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7.5二阶线性微分方程解的结构掌握并灵活运用线性微分方程的解的结构整理ppt二阶线性微分方程二阶线性齐次微分方程二阶线性非齐次微分方程n阶线性微分方程一、概念整理ppt二、二阶线性微分方程解的结构1.二阶齐次方程解的结构:问题:注:齐次线性方程的解符合叠加原理.整理ppt例如线性无关线性相关整理ppt例如定义整理ppt2.二阶线性非齐次方程的解的结构:一阶线性非齐次微分方程对应的齐次方程的通解非齐次方程的一个特解〔与c=0对应的特解〕结论：一阶线性非齐次微分方程的通解等于它的一个特解与对应的齐次方程的通解之和整理ppt2.二阶非齐次线性方程的解的结构:整理ppt解的叠加原理

定理4通常称为非齐次线性微分方程的解的叠加原理

定理4同样可以推广到n

阶非齐次方程的情形整理ppt整理ppt三、常数变易法是〔1〕的一个的非零特解作变量替换：代入〔1〕得：注意:1.降阶法----刘维尔公式----二阶齐次方程的通解整理ppt是（1）的一个已知的非零特解作变量替换：作变量替换：别离变量得:两边积分得:整理ppt是（1）的一个已知的非零特解作变量替换：作变量替换：刘维尔公式整理ppt是方程例1:设的一个解,试求方程的通解解:令代入方程并化简得作变量替换：并将代入化简得两边积分得:整理ppt是方程例1:设的一个解,试求方程的通解解:令作变量替换：两边积分得:所以整理ppt三、常数变易法如果对应的齐次线性方程那么由常数变易法可设〔1〕有如下形式的特解：2.常数变易法----求非齐次线性方程的特解有通解:补充条件:整理ppt则由常数变易法可设（1）有如下形式的特解：补充条件:所以代入〔1〕并化简得整理ppt则由常数变易法可设（1）有如下形式的特解：代入（1）并化简得解之得：整理ppt那么由常数变易法可设〔1〕有如下形式的特解：整理ppt若能求得（2）的一个特解那么可按以下步骤求得〔1〕的通解：〔2〕由常数变易法求出〔1〕的一个特解：从而得到齐次方程〔2〕的通解：（1）由刘维尔公式求出（2）的另一个特解，〔3〕写出方程〔1〕的通解整理ppt的通解例2:求方程解:由刘维尔公式得齐次方程〔2〕的通解为：由常数变易法，设所求方程的特解为:由得整理ppt的通解例2:求方程解:由常数变易法，设所求方程的特解为:解方程组得：积分并取一个原函数得：整理ppt作业：习题7--5:2,3,4,6整理ppt

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