2024届吉林省博文中学数学高二第二学期期末学业水平测试试题含解析

2024届吉林省博文中学数学高二第二学期期末学业水平测试试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知变量，由它们的样本数据计算得到的观测值，的部分临界值表如下：0.100.050.0250.0100.0052.7063.8415.0246.6357.879以下判断正确的是（）A．在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为变量有关系B．在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为变量没有关系C．有的把握说变量有关系D．有的把握说变量没有关系2．设函数，，若存在唯一的整数，使，则的取值范围是（）A． B． C． D．3．甲、乙、丙三人每人准备在3个旅游景点中各选一处去游玩，则在“至少有1个景点未被选择”的条件下，恰有2个景点未被选择的概率是（）A．17 B．18 C．14．已知复数z满足，则复数等于()A． B． C． D．i5．有一个奇数列，现在进行如下分组：第一组含一个数；第二组含二个数；第三组含有三个数；第四组数有试观察每组内各数之和与组的编号数有什么关系（）A．等于 B．等于 C．等于 D．等于6．设实数满足约束条件，则的最大值为()A． B．1 C．6 D．97．已知展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相同，且,若,则展开式中常数项()A．32 B．24 C．4 D．88．用数学归纳法证明“”,从“到”左端需增乘的代数式为()A． B． C． D．9．已知袋中装有除颜色外完全相同的5个球，其中红球2个，白球3个，现从中任取1球，记下颜色后放回，连续摸取3次，设ξ为取得红球的次数，则PA．425 B．36125 C．910．若函数f(x)的导数为f′(x)=-sinx，则函数图像在点（4，f（4））处的切线的倾斜角为（）A．90°B．0°C．锐角D．钝角11．若二项式的展开式中二项式系数的和是64，则展开式中的常数项为A． B． C．160 D．24012．如图，y=f(x)是可导函数，直线l:y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线，令g(x)=xf(x)，g'(x)是g(x)的导函数，则g'(3)=（）．A．－1 B．0 C．2 D．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．的平方根为______．14．不等式的解集是_______.15．牛顿通过研究发现，形如形式的可以展开成关于的多项式,即的形式其中各项的系数可以采用“逐次求导赋值法”计算.例如:在原式中令可以求得，第一次求导数之后再取，可求得，再次求导之后取可求得,依次下去可以求得任意-项的系数，设,则当时，e=_____．(用分数表示)16．从总体中抽取一个样本是5，6，7，8，9，则总体方差的估计值是____________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在平面直角坐标系中,曲线过点,其参数方程为（t为参数，），以为极点,轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为．求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；已知曲线和曲线交于两点，且，求实数的值．18．（12分）已知分别为椭圆的左右焦点，上顶点为，且的周长为，且长轴长为4.（1）求椭圆的方程；（2）已知，若直线与椭圆交于两点，求.19．（12分）已知是定义域为的奇函数，且当时，，设“”.（1）若为真，求实数的取值范围；（2）设集合与集合的交集为，若为假，为真，求实数的取值范围.20．（12分）已知的展开式中前三项的系数成等差数列.(1)求展开式的二项式系数的和；(2)求展开式中含的项.21．（12分）已知椭圆C:x2a2+y2（1）求椭圆C的标准方程；（2）设M为椭圆C的右顶点，过点N(6,0)且斜率不为0的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，记直线PM，QM的斜率分别为k1，k2，求证:22．（10分）已知集合，，若，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】分析：根据所给的观测值，对照临界值表中的数据，即可得出正确的结论．详解：∵观测值，

而在观测值表中对应于3.841的是0.05，

∴在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为变量有关系．

故选：A．点睛：本题考查了独立性检验的应用问题，是基础题．2、C【解题分析】

先确定是唯一整数解,再通过图像计算得到范围.【题目详解】是函数单调递减；函数单调递增.存在唯一的整数，使取，，满足，则0是唯一整数.恒过定点如图所示：

即综上所诉：故答案选C【题目点拨】本题考查了函数的图像，函数的单调性，首先确定0是唯一解是解题的关键.3、A【解题分析】

设事件A为：至少有1个景点未被选择，事件B为：恰有2个景点未被选择,计算P(AB)和P(A),再利用条件概率公式得到答案.【题目详解】设事件A为：至少有1个景点未被选择，事件B为：恰有2个景点未被选择P(AB)=P(B故答案选A【题目点拨】本题考查了条件概率，意在考查学生对于条件概率的理解和计算.4、D【解题分析】

把给出的等式通过复数的乘除运算化简后,直接利用共轭复数的定义即可得解.【题目详解】,,.故选:D.【题目点拨】本题考查了复数的代数形式的乘除运算,考查共扼复数,是基础题.5、B【解题分析】第组有个数，第组有个数，所以前组的数字个数是，那么前组的数字和是，所以前组的数字个数是，那么前组的数字和是，那么第组的数字和是，故选B.6、D【解题分析】

作出不等式组表示的平面区域，作出目标函数对应的直线，结合图像求得结果【题目详解】解：画出实数满足约束条件表示的可行域，由得，则表示直线在轴上的截距，截距越大，越大，作出目标函数对应的直线由图可知将直线向上平移，经过点时，直线的截距最大，由，得点的坐标为所以的最大值为故选：D【题目点拨】此题考查画不等式组表示的平面区域，考查数形结合求函数的最值.7、B【解题分析】

先由二项展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相同，求出；再由求出，由二项展开式的通项公式，即可求出结果.【题目详解】因为展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相同，所以，因此，又，所以，令，则，又，所以，因此，所以展开式的通项公式为，由得，因此展开式中常数项为.故选B【题目点拨】本题主要考查求指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于常考题型.8、B【解题分析】

分别求出时左端的表达式，和时左端的表达式，比较可得“从到”左端需增乘的代数式.【题目详解】由题意知，当时，有，当时，等式的左边为，所以左边要增乘的代数式为.故选：.【题目点拨】本题主要考查的是归纳推理，需要结合数学归纳法进行求解，熟知数学归纳法的步骤，最关键的是从到，考查学生仔细观察的能力，是中档题.9、B【解题分析】

先根据题意得出随机变量ξ~B3,25【题目详解】由题意知，ξ~B3,15故选：B。【题目点拨】本题考查二项分布概率的计算，关键是要弄清楚随机变量所服从的分布，同时也要理解独立重复试验概率的计算公式，着重考查了推理与运算能力，属于中等题。10、C【解题分析】,函数f(x)的图像在点（4，f（4））处的切线的倾斜角为锐角。11、D【解题分析】

由二项式定义得到二项展开式的二项式系数和为，由此得到，然后求通项，化简得到常数项，即可得到答案.【题目详解】由已知得到，所以，所以展开式的通项为，令，得到，所以展开式的常数项为，故选D.【题目点拨】本题主要考查了二项展开式的二项式系数以及特征项的求法，其中熟记二项展开式的系数问题和二项展开式的通项是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.12、B【解题分析】

将点3,1的坐标代入切线方程得出k的值，得出f'3=ky=gx求导得g'x【题目详解】将点3,1代入直线y=kx+2的方程得3k+2=1，得k=-13，所以，由于点3,1在函数y=fx的图象上，则f对函数gx=xfx∴g'3【题目点拨】本题考查导数的几何意义，在处理直线与函数图象相切的问题时，抓住以下两点：（1）函数在切点处的导数值等于切线的斜率；（2）切点是切线与函数图象的公共点。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

根据可得出的平方根.【题目详解】，因此，的平方根为.故答案为.【题目点拨】本题考查负数的平方根的求解，要熟悉的应用，考查计算能力，属于基础题.14、【解题分析】

直接去掉绝对值即可得解.【题目详解】由去绝对值可得即，故不等式的解集是.【题目点拨】本题考查了绝对值不等式的解法，属于基础题.15、【解题分析】

由题意利用逐次求导的方法计算的值即可.【题目详解】当时，，令可得：，第一次求导可得：，令可得：，第二次求导可得：，令可得：，第三次求导可得：，令可得：，第四次求导可得：，令可得：，第五次求导可得：，令可得：，中，令可得：，则.故答案为：．【题目点拨】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.16、【解题分析】

先求出样本平均数，由此能求出样本方差，由此能求出总体方差的估计值．【题目详解】解：从总体中抽取一个样本是5，6，7，8，9，样本平均数为，样本方差为，总体方差的估计值是1．故答案为：1．【题目点拨】本题考查总体方差的估计值的求法，考查平均数、总体方差等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）,；（2）或.【解题分析】

(1)直接消参得到曲线C1的普通方程，利用极坐标和直角坐标互化的公式求曲线C2的直角坐标方程；（2）把曲线C1的标准参数方程代入曲线C2的直角坐标方程利用直线参数方程t的几何意义解答.【题目详解】C1的参数方程为消参得普通方程为x－y－a＋1＝0，C2的极坐标方程为ρcos2θ＋4cosθ－ρ＝0，两边同乘ρ得ρ2cos2θ＋4ρcosθ－ρ2＝0，得y2＝4x．所以曲线C2的直角坐标方程为y2＝4x．(2)曲线C1的参数方程可转化为(t为参数，a∈R)，代入曲线C2：y2＝4x，得＋1－4a＝0，由Δ＝，得a>0，设A，B对应的参数分别为t1，t2，由|PA|＝2|PB|得|t1|＝2|t2|，即t1＝2t2或t1＝－2t2，当t1＝2t2时，解得a＝；当t1＝－2t2时，解得a＝，综上，或．【题目点拨】本题主要考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查直线参数方程t的几何意义解题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18、（1）（2）【解题分析】

（1）根据已知求出a,b，即得椭圆的标准方程；（2）由，得，得到韦达定理，再把韦达定理代入数量积化简即得解.【题目详解】解：（1）由题可知，，，得又，解得故椭圆的方程为，（2）由，得，设，则，，∵，，∴将，代入，得.【题目点拨】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系和平面向量的数量积，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.19、（1）；（2）.【解题分析】试题分析：（1）由已知可得，函数为上的奇函数、且为增函数，由命题为真，则，所以，从而解得；（2）由集合，若为真，则，因为“为假，为真”等价于“、一真一假”，因此若真假，则；若假真，则.从而可得，实数的取值范围是.试题解析：∵函数是奇函数，∴，∵当时，，∴函数为上的增函数，∵，，∴，∴，若为真，则，解得（2），若为真，则，∵为假，为真，∴、一真一假，若真假，则；若假真，则综上，实数的取值范围是考点：1.函数性质的应用；2.命题的真假判断及其逻辑运算.20、（1）；（2）【解题分析】

列出二项展开式的通项公式，利用前三项系数成等差可求得；（1）根据展开式二项式系数和的性质可得结果；（2）根据展开式通项公式可知，当时为所求项，代入通项公式求得结果.【题目详解】二项展开式的通项公式为：展开式前三项的系数依次为，，，整理可得：解得：（舍）或二项展开式的通项公式为：（1）二项展开式的二项式系数的和为：（2）令，解得：展开式中含的项为【题目点拨】本题考查组合数的运算、二项展开式二项式系数和的性质、求指定项的问题，考查对于二项式定理的知识的掌握，属