2024届福建省龙岩市一级达标校数学高二第二学期期末学业质量监测试题含解析

2024届福建省龙岩市一级达标校数学高二第二学期期末学业质量监测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知位学生得某次数学测试成绩得茎叶图如图，则下列说法正确的是()A．众数为7 B．极差为19C．中位数为64.5 D．平均数为642．的展开式中的项的系数是()A． B． C． D．3．已知i是虚数单位，若z=1+i1-2i，则z的共轭复数A．-13-i B．-14．已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则（）A．8 B．4 C．6 D．35．设奇函数的最小正周期为，则（）A．在上单调递减 B．在上单调递减C．在上单调递增 D．在上单调递增6．复数的模是()A．3 B．4 C．5 D．77．已知函数在其定义域内有两个零点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．8．命题“对任意的，”的否定是A．不存在， B．存在，C．存在， D．对任意的，9．分配名工人去个不同的居民家里检查管道，要求名工人都分配出去，并且每名工人只去一个居民家，且每个居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有（）A．种 B．种 C．种 D．种10．已知中，若，则的值为（）A．2 B．3 C．4 D．511．利用独立性检验的方法调查高中性别与爱好某项运动是否有关，通过随机调查200名高中生是否爱好某项运动，利用2×2列联表，由计算可得K2≈7.245，参照下表：得到的正确结论是（）0.010.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”、C．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”12．已知函数，，若关于的方程有6个不相等的实数解，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数若函数有3个零点，则实数a的取值范围为____.14．命题的否定是__________．15．已知矩阵，，则矩阵________.16．若在展开式中，若奇数项的二项式系数之和为，则含的系数是_____________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，已知海岛与海岸公路的距离为，，间的距离为，从到，需先乘船至海岸公路上的登陆点，船速为，再乘汽车至，车速为，设.（1）用表示从海岛到所用的时间，并指明的取值范围；（2）登陆点应选在何处，能使从到所用的时间最少？18．（12分）如图，是圆柱的底面直径且，是圆柱的母线且，点是圆柱底面面圆周上的点.（1）求证：平面；（2）当三棱锥体积最大时，求二面角的大小；（结果用反三角函数值表示）（3）若，是的中点，点在线段上，求的最小值.19．（12分）已知的展开式的各项系数之和等于的展开式中的常数项.求：(1)展开式的二项式系数和；(2)展开式中项的二项式系数.20．（12分）已知函数.（1）当时，求函数在上的最大值；（2）令，若在区间上为单调递增函数，求的取值范围；（3）当时，函数的图象与轴交于两点，且，又是的导函数.若正常数满足条件.证明：.21．（12分）已知函数的最小值为M.（1）求M；（2）若正实数，，满足，求：的最小值.22．（10分）设椭圆经过点，其离心率.（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆交于、两点，且的面积为，求的值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

根据茎叶图中的数据求得这组数据的众数、极差、中位数和平均数．【题目详解】根据茎叶图中的数据知，这组数据的众数为67，A错误；极差是75﹣57＝18，B错误；中位数是64.5，C正确；平均数为60（﹣3﹣1+1+2+7+7+12+15）＝65，D错误．故选C．【题目点拨】本题考查了利用茎叶图求众数、极差、中位数和平均数的应用问题，是基础题．2、B【解题分析】

试题分析：的系数,由的次项乘以,和的2次项乘以的到,故含的是,选.考点：二项式展开式的系数.【方法点睛】二项式展开式在高考中是一个常考点.两个式子乘积相关的二项式展开式,首先考虑的是两个因式相乘,每个项都要相互乘一次,这样就可以分解成乘以常数和乘以一次项两种情况,最后将两种情况球出来的系数求和.如要求次方的系数,计算方法就是,也就是说,有两个是取的,剩下一个就是的.3、C【解题分析】

通过分子分母乘以分母共轭复数即可化简，从而得到答案.【题目详解】根据题意z=1+i1+2i【题目点拨】本题主要考查复数的四则运算，共轭复数的概念，难度较小.4、D【解题分析】

设点、，由，可计算出点的横坐标的值，再利用抛物线的定义可求出.【题目详解】设点、，易知点，，，，解得，因此，，故选D.【题目点拨】本题考查抛物线的定义，解题的关键在于利用向量共线求出相应点的坐标，考查计算能力，属于中等题．5、B【解题分析】分析：利用辅助角公式将函数进行化简，根号函数的周期和奇偶性即可得到结论．详解：，

∵函数的周期是，，

∵）是奇函数，

即∴当时，即则在单调递减，

故选：B．点睛：本题主要考查三角函数的解析式的求解以及三角函数的图象和性质，利用辅助角公式是解决本题的关键．6、C【解题分析】

直接利用复数的模的定义求得的值．【题目详解】|，故选：C．【题目点拨】本题主要考查复数的模的定义和求法，属于基础题．7、A【解题分析】分析：由题意可得即有两个不等的实数解．令，求出导数和单调区间、极值和最值，画出图象，通过图象即可得到结论．详解：函数在其定义域内有两个零点，

等价为即有两个不等的实数解．令，，

当时，递减；当时，递增．在处取得极大值，且为最大值．当．

画出函数的图象，

由图象可得时，和有两个交点，

即方程有两个不等实数解，有两个零点．

故选A．点睛：本题考查函数的零点问题，注意运用转化思想，考查构造函数法，运用导数判断单调性，考查数形结合的思想方法，属于中档题．8、C【解题分析】

注意两点：1）全称命题变为特称命题；2）只对结论进行否定．“对任意的，”的否定是:存在，选C.9、C【解题分析】

根据题意，分析可得，必有2名水暖工去同一居民家检查；分两步进行，①先从4名水暖工中抽取2人，②再将这2人当做一个元素，与其他2人，共3个元素，分别分配到3个不同的居民家里，由分步计数原理，计算可得答案.【题目详解】解：根据题意，分配4名水暖工去3个不同的居民家里，要求4名水暖工都分配出去，且每个居民家都要有人去检查；

则必有2名水暖工去同一居民家检查，

即要先从4名水暖工中抽取2人，有种方法，

再将这2人当做一个元素，与其他2人，共3个元素，分别分配到3个不同的居民家里，有种情况，

由分步计数原理，可得共种不同分配方案，

故选：C.【题目点拨】本题考查排列、组合的综合应用，注意一般顺序是先分组（组合），再排列，属于中档题.10、A【解题分析】

根据利用二项展开式的通项公式、二项式系数的性质、以及，即可求得的值，得到答案．【题目详解】由题意，二项式，又由，所以，其中，由，可得：，即，即，解得，故选A．【题目点拨】本题主要考查了二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，其中解答中熟记二项展开式的通项及性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．11、B【解题分析】

由，结合临界值表，即可直接得出结果.【题目详解】由，可得有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”.故选B【题目点拨】本题主要考查独立性检验，会对照临界值表，分析随机变量的观测值即可，属于基础题型.12、A【解题分析】令g(x)=t,则方程f(t)=λ的解有3个，由图象可得，0<λ<1.且三个解分别为，则，，均有两个不相等的实根，则△1>0,且△2>0,且△3>0，即16−4(2+5λ)>0且16−4(2+3λ)>0,解得，当0<λ<时,△3=16−4(1+4λ−)>0即3−4λ+>0恒成立，故λ的取值范围为(0,).故选D.点睛：已知函数零点的个数（方程根的个数）求参数值（取值范围）的方法(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解，对于一些比较复杂的函数的零点问题常用此方法求解．本题中在结合函数图象分析得基础上还用到了方程根的分布的有关知识．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

将函数有3个零点转化为与有三个交点，在同一坐标系中作出两函数的图象，即可求得实数的取值范围．【题目详解】作出的函数图象如图所示：画出函数的图象，由图象可知当时，有1零点，当时，有3个零点；当或时，有2个零点。故答案为.【题目点拨】本题考查根的存在性及根的个数判断，将函数有3个零点转化为与有三个交点是关键，考查等价转化思想与数形结合思想的综合运用，属于中档题.14、【解题分析】分析：特称命题的否定是全称命题，即的否定为.详解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题的否定是.点睛：对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.的否定为，的否定为.15、【解题分析】

先求出，再与矩阵B相乘即可.【题目详解】由已知，，所以.故答案为：【题目点拨】本题考查矩阵的乘法运算，涉及到可逆矩阵的求法，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.16、【解题分析】

由题意可知，奇数项的二项式系数之和为，求出，然后求出展开式的通项，利用的指数为，求出参数的值，然后将参数的值代入通项，即可求出含项的系数.【题目详解】由题意可知，奇数项的二项式系数之和为，解得，展开式的通项为，令，得，因此，展开式中含的系数为.故答案为.【题目点拨】本题考查二项展开式中奇数项系数和的问题，同时也考查了二项展开式中指定项系数的求解，一般利用展开式通项来进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），.（2）登陆点与的距离为时，从海岛到的时间最少.【解题分析】

求出AD，CD，从而可得出的解析式；

利用导数判断函数单调性，根据单调性得出最小值对应的夹角.【题目详解】（1）在中，∵，，∴，，∴，∴，即.∵，∴，∴(若写成开区间不扣分).（2），，当时，，当时，，所以时，取最小值，即从海岛到的时间最少，此时.答：（1），.（2）登陆点与的距离为时，从海岛到的时间最少.【题目点拨】本题考查了解三角形的应用和正弦定理的应用，考查了利用导数求函数最值，属中档题．18、（1）详见解析；（2）；（3）.【解题分析】

（1）根据圆柱性质可得,由圆的性质可得,即可证明平面;（2）先判断当三棱锥体积最大时的位置.过底面圆心作,即可得二面角的平面角为,根据所给线段关系解三角形即可求得,进而用反三角函数表示出即可.（3）将绕旋转到使其共面,且在的反向延长线上,结合余弦定理即可求得的最小值,也就是的最小值.【题目详解】（1）证明:因为是圆柱的母线,平面所以又因为是圆柱的底面直径所以,即又因为所以平面（2）当三棱锥体积最大时,底面积最大,所以到的距离最大,此时为设底面圆的圆心为,连接则,又因为所以平面因为,所以取中点,则过O作,垂足为则,所以为中点连接,由平面可知所以为二面角的平面角在中,,,所以则二面角的大小为（3）将绕旋转到使其共面,且在的反向延长线上,如下图所示:因为,,,,在中,由余弦定理可知则所以的最小值为【题目点拨】本题考查了线面垂直的判定,二面角的平面角作法及求法,空间中最短距离的求法,综合性较强,属于中档题.19、(1)(2)【解题分析】

根据通项公式,求出二项式的常数项,再求出的展开式的各项系数之和,根据题意可以求出的值；(1)直接运用二项式展开式二项式系数和公式求解即可；(2)运用二项式的通项公式即可求出展开式中项的二项式系数.【题目详解】二项式的通项公式为：,令,因此的展开式中的常数项为：,在中,令,所以的展开式的各项系数之和为,由题意可知：.,(1)因为,所以展开式的二项式系数和为；(2)因为,所以二项式的通项公式为：,令,所以展开式中项的二项式系数为：.【题目点拨】本题考查了二项式通项公式的应用,考查了数学运算能力,区分是二项式的系数还是项的系数是解题的关键.20、(1)-1；(2)；(3)参考解析【解题分析】试题分析：（1），可知在[,1]是增函数，在[1,2]是减函数，所以最大值为f(1).(2)在区间上为单调递增函数,即在上恒成立．，利用分离参数在上恒成立，即求的最大值．（3）有两个实根，，两式相减，又，．要证：，只需证：，令可证．试题解析：（1）函数在[,1]是增函数，在[1,2]是减函数，所以．（2）因为，所以，因为在区间单调递增函数，所以在（0，3）恒成立，有=，（）综上：（3）∵，又有两个实根，∴，两式相减，得，∴,