北师大版九年级数学上册反比例函数的图象与性质

北师大版九年级数学上册反比例函数的图象与性质汇报人：XXX2024-01-27反比例函数基本概念反比例函数图象绘制反比例函数性质探究反比例函数在实际问题中应用举例拓展：反比例函数与一次函数、二次函数关系探讨练习题及解析contents目录01反比例函数基本概念形如$y=frac{k}{x}$（$k$为常数，$kneq0$）的函数称为反比例函数。在反比例函数中，$x$是自变量，$y$是因变量，$k$是比例系数。当$x$取值不为零时，$y$的值等于$k$除以$x$。定义与表达式表达式解析反比例函数定义自变量$x$的取值范围在反比例函数中，自变量$x$可以取任何实数，除了$x=0$，因为当$x=0$时，函数值$y$没有定义。函数的定义域由于$xneq0$，反比例函数的定义域为${x|xneq0}$。自变量取值范围当$k>0$时在第一象限和第三象限内，随着$x$的增大，$y$的值逐渐减小。函数图象位于第一象限和第三象限，且关于原点对称。函数值变化规律当$k<0$时在第二象限和第四象限内，随着$x$的增大，$y$的值逐渐增大。函数图象位于第二象限和第四象限，且关于原点对称。无论$k$取何值（$kneq0$），反比例函数的图象总是无限接近于坐标轴但不与坐标轴相交。01020304函数值变化规律02反比例函数图象绘制列表法绘制步骤设定x的取值范围，并确定一些关键的x值。将得到的x，y值列成表格。在坐标系中描出以x值为横坐标，y值为纵坐标的点。根据反比例函数的关系式y=k/x（k为常数，k≠0），计算出对应的y值。在函数图象上选取几个易于计算的点，如与坐标轴的交点、顶点等。01描点法绘制技巧根据反比例函数的关系式，计算出这些点的坐标。02在坐标系中准确地描出这些点。03用平滑的曲线连接各点，注意曲线的走势和形状。04根据需要，可以在图象上添加一些辅助线或标记，以便于观察和分析。05反比例函数的图象为双曲线，且以原点为对称中心。在每个象限内，随着x的增大（或减小），y值逐渐减小（或增大），但永远不会等于0。当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限；当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限。反比例函数的图象无限接近于坐标轴，但永远不会与坐标轴相交。图象特点总结03反比例函数性质探究通过直接观察反比例函数的图象，可以判断函数在各自象限内的增减性。观察法解析法导数法利用反比例函数的解析式，可以推导出函数在各自象限内的增减性。通过对反比例函数求导，根据导数的正负判断函数的增减性。030201增减性判断方法中心对称反比例函数的图象关于原点对称，即对于任意一点(x,y)在反比例函数图象上，其关于原点的对称点(-x,-y)也在图象上。轴对称反比例函数的图象关于直线y=x和y=-x对称，即对于任意一点(x,y)在反比例函数图象上，其关于直线y=x和y=-x的对称点也在图象上。对称性表现形式0102与坐标轴交点情况反比例函数的图象无限接近于x轴和y轴，但永远不会与坐标轴相交。反比例函数的图象与x轴和y轴均无交点，因为当x=0或y=0时，函数值无定义。04反比例函数在实际问题中应用举例当矩形的长和宽成反比例关系时，可以通过反比例函数来求解矩形的面积。矩形面积问题在某些特定条件下，三角形的底和高之间可能存在反比例关系，此时可以利用反比例函数来求解三角形的面积。三角形面积问题面积问题建模过程当物体做匀速直线运动时，其速度与时间成反比例关系。可以通过建立反比例函数来求解物体的位移。匀速直线运动在某些情况下，物体做变速直线运动时，其速度与时间之间也可能存在反比例关系。此时可以利用反比例函数来求解物体的位移和速度。变速直线运动行程问题建模过程

其他实际问题应用电学问题在电学中，电阻、电流和电压之间可能存在反比例关系。可以通过建立反比例函数来求解电路中的相关物理量。经济学问题在经济学中，某些经济指标之间可能存在反比例关系，如价格与需求量等。可以利用反比例函数来分析和预测市场变化。工程问题在工程领域，某些物理量之间可能存在反比例关系，如压力与体积等。可以通过建立反比例函数来求解工程问题中的相关参数。05拓展：反比例函数与一次函数、二次函数关系探讨交点分析反比例函数图象与一次函数图象的交点情况，可通过解方程组得到。渐近线性质当反比例函数中的常数k>0时，其图象在第一、三象限，且随着x的增大而无限接近于x轴；当k<0时，其图象在第二、四象限，且随着x的增大而无限接近于x轴。这些性质与一次函数的图象有相似之处。斜率关系反比例函数的斜率与一次函数的斜率之间的关系，可以通过求导得到。与一次函数关系分析反比例函数图象与二次函数图象的交点情况，同样可以通过解方程组得到。交点分析反比例函数图象关于原点对称，而二次函数图象关于y轴对称。这些对称性在解题时有一定的应用价值。对称性当二次函数的a>0时，其图象开口向上；当a<0时，其图象开口向下。这些性质与反比例函数的增减性有相似之处。开口方向与二次函数关系分析函数值比较利用反比例函数与一次函数、二次函数的性质，可以比较不同函数在某一区间内的函数值大小。求解不等式通过反比例函数与一次函数、二次函数的交点情况，可以求解一些不等式问题。实际应用问题反比例函数与一次函数、二次函数的综合应用，可以解决一些实际问题，如经济学中的成本、收益问题，物理学中的运动问题等。综合应用举例06练习题及解析题目1反比例函数$y=frac{2}{x}$的图象经过点()题目2题目3若M(2,2)和N(b,-1-n^2)是反比例函数$y=frac{k}{x}$图象上的两点，则一次函数y=kx+b的图象经过_______象限．已知反比例函数$y=frac{k}{x}$（$kneq0$），当$x=2$时，$y=3$，则$k=$_______．基础知识练习题题目4：已知点A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)在反比例函数$y=frac{k}{x}$的图象上，且x₁<x₂，y₁<y₂，则k的取值范围是_______．题目5：已知反比例函数$y=frac{3k-1}{x}$，当$x>0$时，$y$随$x$的增大而减小，则$k$的取值范围是_______．题目6：已知双曲线$y=frac{k}{x}$与直线$y=ax+b$相交于点$A(1,5)$，$B(m,-2)$．(1)分别求双曲线、直线的解析式；(2)直接写出不等式$ax+b>frac{k}{x}$的解集．提高能力练习题0102题目1解析由题意得$3=frac{k}{2}$，解得$k=6$．题目2解析反比例函数$y=frac{2}{x}$的图象经过第一、三象限，且在各象限内$y$随$x$的增大而减小．通过验证可知选D．题目3解析由题意得$2=frac{k}{2}$，$-1-n^2=frac{k}{b}$，解得$k=4$，$b=-5$，$therefore$一次函数为$y=4x-5$，其图象经过第一、三、四象限．题目4解析$because$点A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)在反比例函数$y=frac{k}{x}$的图象上，且x₁<x₂，