山西省乡宁2023年中考数学最后一模试卷含解析及点睛

2023中考数学模拟试卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.若点A（a,b）,B（-,c）都在反比例函数的图象上，且-IVcVO,则一次函数y=(b-c)x+ac的大致

ax

图象是（）

,j•4A

”「。4v.

2.计算二x+三2-三2的结果为（）

XX

1x+2

A.1B.xC.一D.

XX

3.如图是由四个小正方体叠成的一个几何体，它的左视图是（）

中

A.——B.।।-C.D.L

4.如图，下列各数中，数轴上点A表示的可能是（）

4

-3-2-1012J

A.4的算术平方根B.4的立方根C.8的算术平方根D.8的立方根

连接DC并延长到E,使CE=，CD,过点B作BF〃DE,与AE的延长线

5.如图，NACB=90。，D为AB的中点,

3

交于点F,若AB=6,则BF的长为（)

B.7C.8D.10

6.将分别标有“孔”“孟”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前

先搅拌均匀.随机摸出一球，不放回：再随机摸出一球.两次摸出的球上的汉字能组成“孔孟”的概率是（）

1111

A.—B.—C.—D.一

8642

7.若关于x的一元二次方程炉-2%+胆=0没有实数根，则实数，〃的取值是（）

A.B.m>-1C.m>lD.m<.-1

8.某一超市在“五•一”期间开展有奖促销活动，每买100元商品可参加抽奖一次，中奖的概率为1.小张这期间在该

3

超市买商品获得了三次抽奖机会，则小张（）

A.能中奖一次B.能中奖两次

C.至少能中奖一次D.中奖次数不能确定

9.为了解当地气温变化情况，某研究小组记录了寒假期间连续6天的最高气温，结果如下（单位，：-6,-1,x,

2,-1,1.若这组数据的中位数是-1,则下列结论错误的是（）

A.方差是8B.极差是9C.众数是-1D.平均数是-1

10.下列方程中有实数解的是（）

A.x4+16=0B.x2-x+l=0

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.关于x的一元二次方程x2-2x+m-l=0有两个实数根，则m的取值范围是.

12.如图，P为正方形ABCD内一点，PA：PB：PC=1：2：3,贝l]NAPB=

13.如图所示，一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交

点处的读数恰好是“2”和“10”(单位：cm),那么该光盘的半径是—cm.

14.如图，PA.PB是。。的切线，4、8为切点，AC是。。的直径，ZP=40°,贝ljN8AC=.

15.某市对九年级学生进行“综合素质”评价，评价结果分为A,B,C,D,E五个等级.现随机抽取了500名学生的

评价结果作为样本进行分析，绘制了如图所示的统计图.已知图中从左到右的五个长方形的高之比为2：3；3：1：1,

据此估算该市80000名九年级学生中“综合素质”评价结果为“A”的学生约为人.

IIIIIInn,

oABCDE尊级

k

16.如图，矩形ABCD中，AB=2AD,点A(0,1),点C、D在反比例函数y=—(k>0)的图象上，AB与x轴的正半轴

X

相交于点E,若E为AB的中点，则k的值为.

三、解答题(共8题，共72分)

17.(8分)某保健品厂每天生产A,B两种品牌的保健品共60()瓶，A,B两种产品每瓶的成本和利润如表，设每天

生产A产品x瓶，生产这两种产品每天共获利y元.

(1)请求出y关于x的函数关系式；

(2)如果该厂每天至少投入成本26400元，那么每天至少获利多少元?

x

（3）该厂每天生产的A,B两种产品被某经销商全部订购，厂家对A产品进行让利，每瓶利润降低而元，厂家如

何生产可使每天获利最大？最大利润是多少？

AB

成本（元/瓶）5035

利润（元/瓶，）2015

18.（8分）如图，抛物线与x轴相交于4、5两点，与y轴的交于点C,其中A点的坐标为（-3,0）,点C的坐标

为（0,-3）,对称轴为直线x=-l.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点尸在抛物线上，且SA/W=4SABOC,求点P的坐标；

（3）设点0是线段AC上的动点，作。。JLx轴交抛物线于点。，求线段。。长度的最大值.

19.（8分）嘉淇同学利用业余时间进行射击训练，一共射击7次，经过统计，制成如图12所示的折线统计图.这组

成绩的众数是;求这组成绩的方差；若嘉淇再射击一次（成绩为整数环），得到这8次射击成绩的中位数恰好

就是原来7次成绩的中位数，求第8次的射击成绩的最大环数.

20.(8分)已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.分别写出图中点A和点C的坐标；画出△ABC绕点C

按顺时针方向旋转90。后的AA，B，C，；求点A旋转到点A，所经过的路线长(结果保留兀).

21.(8分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线>=以2+法+，3声0)的图象经过"(1,0)和以3,0)两点，且与)'轴

交于。(0,3),直线/是抛物线的对称轴，过点A(-l,0)的直线A3与直线相交于点3,且点8在第一象限.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)若直线AB和直线/、x轴围成的三角形面积为6,求此直线的解析式；

(3)点P在抛物线的对称轴上，OP与直线AB和x轴都相切，求点P的坐标.

22.(10分)-(-1)20,8+V4-(-)

3

23.(12分)讲授“轴对称”时，八年级教师设计了如下：四种教学方法：

①教师讲，学生听

②教师让学生自己做

③教师引导学生画图发现规律

④教师让学生对折纸，观察发现规律，然后画图

为调查教学效果，八年级教师将上述教学方法作为调研内容发到全年级8个班420名同学手中，要求每位同学选出自

己最喜欢的一种.他随机抽取了6()名学生的调查问卷，统计如图

(1)请将条形统计图补充完整；

(2)计算扇形统计图中方法③的圆心角的度数是;

(3)八年级同学中最喜欢的教学方法是哪一种？选择这种教学方法的约有多少人？

24.为响应“学雷锋、树新风、做文明中学生”号召，某校开展了志愿者服务活动，活动项目有“戒毒宣传”、“文明交通

岗”、“关爱老人”、“义务植树”、“社区服务”等五项，活动期间，随机抽取了部分学生对志愿者服务情况进行调查，结

果发现，被调查的每名学生都参与了活动，最少的参与了1项，最多的参与了5项，根据调查结果绘制了如图所示不

完整的折线统计图和扇形统计图.

蝴样学生参与志愿者活动情况折送统计图祓抽样学生参与志愿者活动情况扇形统计图

A

20

18二

16一

14一

12

0二被随机抽取的学生共有多少名？在扇形

10

0二

6

4二

2

L

O

统计图中，求活动数为3项的学生所对应的扇形圆心角的度数，并补全折线统计图；该校共有学生200()人，估计其中

参与了4项或5项活动的学生共有多少人？

参考答案

一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)

1、D

【解析】

将A(a”)，代入y=J得ax》=l,：xc=l,然后分析b—c与敬的正负，即可得到y=(8-c)x+ac

的大致图象.

【详解】

将A(〃M，"I'。］代入得QXZ?=I,-xc=i,

口…i

即/?=一,Cl—c.

a

V-1<c<0,0<c2<1»A1-c2>0.

即1_02与c异号.

b—c<0.

XVac>0,

故选D.

【点睛】

本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，一次函数的图像与性质，得出b-c与ac的正负是解答本题的关键.

2、A

【解析】

根据同分母分式的加减运算法则计算可得.

【详解】

x+2-2x

原式='--------=-=1

XX

故选：A.

【点睛】

本题主要考查分式的加减法，解题的关键是掌握同分母分式的加减运算法则.

3,A

【解析】

试题分析：如图是由四个小正方体叠成的一个几何体，它的左视图是——.故选A.

考点：简单组合体的三视图.

4、C

【解析】

解：由题意可知4的算术平方根是2,4的立方根是孤孤＜2,8的算术平方根是2近，2V20V3,8的立方根是

2,

故根据数轴可知，

故选C

5、C

【解析】

VZACB=90°,D为AB的中点，AB=6,

/.CD=-AB=1.

2

XCE=-CD,

3

；.CE=1,

.•,ED=CE+CD=2.

又：BF〃DE,点D是AB的中点，

AFB的中位线，

；.BF=2ED=3.

故选C.

6、B

【解析】

根据简单概率的计算公式即可得解.

【详解】

一共四个小球，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球一共有12中可能，其中能组成孔孟的有2种，所以两次摸出

的球上的汉字能组成“孔孟”的概率是

6

故选B.

考点：简单概率计算.

7、C

【解析】

试题解析：关于X的一元二次方程尤2—2x+加=0没有实数根，

A=Z?2-4ac-(—2)--4xlxm-4—4m<0,

解得：m>\.

故选C.

8、D

【解析】

由于中奖概率为说明此事件为随机事件，即可能发生，也可能不发生.

【详解】

解：根据随机事件的定义判定，中奖次数不能确定•

故选D.

【点睛】

解答此题要明确概率和事件的关系：

①P(A)=O,为不可能事件；

②P(A)=1为必然事件；

③O<P(A)<1为随机事件.

9、A

【解析】

根据题意可知x=-l,

平均数=(.6-1-1-1+2+1)v6=-l,

,数据-1出现两次最多，

•••众数为-1,

极差=1-(-6)=2,

方差='[(-6+1)2+(-1+1)2+(-1+1)2+(2+1)2+(-1+1)2+(1+1)2]=2.

6

故选A.

10、C

【解析】

A、B是一元二次方程可以根据其判别式判断其根的情况；C是无理方程，容易看出没有实数根；D是分式方程，能使

得分子为零，分母不为零的就是方程的根.

【详解】

A.中△=02-4x1x16=-64C0,方程无实数根；

=(-1)2-4xlxl=-3<0,方程无实数根；

CJC=-1是方程的根；

D.当x=l时，分母3-1=0,无实数根.

故选：C.

【点睛】

本题考查了方程解得定义，能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解.解答本题的关键是针对不同的方程进行

分类讨论.

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11、m<l

【解析】

根据一元二次方程有实数根，得出A20,建立关于m的不等式，求出m的取值范围即可.

【详解】

解：由题意知，△=4-4(m-1)20,

.*•m<L

故答案为：m<l.

【点睛】

此题考查了根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式4的关系：A>0,方程有两个不相等的实数根；△=0,

方程有两个相等的实数根；△<0,方程没有实数根是本题的关键.

12、135°

【解析】

通过旋转，把PA、PB、PC或关联的线段集中到同一个三角形，再根据两边的平方和等于第三边求证直角三角形，可

以求解NAPB.

【详解】

把小PAB绕B点顺时针旋转90°,得小P，BC,

P'

则小PABg△P，BC,

设PA=x,PB=2x,PC=3x,连PP',

得等腰直角△PBPSPP,2=(2x)2+(2x)2=8x2,

NPP，B=45°.

又PC2=PP,2+PfC2,

得NPP，C=90。.

故NAPB=NCP'B=450+90°=135°.

故答案为135。.

【点睛】

本题考查的是正方形四边相等的性质，考查直角三角形中勾股定理的运用，把APAB顺时针旋转90。使得A，与C点重

合是解题的关键.

13、5

【解析】

本题先根据垂径定理构造出直角三角形，然后在直角三角形中已知弦长和弓形高，根据勾股定理求出半径，从而得解.

【详解】

解：如图，设圆心为O,弦为AB,切点为C.如图所示.则AB=8cm,CD=2cm.

连接OC,交AB于D点.连接OA.

•.•尺的对边平行，光盘与外边缘相切，

r.OCXAB.

/.AD=4cm.

设半径为Rem,则R2=42+(R-2)2,

解得R=5,

.••该光盘的半径是5cm.

故答案为5

【点睛】

此题考查了切线的性质及垂径定理，建立数学模型是关键.

14、20°

【解析】

根据切线的性质可知NBtC=90。，由切线长定理得R1=P8,NP=40。，求出NR15的度数，用NR1C-NP48得到

NA4c的度数.

【详解】

解：,•,2是。。的切线，AC是。。的直径，

：.ZPAC=90°.

,：PA,尸8是。。的切线,

：.PA=PB.

VZP=40°,

ZPAB=(180°-NP)4-2=(180°-40°)+2=70°,

：.ZBAC=ZPAC-ZPAB=90°-70°=20°.

故答案为20。.

【点睛】

本题考查了切线的性质，根据切线的性质和切线长定理进行计算求出角的度数.

15、16000

【解析】

用毕业生总人数乘以，，综合素质，，等级为A的学生所占的比即可求得结果.

【详解】

VA,B,C,D,E五个等级在统计图中的高之比为2：3：3；1：1,

2

二该市80000名九年级学生中“综合素质”评价结果为“A”的学生约为80000X---------=16000,

2+3+3+1+1

故答案为16000.

【点睛】

本题考查了条形统计图的应用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表

示出每个项目的数据.

IA3+小

JLb、------

2

【解析】

解：如图，作。尸JLy轴于尸，过8点作x轴的平行线与过C点垂直与x轴的直线交于G,CG交x轴于K,作

轴于//,•四边形48C。是矩形，AZBAD=90°,；.NZM尸+NOAE=90。，VZAEO+ZOAE=90°,ZDAF=ZAEO,

'：AB=2AD,E为A8的中点，：.AD=AE,在△AO尸和△EAO中，,:NDAF=NAEO,ZAFD=ZAOE=90°,AD=AE,

.,•△ADF^AEAOCAAS),：.DF=OA=1,AF=OE,k'),：.AF=k-1,同理；AAOE^ABHE,AADF^ACBG,

：.BH=BG=DF=OA=1,EH=CG=OE=AF=k-1,：.OK=2(*-1)+1=2*-1,CK=k-2,：.C(2k-1,k-2),A(2k

-1)(k-2)=lk,解得A尸土后，公=上正，'：k-l>0,../=药音.故答案为21YE.

2222

y

D

H

x

点睛：本题考查了矩形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征.图象上的点(X,y)的横纵坐标的积是定值也即

xy=k.

三、解答题(共8题，共72分)

17、(1)j=5x+9000；(2)每天至少获利10800元；(3)每天生产A产品250件，8产品350件获利最大，最大利润

为9625元.

【解析】

试题分析：(1)A种品牌白酒x瓶，则B种品牌白酒(600-x)瓶；利润=4种品牌白酒瓶数xA种品牌白酒一瓶的利润

+B种品牌白酒瓶数xB种品牌白酒一瓶的利润，列出函数关系式；

(2)A种品牌白酒x瓶，则B种品牌白酒(600-x)瓶；成本=人种品牌白酒瓶数xA种品牌白酒一瓶的成本+B种品牌

白酒瓶数xB种品牌白酒一瓶的成本，列出不等式，求x的值，再代入(1)求利润.

(3)列出y与x的关系式，求y的最大值时，x的值.

试题解析：

(1)j=20x+15(600-x)=5x+900(),

•,•y关于x的函数关系式为y=5x+9000；

(2)根据题意，得50x+35(600-x)N26400,

解得x>360,

力=5x+9()0(),5>0,

•••y随x的增大而增大，

当x=360时，j有最小值为10800,

•••每天至少获利10800元；

(3)y=(20一击卜+15(600—x)=—卷(%—2501+9625,

■:一——<0,.,.当*=250时，y有最大值9625,

100

・••每天生产A产品250件，5产品350件获利最大，最大利润为9625元.

9

18、(1)y=x2+2x-3；(2)点尸的坐标为(2,21)或(-2,5)；(3)

4

【解析】

(1)先根据点A坐标及对称轴得出点8坐标，再利用待定系数法求解可得;

(2)利用(1)得到的解析式，可设点P的坐标为(a,a2+2a-3),则点P到OC的距离为团.然后依据SAPOC=2SA

列出关于a的方程，从而可求得a的值，于是可求得点尸的坐标；

(3)先求得直线AC的解析式，设点。的坐标为(x,x2+2x-3),则点。的坐标为G,-x-3),然后可得到

与x的函数的关系，最后利用配方法求得。。的最大值即可.

【详解】

解：(1)I•抛物线与x轴的交点A(-3,0),对称轴为直线x=-l,

.,.抛物线与x轴的交点8的坐标为(1,0),

设抛物线解析式为y=a(x+3)(x-1),

将点C(0,-3)代入，得：-3a=-3,

解得a=L

则抛物线解析式为y=(x+3)(x-1)—x2+2x-3；

(2)设点尸的坐标为(a,a2+2a-3),则点尸到OC的距离为|a|.

SAPOC=2SAHOC)

111153

...—・OC•回=2x—OC、O8,aBnP-x3x|a|=2x-x3xl,解得°=±2.

2222

当a=2时，点尸的坐标为(2,21)；

当a=-2时，点尸的坐标为(-2,5).

•••点P的坐标为(2,21)或(-2,5).

(3)如图所示：

设AC的解析式为-3,将点A的坐标代入得：-34-3=0,解得％=-1,

二直线AC的解析式为y=-x-3.

设点。的坐标为(x,3+2*-3),则点。的坐标为(x,-x-3).

9939

QD=-x-3-(x2+2x-3)=-x-3-x2-2x+3=-x2-3x=-(.x2+3x+-----)="(x+—)2+—,

4424

39

二当x=-一时，。。有最大值，的最大值为一.

24

【点睛】

本题主要考查了二次函数综合题，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质和应用.

8

19、(1)10；(2)-；(3)9环

7

【解析】

(1)根据众数的定义，一组数据中出现次数最多的数，结合统计图得到答案.

(2)先求这组成绩的平均数，再求这组成绩的方差；

(3)先求原来7次成绩的中位数，再求第8次的射击成绩的最大环数.

【详解】

解：(1)在这7次射击中，10环出现的次数最多，故这组成绩的众数是10;

(2)嘉淇射击成绩的平均数为：3(10+7+10+10+9+8+9)=9,

方差为：夕(10-歹+(7—9)2+(10一9/+(10-9/+(9_9『+(8-9)2=

(3)原来7次成绩为7899101010,

原来7次成绩的中位数为9,

当第8次射击成绩为10时，得到8次成绩的中位数为9.5,

当第8次射击成绩小于10时，得到8次成绩的中位数均为9,

因此第8次的射击成绩的最大环数为9环.

【点睛】

本题主要考查了折线统计图和众数、中位数、方差等知识.掌握众数、中位数、方差以及平均数的定义是解题的关键.

20、(1)A(0,4)、C(3,l)(2)见解析(3)乎

【解析】

试题分析：(1)根据点的平面直角坐标系中点的位置写出点的坐标；(2)根据旋转图形的性质画出旋转后的图形；(3)

点A所经过的路程是以点C为圆心，AC长为半径的扇形的弧长.

试题解析：(1)A(0,4)C(3,1)

(2)如图所示:

⑶根据勾股定理可得.•AC=3后则/=需=行二平

考点：图形的旋转、扇形的弧长计算公式.

.44(31

21、(1)y-x2-4x+3；(2)y=-x+-；(3)P\2,^或P(2,-6).

33\)

【解析】

(1)根据图象经过M(1,0)和N(3,0)两点，且与y轴交于D(0,3),可利用待定系数法求出二次函数解析式;

(2)根据直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6,得出AC,BC的长，得出B点的坐标，即可利

用待定系数法求出一次函数解析式；

(3)利用三角形相似求出AABCSAPBF,即可求出圆的半径，即可得出P点的坐标.

【详解】

(1)•.•抛物线丁=^2+法+C的图象经过“(1,0),N(3,0),。(0,3),

.♦.把M(l,0),N(3,0),D(0,3)代入得:

0-a+b+c

-0-9a+3b+c

3=c

a=1

解得：＜b=-A,

c=3

•••抛物线解析式为y=f-4%+3；

(2)抛物线y=f_n+3改写成顶点式为y=(%—2产一1,

抛物线对称轴为直线l:x=2,

...对称轴与x轴的交点C的坐标为(2,0)

•••A(-l,0),

...AC=2-(-l)=3,

设点B的坐标为(2,y),(y>0),

则BC=y,

S^ABC=5-ACBC,

•••y=4

二点8的坐标为(2,4),

设直线AB解析式为：y^kx+b(k^O),

\O=-k+b

把A(-1,O),3(2,4)代入得：，〜,

4=2k+b

I

3

解得：:,

b=上

I3

44

二直线A3解析式为：y=-%+-.

33

⑶①•.•当点P在抛物线的对称轴上，OP与直线AB和x轴都相切,

设。P与AB相切于点F,与x轴相切于点C,如图1；

.,.PF±AB,AF=AC,PF=PC,

VAC=l+2=3,BC=4,

AB=7AC2+BC2=A/32+42=5，AF=3,

，BF=2,

VZFBP=ZCBA,

ZBFP=ZBCA=90°,

/.△ABC^APBF,

.BFPFPC

**BC-AC-AC*

.2PC

••二,

43

3

解得：PC=-

29

3

・•・点P的坐标为(2,-)；

2

②设。P与AB相切于点F,与X轴相切于点C,如图2：

•••PFJLAB,PF=PC,

VAC=3,BC=4,AB=5,

VZFBP=ZCBA,

ZBFP=ZBCA=90°,

/.△ABC^APBF,

.ABAC

■■=-----9

PBPF

.53

"PC+4-PC'

解得：PC=6,

.•.点P的坐标为(2,-6),

综上所述，G）P与直线AB和X都相切时,

尸