新教材人教A版高一数学必修一知识点总结与经典例题 第三章函数的概念与性质

新教材人教A版高一数学必修一知识点总

结与经典例题第三章函数的概念与性质

学好高中数学，成就美好人生

新教材人教A版高一数学必修一知识点总结

【考纲要求】

序

号

1

函数的概

念

2

函数的性

质

3募函数

4

函数的应

用（一）

第三章函数的概念与性质

考点

在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础

上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整

的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函

数概念中的作用。

了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域

在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方

法（如图像法、列表法、解析法）表示函数，理

解函数图象的作用。

通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单

应用。

借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调

性，最大值，最小值，理解它们的作用和实际意

义

结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义

通过具体实例，结合，，，

,,的图象，理解它们的变

化规律，了解得函数。

理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律

的重要数学语言和工具，在实际情境中，会选择

合适的函数类型刻画现实问题的变化规律。

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课标要求

了解

了解

了解

理解

理解

了解

了解

掌握

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3.1函数的概念及其表示

知识点总结

3.1.1函数的概念

一、函数的概念

1.一般地，设是非空的实数集，如果对于集合中的任何一

个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数

和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作。其中

叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域，

叫做函数的值域。与的值相对应的值叫做函数值。函数值

的集合

(1)判断一个对应关系是不是函数：

①两个集合均为非空数集；

②对集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数

注意：可以一对一，多对一，不可一对多。

(2)判断一个图形是不是函数的图象

和它对应。

作垂直于轴的直线，在定义域内左右平移直线，根据直线

与图形是不是仅有一个公共点来判断，若是，则为函数图象，

反之不是。

2.函数的三要素：定义域，值域，对应关系。

3.相等函数：如果两个函数的定义域相同且对应关系完全

一致，则这两个函数相等。二、区间的概念及函数定义域的求

法

1.区间的表示方法

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2.函数的定义域求法

(1)具体函数的定义域

①如果是整式，则定义域为；

②如果是分式，则定义域是使分母不为的实数集合；

③如果是偶次根式，其定义域是使根式内的式子不小于的

实数集合；

④如果是由以上几部分数学式子组成，其定义域是使各部

分式子都有意义的实数集合；(2)抽象函数和复合函数的定

义域

①已知的定义域为，求的定义域，其实质是已知的取值范

围为，求的取值范围。

②已知

求

的定义域为，求的定义域，其实质是已知中的取值范围为,

的值域。

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3.简单函数的值域求法

(1)观察法：对于一些简单的函数，通过其定义域和对

应关系用观察法可以确定，如

、等等；

(2)配方法：对于含二次函数的有关问题，常常根据问

题需要，采用配方法求值域，如

等；

(3)判别式法：将函数转化为一元二次方程，利用判别

式求函数值的范围，常用于一些分式函数，无理函数等，如等;

(4)换元法：对于一些无理函数常通过换元的方法转化

为有理函数，在通过上述方法求值域，如；

(5)分离常数法：对于一些分子和分母都是关于自变量

的一次式，常采用分离常数法求值域，如

(6)图像法

3.1.2函数的表示法

一、三种表示法的比较

表示法优点

1.简明、全面地概括了变量间的关

系；

2.通过解析式可以求出任意一个自变

量所对应的函数值

不需要计算就可以直接看出与自变量

的值相对应的函数值

1.能形象、直观地表示出函数的变化

情况；

2.便于数形结合的应用。

二、函数解析式的求法

1.待定系数法：已知函数类型，求函数解析式;

2.配凑法

3.换元法

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,（其中为常数）。

解析法

缺点

不够形象、直接、具

体，而且并不是所有的

函数都能用解析式来表

示，如每天的气温变化

只能表示出自变量取较

少的值时的对应关系

只能近似地求出自变量

的值所对应的函数值，

有时误差较大。

列表法

图像法

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4.消元法（解方程组法）：抽象函数解析式的求法；

5.赋值法

三、函数图象的作法

先找出一些（有代表性）自变量的值，再计算出与这些自

1列表

变量的值相对应的函数值，用表格形式表示出来

从表格中得到一系列的点，在平面直角坐标系中描出这些

2

3

描点

点

连线用光滑的曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接

起来四、分段函数

1.分段函数是一个函数，而不是几个函数；

2.写分段函数各段的取值范围时，注意不重不漏；

3.处理分段函数问题时，首先要确认自变量的取值范围，

再选取相应的对应关系；4.分段函数的定义域是各段定义域的

并集；同样的，值域是各段函数值域的并集；分段函数的最大

（小）值是各段函数分别求得最大（小）值之后的最大（小）

值。

考法突破

【知识点一函数的概念】

例1,下列能表示是的函数的是（）

①②③④

A.①②④

B.①③④

C.②③④

D.①②③

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变式训练例1

下列各式为函数解析式的是（）.

A.

B.

C.

D.

【知识点一函数的概念之图像理解】

例2

下列四个图象中，能表示是的函数图象的个数是0

A.0个

B.1个

C.2个

D.3个

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变式训练例2下列图象中表示函数图象的是()

A.

B.

C.

D.

【知识点一相等函数的概念】

例3.下列四组函数中，表示相等函数的一组是(.)

A.

B.

C.

D.

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变式训练例3

下列各组中的两个函数是同一函数的为（）

A.与

B.与

C.与

D.与

【知识点二函数定义域的求法】

例1.已知函数的定义域是集合，则使的集合（）

A.或

B.或

C.

D.

变式训练例1

已知函数的定义域为，的定义域为，则

答案.

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【知识点二函数定义域的求法】

例2.

已知函数的定义域为，则函数的定义域为.

答案.

变式训练例2

已知函数的定义域为，则函数的定义域是.答案.

【知识点二.函数定义域的求法】

例3

.函数的定义域为，则函数的定义域是.

答案

变式训练例3

已知函数的定义域是，则函数的定义域是()A.

B.

C.

D.

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【知识点二函数定义域的求法】

例4

已知函数

数在

的定义域为，则实数的值构成的集合是;若函

上有意义，则实数的值构成的集合是.答案；

变式训练例4

（2018广西南宁高一期末）若函数的定义域为，则的取值范

围为.答案

【知识点三函数值域的求法】

例lo函数的值域是.

答案

变式训练例1函数的值域是.

答案

【知识点三函数值域的求法】

例2o已知集合

,，求

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答案，

变式训练例2

函数的定义域为,值域为.

答案；.

【知识点三函数值域的求法】

例3已知函数满足方程，则函数的值域为.答

变式训练例3

已知函数满足方程，那么函数的值域是.答案

【知识点三函数值域的求法】

例4函数的值域为.

答案

变式训练例4

函数的值域为.

答案

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【知识点三函数值域的求法】

例5函数的值域为.

答案

变式训练例5函数

答案.

在的值域为.

【知识点四函数表示法】

例1。口香糖的生产已有很长的历史，咀嚼口香糖有很多

益处，但其残留物也会带来污染.为了研究口香糖的黏附力与

温度的关系，一位同学通过实验，测定了不同温度下口香糖与

瓷砖地面的黏附力，得到了如表所示的一组数据：

(1)请根据上述数据，绘制出口香糖黏附力随温度变化

的图像.

(2)根据上述数据以及得到的图像，你能得到怎样的实

验结论呢？

(3)如果口香糖不小心粘在衣服上，用什么办法清理最

干净？

变式训练例1

根据下表写出函数解析式()

A.

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B.

C.

D.

【知识点四函数表示法】

例2。某电信公司推出两种手机收费方式：种方式是月租

月的本地网内打出电话时间

这两种方式的电话费相差0

元，种方式是月租元.一个

时，与电话费(元)的函数关系如图所示，当电话

A.元

B.元

C.元

D.元

变式训练例2

下列所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为()

(1)我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于

是立刻返回家里取了作业本再上学；

(2)我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交

通堵塞，耽搁了一些时间；

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(3)我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间

开始加速.

A.(1)(2)(4)

B.(4)(2)(3)

C.(4)(1)(3)

D.(4)(1)(2)

【知识点四函数表示法】

例3。某种杯子每只

的函数

元，买只，所需钱数为元，用解析法将表示成

答案。

变式训练例3

某商场新进了

台彩电，每台售价元，试求售出台数与收款数之间的函数

关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来.

【知识点五函数解析式的求法】

例1已知二次函数的图像过点，则二次函数的解析式为

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答案

变式训练例1

抛物线上有三点，此抛物线的解析式为

答案

【知识点五函数解析式的求法】

例2已知，则.

答案。

变式训练例2

函数满足,,则的最小值为-.

答案.

【知识点五函数解析式的求法】

例3已知，求.

答案

变式训练例3

若

,求.

答案。.

【知识点五函数解析式的求法】

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例4已知

答案。

变式训练例4

设满足，求.

答案.

【知识点五函数解析式的求法】

例5设是上的函数，且满足，并且对任意的实数，都有

，求，的值及的解析式.

变式训练例5

已知函数对一切实数都有成立，且

(1)求的值；

(2)求的解析式.

答案(1);(2)

【知识点六函数图象作法】

例1

作出函数的图象.

变式训练例1

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研究下列函数的单调区间并分别画出它们的图象:

(1)；

(2).

(1)图略，函数的单调减区间是，.

(2)图略，函数的单调减区间是.

【知识点七分段函数的概念和性质】

例E已知函数，则()

A.

B.

C.

D.

变式训练例1

设

答案

,求的值.

【知识点七分段函数的概念和性质】

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例2.设函数，若，则.答案。

变式训练例2

设函数

答案。或

,若,则.

3.2函数的基本性质

知识点总结

3.2.1单调性与最大（小）值

1.增函数与减函数定义

（1）一般地，设函数

①如果

增。即函数

,当

的定义域为，区间

时，都有

,那么就称函数在区间上单调递

在区间上具有严格的单调性，区间叫做函数的单调增区间。

特别地，当函数

或

②如果

在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数。（注

意：当

时，函数

,当时，都有

单调递增。）

,那么就称函数在区间上单调递减。即函数在区间上具有

严格的单调性，区间叫做函数的单调减区间。特别地，当函数

或

在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数。（注

意：当

时，函数单调递减。）

（2）判断函数单调性的方法

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①定义法

i.设符合定义域的

ii.作差与变形：

,且；

.常见变形方法有：分解因式，配方，通分，有理化等。

造.判号

iv.得出结论

②配凑法（适用于判断抽象函数单调性）

③图像法

作函数图象，通过图象直观的判断函数的单调性

④性质法

i.直接利用函数的性质：一次函数、二次函数、反比例

函数等等

ii.单调性运算性质

增+增=增

增-减二增

减+减=减

减-增=减

若为增函数，则为减函数；

若在定义域上成立，则与的单调性相同；

函数的单调性满足“同增异减”的法则。

2.函数单调性的应用

(1)利用单调性解不等式

若在区间内单调递增。则不等式

若在区间内单调递减。则不等式

(2)利用函数单调性求参数取值范围

①将参数看成已知数，对参数进行讨论，求函数的单调区

间，再与已知条件对比，求出参数范围;

②根据已知条件，将参数分离放置不等号左端，右端化为

已知函数，再通过求已知函数的值域从而确定参数的取值范围。

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3.函数的最大（小）值

设函数的定义域为区间，如果存在实数满足:

（1）对于，都有

最大值

（2）对于，都有

最小值。

4.函数最大（小）值的求法

（1）单调性法

（2）函数图象的性质

（3）均值不等式

5.二次函数的图象和性质

,且存在，使得，则称是函数的

,且存在，使得，则称是函数的

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对于二次函数在区间上的最值可进行如下讨论：(1)函

数图象的对称轴在区间

O

左侧,即时,

(2)函数图象的对称轴在区间之间，即时，。当时，；

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当时，；

当时，

在区间

右侧，即时，，(3)函数图象的对称轴

O

3.2.2函数的奇偶性

1.奇函数与偶函数

奇函数：一般地，设函数

那么函数

的定义域为,如果，都有，且，

就叫做奇函数；

偶函数：一般地，设函数

么函数就叫做偶函数；

的定义域为,如果，都有，且，那2.奇函数与偶函数的性

质

(1)对称性：奇函数图象关于原点对称，且若定义域包

含，则

轴对称；

(2)单调性：奇函数在原点两侧单调性相同；偶函数在

轴两侧单调性相反；

(3)函数奇偶性的判定

①定义法

i求定义域：观察是否关于原点对称。若是则进行下一步

判断，若不是，则函数偶；

ii判断

奇函数。

②图像法

与的关系：，则为偶函数；，则为

非奇非

；偶函数图象关于

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i图象关于原点对称，则为奇函数；

ii图象关于轴对称，则为偶函数。

③性质法

i奇奇奇

ii奇奇偶

道偶偶偶

iv偶偶偶

v奇偶奇

3.函数周期性

(1)周期函数:对于定义域中任意的和一个非零常数

为周期的周期函数.

，恒成立是以⑵最小正周期:如果在周期函数

就叫做

的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数

一般都是最小正周期)•的最小正周期(若不特别说明，

下列条件可推出具有周期性：

⑴若，则是周期函数，其中一个周期.

⑵若

个周期为.

或或，那么函数是周期函数,其中一(3)若，那么函数是周期函

数，其中一个周期为.(4)若已知函数图象具有对称性，可将其转化

为函数的周期情况，具体如下：

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①若的图象在定义城内有两条对称轴,，则的一个周期为;②

若的图象在定义域内有两个对称中心,，则的一个周期为;③若的

图象在定义域内有对称轴

和对称中心，则的一个周期为4.关于函数图象对称性的常

见结论

在定义域内满足条件

考法突破

图象的对称轴(中心)

直线

直线

点

点

点

点

点

【知识点一函数单调性的判断】

例1求函数

答案，定义法。

变式训练例1

用定义证明：函数

的单调区间.

单调递增，单调递减.

在上是减函数.

【知识点一函数单调性的判断】

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例2.(2018湖南郴州高一联考)已知函数.

(1)画出函数的大致图像；

(2)写出函数的单调递减区间.

答案(1)见解析;(2)

变式训练例2

求函数的递增区间

答案，图像法。.

【知识点一函数单调性的判断】

例3。下列函数在区间上不是增函数的是()

A.

B.

C.

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D.

变式训练例3

函数的单调递增区间是,单调递减区间是

__________.答案，

【知识点一函数单调性的判断】

例4.求函数的单调区间.

变式训练例4

已知函数.

(1)判断函数的单调区间；

(2)当时，求函数的值域.

【知识点一函数单调性的判断】

例5.函数的定义域为，且对一切，，都有

时，总有.

(1)求的值；

(2)判断的单调性并证明；

(3)若，解不等式.

答案(1);

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,当

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(2)是上的增函数，证明略；

(3).

变式训练例5

已知定义在

时

上的函数

,判断

对任意

在

,恒有

上的单调性.

,且当答案在上单调递减.证明略

【知识点二函数单调性的应用】

例1。若函数在上是减函数，则下列关系式一定成立的是

().

A.

B.

C.

D.

变式训练例1已知，是正实数，则下列式子中能使恒成立的

是()

A.

B.

C.

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D.

【知识点二函数单调性的应用】

例2o已知

是定义在区间上的增函数，且，则的取值范围为答案。

变式训练例2

函数在上是增函数，且，则的取值范围为.答

案。

【知识点二函数单调性的应用】

例3.已知函数在上递增，则的取值范围是（）

A.

B.

C.

D.

变式训练例3

若函数

答案。

在

上单调递增，求实数的取值范围.

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【知识点三函数的最大（小）值】

例1,函数在区间上的最小值为,最大值为

__________.答案；.

变式训练例1

已知函数，.

（1）判断并证明函数的单调性；

（2）求函数的最大值与最小值.

答案（1）略；（2）

【知识点三函数的最大（小）值】

例2.函数在上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大

值分别是OA.,

B.,

C.,

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D.,

变式训练例2

函数的图象如图所示，则函数的最大值，最小值分别为（）

A.,

B.,

C.,

D.,

【知识点三函数的最大（小）值】

例3.当

A.

时，的最小值为()

B.

C.

D.

变式训练例3

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函数的最大值为()

A.

B.

C.

D.

【知识点四二次函数的值域和最值】

例1。函数，在的最大值为.

答案。

变式训练例1

二次函数在区间的最大值为

答案。

【知识点四二次函数的值域和最值】

例2.已知函数在时有最大值，则的值为.答案。

变式训练例2

函数在上有最大值，那么实数

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答案。或

【知识点五函数奇偶性的判断】

例1

已知函数

(1)证明：

是奇函数；

(2)用函数单调性的定义证明：

变式训练例1

下列函数是偶函数的是()

在上是增函数。

A.

B.

c.

D.

【知识点五函数奇偶性的判断】

例2.

下列函数图象中，是奇函数的图象；

是偶函数；在定义域内是增函数.

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答案A.；B.；C.

变式训练例2

函数，的图像如图，则函数的图像可能是()

A.B.

C.Do

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【知识点五函数奇偶性的判断】

例3。已知函数()是奇函数，那么函数()()

A是奇函数

B是偶函数

C既是奇函数又是偶函数

D既不是奇函数也不是偶函数

变式训练例3函数的奇偶性是()

A.奇函数

B.偶函数

C.既奇又偶函数

D.非奇非偶函数

【知识点六函数奇偶性的应用】

例1。已知函数，且，则()

A.

B.

C.

D.

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变式训练例1

已知函数，若，则等于0

A.

B.2

C.1

D.

【知识点六函数奇偶性的应用】

例2.函数y=(x+1)(x—a)为偶函数，则a等于()

A.-2

B.-1

C.1

D.2

变式训练例2已知函数为偶函数，则的值是()

A.1

B.2

C.3

D.4

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【知识点六函数奇偶性的应用】

例3.是定义在上的奇函数，时,，则当时,答案。

变式训练例3

已知为奇函数，当，，则时，等于()

A.

B.

C.

D.

【知识点六函数奇偶性的应用】

例4.已知定义在

等式

上的函数

的解集为（）

的图象关于轴对称,且函数在上单调递减，则不A.

B.

C.

D.

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变式训练例4

已知偶函数在区间单调增加，则满足的的取值范围是（）A.

B.

C.

D.

3.3幕函数

知识点总结

一、黑函数的概念

1.嘉函数的定义：一般地，函数

2.嘉函数的特征：

(1)寨函数

(2)早函数

(3)一函数

的系数是；

的底数是自变量；

的指数是常数。

叫做嘉函数，其中是自变量，是常数。二、常见的募函数

图像和性质

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三、一般得函数的性质

(1)所有鲁函数在上都有意义，并且图象经过点。

(2)时，嘉函数的图象经过原点，并且在区间上是增函

数。

(3)时，嘉函数在区间上是减函数，在第一象限内，当

从右向左趋近于

时，图象在轴上方无限趋近于时，图象在轴右侧无限趋近

于轴正半轴，当趋近于

轴正半轴。

(4)任何第函数图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交,

任何氟函数的图象都不过第四象限。

(5)任何两个福函数的图象最多有三个公共点，除

何一个点都不是两个黑函数的公共点。

,其他任

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四、上凸函数与下凸函数

(1)上凸函数：设函数

(2)下凸函数：设函数

在

在上有定义，若对于中任意不同的两数

在上是上凸函数。都成立，则称

上有定义，若对于中任意不同的两数

在上是下凸函都成立，则称

数。

(3)嘉函数图象的上凸、下凸：在第一象限内，①当时,

曲线上凸；②当时，曲线下凸；③当时，曲线下凸。如图

考法突破

【知识点一早函数的概念】

例1。已知黑函数，

(1)求实数的值；

(2)求寨函数的定义域.

答案。(1);

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(2)

变式训练例1

已知寨函数在上是减函数，则实数答案。

【知识点二嘉函数图象及应用】

例1。给出下列说法：

(1)募函数的图像都过点；(2)嘉函数的图像不可能是一条

直线;

（3）时，函数的图像是一条直线；（4）嘉函数当时，是增函

数；（5）嘉函数当时，在第一象限内，函数值随值的增大而减

少.其中正确说法的序号为.

答案。（5）

变式训练例1

下列结论中，正确的是（）

A.氟函数的图象都通过点

B.当寨指数时，嘉函数的图象都经过第一、三象限

C.当寨指数时，嘉函数是增函数

D.当倦指数时，嘉函数在其整个定义域上是减函数

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【知识点三赛函数的单调性及其应用】

例1。嘉函数在上单调递增，则的值为（）

A.

B.

C.

D.或

变式训练例1

嘉函数在上为减函数，则实数

答案。.

【知识点三早函数的单调性及其应用】

例2.比较下列各组数中两个数的大小.

⑴与；

⑵与.

答案(1);

(2).

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的值是.

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变式训练例2

比较大小：.

【知识点三募函数的单调性及其应用】

例3.已知，求实数的取值范围.

答案。

变式训练例3

若，求实数的取值范围.

答案。实数的取值范围为.

【知识点四寨函数的奇偶性】

例1。已知嘉函数0的图象关于轴对称，且在

⑴求的值；

⑵求函数在区间上的最大值.

答案(1)

(2)

变式训练例1

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上是减函数.

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已知函数

(1)求实数的值；

为募函数，且为奇函数.

(2)求函数在上的值域.

答案(1);

(2),

【知识点四寨函数的奇偶性】

例2,已知,若时,，则的取值范围是()A.

B.

C.

D.

变式训练例2

已知黑函数的图像关于轴对称，且在

的的范围是__________

上是减函数，则满足答案。或

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3.4函数的应用（一）

知识点总结

几类常见的函数模型

1.一次函数模型：为常数，

2.二次函数模型：为常数，

（注：求解二次函数模型问题时，常利用二次函数的图象

或配方法、判别式法、换元法、函数单调性等求函数的最值，

从而解决实际问题中的最值问题。）

3.对勾函数模型：

对勾函数的图象和性质

性质：（1）图象关于原点对称

为常数，

（2）增区间为；减区间为

（3）在上有最小值，为在上有最大值，为

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4.分段函数模型：这个模型实质是两种或多种模型的综合,

应用十分广泛。

考法突破

【知识点一利用一次函数模型解决实际问题】

例1。甲、乙两车从

离

城出发匀速行驶至城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开

城的距

两城相（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数关系如

图所示，则下列结论:①

距千米；②乙车出发后小时追上甲车；③当甲、乙两车相

距千米时，或，或或（单位为小时）其中正确的结论有（）

A.①②

B.②③

C.①③

D.①②③

变式训练例1

某商家有一种商品，成本费为元，如果月初售出可获利

100元，再将本利都存入银行，已知银行月息为2.4%,如果

月末售出可获利120元，但要付保管费5元，试就的取值说明

这种商品是月初售出好，还是月末售出好？

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【知识点二利用二次函数模型解决实际问题】

例1。共享单车给市民出行带来了诸多便利,某公司购买了

一批单车投放到某地给市民使用.据市场分析，每辆单车的营运

累计收入(单位:元)与营运天数

(1)要使营