）=32个周

期，所以这本童话书共有插图3x32=96页。

考点二：较复杂周期问题

例1、有一列数，按5、6、2、4、5、6、2、4…排列。

⑴第129个数是多少？（2）这129个数相加的和是多少？

【解析】（1）从排列可以看出，这组数是按“5、6、4、2”一个循环依次重复出现进行排列，

那么一个循环就是4个数，则129+4=32-1,可知有32个“5、6、4、2”还剩一个。所以第

129个数是5。⑵每组四个数之和是5+6+4+2=17,所以，这129个数相加的和是17义32+5=549。

例2、假设所有的自然数排列起来，如下所示39应该排在哪个字母下面？88应该排在哪个字

母下面？

ABCD

1234

5678

9…

【解析】从排列情况可以知道，这些自然数是按从小到大4个数一个循环，我们可以根据这些

数除以4所得的余数来分析。

394-4=9-3884-4=22

所以，39应排在第10个循环的第三个字母C下面，88应排在第22个循环的第四个字母

D下面。

例3、1991年1月1日是星期二，（1）该月的22日是星期几？该月28日是星期几？（2）1994年

1月1日是星期几？

【解析】（1）一个星期是7天，因此，7天为一个循环，这类题在计算天数时，可以采用“算尾

不算头”的方法。（22-1）4-7=3,没有余数，该月22日仍是星期二；（28—1）+7=3“・6,从星

期三开始（包括星期三）往后数6天，28日是星期一。

（2）1991年、1993年是平年，1992年是闰年，从1991年1月2日至1994年1月1日共1096

天，1096+7=156…4,从星期三开始往后数4天，1994年1月1日是星期六。

例4、我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪12种动物按顺序轮流

代表年号，例如，第一年如果属鼠年，第二年就属牛年，第三年就是虎年…。如果公元1年属

鸡年，那么公元2001年属什么年？

【解析】一共有12种动物，因此12为一个循环，为了便于思考，我们把“狗、猪、鼠、牛、

虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡”看作一个循环，从公元2年到公元2001年共经历了2000

年（算头不算尾），20004-12=166-8,从狗年开始往后数8年，公元2001年是蛇年。

旗^实战演练遂

»£课堂狙击’

1、“数学趣味题数学趣味题……”依次重复排列，第2010个字是什么？

【解析】2010^5=402

所以第2010个字是第402循环周期的最后一个字，是“题”。

2、盼望祖国早日统一盼望祖国早日统一盼望祖国早日统一…第2001个字是什么字？

【解析】2001+8=250.....1

所以第2001个字是“盼”。

3、2001年8月1日是星期三，8月28日是星期几？

【解析】28-1等于27天，27除以7等于3个星期余六天

那么往后退六天正好是星期二，所以是星期二。

4、100个2相乘，积的个位数字是几？

【解析】5个2相乘等于32,那么5个32相乘个位数也是2

因此25个2相乘个位数是2o因此以25为一份，100个2相乘可以分为4份，每份25个2相

乘

100个2相乘，个位数相当于2*2*2*2,因此个位数是6

5、有一列数按“9453672945367294……”排列，那么前50个数字之和是多少？

【解析】"9453672945367294”.......9453672这7个数字循环

50/7=7......19+4+5+3+6+7+2=36

前50个数字之和是36X7+9=261

6、同学们做早操，36个同学排成一列，每两个女生中间是两个男生，第一个是女生，这列队

伍中男生有多少人？

【解析】每3个人循环一次，依次按照女生，男生，男生的顺序循环排列，36+3=12,

所以36人一共有12个循环周期；一共有男生：12X2=24（人）。

7、我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪12种动物按顺序轮流代表

年号。

（1）如果公元3年属猪年，那么公元2000年属什么年？

（2）如果公元6年属虎年，那么公元21世纪的第一个虎年是哪一年？

（3）公元2001年属蛇年，公元2年属什么年？

【解析】（1）龙年；（2）2000是龙年，第一个虎年是2010年；（3）狗年。

8、有a、b、c三条直线，从a线开始，从1起依次在三条直线上写数（如下图），22、59、2001

各在哪一条线上？

a

【解析】用22,59,2001,分别除3,22除3余1,所以和1在一条线上,59余2所以和2在一条线

±,2001刚好除尽,所以和3在一条线上,所以是a,b,co

＞课后反击

1、把38面小三角旗按下图排列，其中有多少面白旗？

冲HWFM……

【解析】27+2=29o

2、公园门口挂了一排彩灯泡按“二红三黄四蓝”重复排列，第63只灯泡是什么颜色？第112

只呢？

【解析】9个一组，一共7组。所以第63个是蓝色的。

3、2001年6月1日是星期五，9月1日是星期几？

【解析】2001年6月1日到9月1日有92天，92除以7余数是1,9月1日是星期六。

4、50个7相乘，积的个位数字是几？

【解析】7的一次方尾数是7,二次方尾数是9,三次方尾数是3,四次方是1,五次方是7,

然后再是9,

依次循环50个7相乘，应该是7的50次方，个位数字应该是9

5、有一列数“7231652316523165……”，请问从左起第2个数字到第25个数字之间（含第2个

与第25个数字）所有数字的和是多少？

【解析】7231652316523165,2+3+1+6+5=17,17X5=85从左起第2个数字到第25个数字之

间所有数字的和是85-5=80。第二个数是2,第25个数是6。

6、一个圆形花辅周围长30米，沿周围每隔3米插一面红旗，每两面红旗中间插两面黄旗。花

辅周围共插了多少面黄旗？

【解析】30+3x2=10x2=20（面）。

7、河岸上种了100棵桃树，第一棵是蟠桃，后面两棵是水蜜桃，再后面三棵是大青桃。接下

去一直这样排列。问：第100棵是什么桃树？三种树各有多少棵？

【解析】1+2+3=6,每6棵一轮回,96共可有16个回次,100-96=4,余下的是1+2+1,就是1棵蟠桃,2

棵水蜜桃,1棵大青桃