新高考热点重点难点透析-四 立体几何

立体几何

微专题06空间几何体

空间几何体的结构特征是高考重点考查的内容.近几年主要考查空间几何体的表面积与体积，

常以选择题与填空题为主，也涉及空间几何体的结构特征等内容，要求考生要有较强的空间想象能

力和计算能力，难度为中低档.

........................核心要点整合.........................

一、多面体的表面积、侧面积

因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面

积与底面积之和.

二、圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱圆锥圆台

霸口二筋好

侧面积「、，「「，、，

5圆柱侧=2TT/75圆推恻5圆台州5（八+攵）/

公式

三、柱体、锥体、台体、球的表面积和体积

名称

表面积体积

几何体

柱体（棱柱和圆

V=Sh

柱）

（续表）

名称

表面积体积

几何体

锥体（棱锥和圆

s表=S侧+S底V^Sh

锥）

台体（棱台和圆S表=S侧/5上+S

台）下

4

球S=4TT/?2I/--TIA6

四、公式之间的联系

(1)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的联系：

上底面半径逐渐增大上底面半径逐渐减小

<A

S圆柱=2n/7/=rS圆台/=05圆锥二

(2)柱体、锥体、台体的体积公式之间的联系：

」底面逐渐增大上底面逐渐减少》

/柱体=S/Js=s'1/台体W(S'*AV^+5)力s'=。1/锥体二匏力.

"""""""""""重点•逐个突破"""""""

对应学生分册第19页

©重点1求空间几何体的侧面积、表面积

(1)

(2021年甘肃省高三模拟)木升子是一种民间称量或盛装粮食的工具(如图所示)，呈正棱台形,

一般由四块梯形木和一块正方形木组成,其上口是一个正方形，下口是一个封口较小的正方形.现

有一木升子(厚度忽略不计),其上口周长为52cm,下口周长为40cm,侧面等腰梯形的腰长为8

cm,则该木升子的侧面积约为().(结果精确到0.1cm2参考数据:标*15.72)

A.90.4cm2B.180.8cm2

C.361.6cm2D.368.0cm2

(2)(2021年新高考全国/卷)已知圆锥的底面半径为或，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥

的母线长为().

A.2B.2V2C.4D.4V2

•(DC(2)B

►(1)由题意知,该木升子上口边长为13cm,下口边长为10cm,故侧面等腰梯形的高

,L.(13-10)2V247,、

6=164-'-彳，=h(cm),

..该木升子的侧面积S=4x(i3+i；T*361.6(cm2).

(2)设圆锥的母线长为/因为圆锥的底面半径为遮，其侧面展开图为一个半圆，所以TT/=2V2TT,

解得/=2近.

变式1例1(2)改为"已知圆锥的表面积等于12ncm2,其侧面展开图是一个半圆,则底面

圆的半径为

►2cm

►设底面圆的半径为/；则S圆锥表=Tr/+n〃=n"+TT/:2r=3TT/2=：L2TT,./=4,J/=2cm.

变式2例1⑵改为"已知f圆柱的底面半径为6,其体积为30叫则该圆柱的表面积

为/'

►82n

►设圆柱的高为〃底面圆的半径为r,：,!/圆柱=n-62-/7=30n,.•力=Q.S圆柱侧

O

=2TTM=2TI*6xf=10n,

6

故该圆柱的表面积S=S国柱网+25圆柱表=10TT+2X36TT=82TL

空间几何体侧面积、表面积的求法

(1)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.

(2)多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积注意衔接部分的处理.

||

(多选题)已知四棱台ABCD-AIB^DY的上、下底面均为正方形，其中

AB=242,A1B1=®AA、=BBI=CG=2厕下列结论正确的是().

A.该四棱台的高为百

B.44i_LCCi

C.该四棱台的表面积为26

D.该四棱台外接球的表面积为16TT

AAD

►由棱台的性质，画出切割前的四棱推，如图所示.

s

由48=2a,481=鱼,可知人外1员与4%6的相似比为1.2则夕1=244=4/0=2厕

SO=2^,OCX=遍,即该四棱台的高为百，故A正确；

因为S4=SCSU=4,所以44与CG的夹角为60°,故B错误；

该四棱台的表面积S=S上底+S下底"醐=2+8+4解箸哼=10+6夕，故C错误；

由于上、下底面都是正方形，则外接球的球心在oa上,在平面&80a中，由于

。。!=旧,8101=1厕。&=2=。氏即点。到点8与点用的距离相等，则，=2,所以该四棱台外接

球的表面积为16n,故D正确.

（2021年山西太原市三模）现有一个橡皮泥制作的圆柱，其底面半径、高均为2,将它重新制作

成一个体积与高不变的圆锥，则该圆锥的侧面积为（）.

A.6V3TTB.8V3TTC.8TTD.4V2n

答案》B

►根据题意，圆柱的体积—x22X2=8TI,

设圆锥的底面半径为。贝!J卜圆锥Wxnx/2x2=8n,解得r=2^,

所以圆锥的母线长/=V^F=4,所以该圆锥的侧面积Swr〃5x2Hx4=8Kn,故选B.

©重点2求空间几何体的体积

考向1直接利用公式求体积

（2021年新高考全国〃卷）正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4,侧棱长为2,

则四棱台的体积为（）.

A.竿B.56V2C.28V2D.学

►D

C

A

►如图,设上、下底面的中心分别为QQ过点所作员ML08于点例则

Q81=短08=2解8例=&,所以该棱台的高"=81M=g=夜,所以该四棱台的体积为*5上

跖）孚2⑷+标用萼故选D.

变式1本例中的条件不变，则该四棱台的表面积为

►20・12―

►侧面梯形的高为侧面梯形的面积为3g,故表面积为

375x4+22+42=20+1271

|变式21本例中，四棱台四条侧棱延长后交于一点？则几何体。乂8。的体积为

答案》写

►因为笔］，所以几何体P-ABCD的高为2班,所以所求体积匕：x2V2xl6岑.

/1D4JJ

方法归纳I

公式法求空间几何体的体积:对于规则几何体的体积问题，可以直接利用公式进行求解.

考向2割补法求体积

（2021年江苏省高三模拟）某校开展社会实践活动，学生到工厂制作一批景观灯箱

（如图，在直四棱柱上加工，所有顶点都在棱上），灯箱最上面是正方形,与之相邻的四个面都是全等

的正三角形，灯箱底部是边长为a的正方形,灯箱的高度为10a,则该灯箱的体积为（）.

A.10HB.HC.等于D.等H

61224

.*■c

►因为灯箱底部是边长为a的正方形,灯箱的高度为10a,所以长方体的体积

*=5/7=10品

因为灯箱最上面是正方形,与之相邻的四个面都是全等的正三角形，

所以四个缺口相当于切掉了四个以白为侧棱长,且侧棱两两互相垂直的正三棱锥，

所以四个缺口的体积16=4月*〃月^军中・

JOL1Z

从而该灯箱的体积为片-14卷印.故选C.

割补法求空间几何体的体积:把不规则的图形分割成规则的图形,然后进行体积计算;或者把

不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算其体积.

考向3等体积法求体积

(1)

(2021年四川省高三模拟)如图，已知四棱锥。乂8。中,四边形力8。为正方形，平面

48。，平面APB,G为%上一点，且8GL平面力％/8=2,则三棱锥RZ8C体积的最大值为

().

AiB.空C?D.2

(2)(2021年广东省高三模拟)在五面体£片/8。中,正方形。乐所在平面与平面ABCD

垂直,四边形力自力为等腰梯形/例1。=。0=&7多8.若三棱锥46%的体积为竽，则线

段48的长为.

>(1)A(2)4

►Q)由题意知，平面平面力也则API.BC.

又由灰打平面/"C得API.8G.因为B6BG=B,

所以Z江平面08c所以BP'AP,

所以VP-ABC=VC-APB=^x^PA-PB-BC=^PAPB.

令%=6/8=〃则疗+加=4,所以口^="加〃4产竽=|,当且仅当"="=近时取等号,

所以三棱锥2/66■体积的最大值为|.

⑵取力6的中点。连接CO.

因为AD=DC=BC=^AB,AB\\CD,

所以四边形力。。为菱形，所以。=。4=。自所以“08为直角三角形,

所以ZC18C

因为正方形。江下所在平面与平面垂直，所以F2L平面ABCD.

设8。=%贝FO=%/8=2x由勾股定理得力。二百%故VA-BCE^VE-

布=拉.田$布=»8%=年月所以以皿=岩/*毒2等，解得x=2.所以AB=A.

3ZZ3263

等体积法求空间几何体的体积:一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的.当一个几何体

的底面面积和高较难求解时，我们可以采用等体积法进行求解.等体积法也称等积转化或等积变

形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决有关锥体的体积，特别是三

棱推的体积.

（2021年江苏省高三模拟）一款多功能粉碎机的实物图如图所示，它的进物仓为正四棱台，已知

该四棱台的上底面边长为48cm,下底面边长为8cm,侧棱长为25V2cm,则该款粉碎机进物仓

的体积为（）.

A.11840V2cm3B.13760V2cm3

C.35520V2cm3D.41280V2cm3

►B

►画出满足题意的正四棱台Z8CO-481GA如图所示，

上底面481Gpi的边长为48cm,下底面Z8。的边长为8cm,侧棱0a=25鱼cm,

则反。if/482+482=48立cm,BD=\!Q2+82=8V2cm,

所以上底面的面积£=482cm，下底面的面积5=82cm2

过点8作BF±812于点。过点。作DEL于点E,

根据正四棱台的结构特征可知BF与都是该正棱台的高，且

22

EF=BD,B\F=EDi^^^=2距cm,SlitDE^DxD-DrE=lSy[2cm,

所以正四棱台/SOMi&GOi的体积l/=«S+5+历分。£=13760企cm3,

故该款粉碎机进物仓的体积为13760V2cm3.

（2021年湖北省高三模拟）已知三棱推有一个面是边长为2的正三角形,两个面为等腰直角三

角形，该三棱推的体积可能为.（只需要写出一个即可，不必全部写出）

V2/_ix2V3_*x2V2\

»可（或亍或T）

►如图所示,

靖力弘平面是边长为2的正三角形/8=2,则“82”比■都是等腰直角三

角形,满足题目条件，故其体积/4x2x|x2x2xsin6。°=竽.

诞Z6_L平面是边长为2的正三角形/8=短则"8。”纪都是等腰直角

三角形，满足题目条件，故其体积1/4吊x&*正考.

端是边长为2的正三角形,4/80力。都是等腰直角三角

形/8=纪=。=力。=2,40=2筒满足题目条件取ZU的中点£；则BE^AC.DE^AC^

BB+DR=8£乃所以5£±"即BE1.平面Z。故其体积1/=|*72,x2*2=苧.

........................过关•题组训练..............

对应专题训练卷第11页

基础过关

底面半径为1的圆锥的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为（）.

A.V3TTB.粤C.n

：»B

►设圆锥的母线长为/底面半径为。因为圆锥底面圆的周长等于侧面展开图扇形的

弧长，所以n/=2TT「=2TT,解得/=2,可求得圆锥的高力=8,所以该圆锥的体积

»="x12）xVs=乎.

故选B.

如图所示的等腰梯形是一个几何图形的斜二测直观图，其底角为45°,上底和腰均为1,下底为

夜+1,则此直观图对应的平面图形的面积为（）.

A.1+V2B.2+V2C.2+2eD.4+2四

►B

►:平面图形的直观图是一个底角为45°,腰和上底长均为1的等腰梯形,.:平面图形

为直角梯形,且直角腰长为2,上底边长为L下底边长为平面图形的面积

H要x2=2+"制选B.

如图所示，正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为（）.

A.4B.^C.|D.3

AB

»易知该几何体是由上、下两个全等的正四棱锥组成的，其中正四棱锥底面边长为

四,棱锥的高为1,

所以该多面体的体积々唱X（近产'1]=1

已知正四棱锥的底面边长为其外接球的表面积为36TT,则该正四棱推的体积为

().

A四BW

A3B-3

C.华D.%吟

►D

.正四棱锥户乂自。的外接球的表面积为36TT〃•.其外接球的半径/?=J誓=3.:底

面正方形的边长为画〃:底面正方形28。的外接圆的半径rf/l设正四棱锥。乂8。的高为

方厕32=（2-3）2+5解得h=s或2=1,.•.正四棱锥2/8。的体积l/=ixVToxVwx5=^aJi

l/=g*屈x屈xl号.故选D.

现有f圆柱和一个长方体，它们的底面积相等，高也相等，若长方体的底面周长为4,圆柱的体

积为8TI,则长方体的高h的取值范围是（）.

A.[2n,+吟B.[4n,+吟

C.[8n,+吟D.[16n,+双

»C

»设长方体的底面长为4宽为6,圆柱的底面半径为。则由题意知

a6E",a，6=2,n""=8iT,所以力吟聋当且仅当a=b=l时等号成立.故/?的取

MQb（a+b）”

值范围为[8TT,+8）.故选C.

综合提升

6.

（多选题）如图所示，在棱长为1的正方体ABCD-Ai^C^中，例为4所的中点点户在侧面

8UG员所在平面上运动，则下列说法正确的是（）.

A.当P为UG的中点时/218例

B.当点夕在棱UG上运动时,/8々+/外遇勺最小值为百

C.若点户使得4082的面积为定值，则动点P的轨迹是圆

D.若点。到直线6U与直线G2的距离相等,则动点。的轨迹为抛物线

>AD

►选项A,如图②，过点尸作BBY的垂线，垂足为“连接力“易得PNLBM.ANl.BM,

又AM}PN=N，所以8/V近平面/也所以月故A正确；

选项B,将平面44GC与平面灰工所沿CG展开,如图渤

示，UBPl+lPAgn=d\AB\2+IAAi『=J（a+1）2+12=〃+2/，故B错误；

选项C,因为三角形082的面积为定值，以班为底，则底边长一定，从而可得点。到直线

82的距离为定值，分析可得，点户在以82为轴线的圆柱面与平面8CG房的交线上,且平面

8GG所与圆柱的轴线斜交，由平面与圆柱面的截面的性质判断,可得点P的轨迹为椭圆，故C错

误；

选项D,点。到直线G。的距离即点户到点G的距离，则点P到直线8U的距离等于它到

点G的距离，所以点尸的轨迹是抛物线，故D正确.故选AD.

已知底面边长为28的正三棱锥。乂6C的体积为百，且点4aU在球。上,则球的体积是

().

B.8TTC.20TlD.4V3n

A

►由题意知,正三棱锥的顶点正好是球心，底面三角形的外接圆为一个小圆.因为正

△Z6C的边长为2B,所以小圆半径r=2.因为，所以三棱锥的高、=1.设球。的半径为

/?,则月卡不京=其所以忆球=纸用=$1*（的尸=竽，故选A.

（多选题）在直三棱柱ABC-A^Cx中，各棱长均为2,“分别为线段28,481的中点，则（）.

A.平面力GG平面所上

3.CEWAF

C.直线〃与6所成角的余弦值为邛

D.该棱柱外接球的表面积为28TT

►AC

选项A,在直三棱柱2纪-48£中，各棱长均为2,“分别为线段48481的中点，所以

8/I3F且当尸二力£所以四边形是平行四边形，所以AFW反£因为APi平面氏CEBEu

平面81"所以4G平面81©因为CxC\\81811£尸且GC=&8=f£所以四边形G%C是平行

四边形，所以GG因为G8平面8c£6"上平面氏"所以GG平面瓦匕因为

力用GF=£所以平面4G&平面BKE椒A正确;选项B,因为是等边三角形,£是线段AB

的中点可得0心力氏由三棱柱为直三棱柱，可得力4,平面48C因为血平面力比；所以

力4,©因为24028=4所以平面28814,因为力丘平面力88/1,所以故B

错误;选项C,因为AFW无£所以N6F为异面直线力尸与CBi所成的

禽EBiZB+22=aW=2cos30"+Y=2■，由余弦定理可得

c。SNC81£=盘枭=蒜=孚,故C正确;选项D,设上、下底面的中心分别为Q,。,则三棱柱

2XV5X2V24V104

的外接球的球心。为的中点.设A/I8C外接圆的半径为。三棱柱的外接球的半径为尺则

/•=|在=竽，所以郎="0[°2丫=（竽?+1毛,所以三棱柱外接球的表面积为

4n#=4n*=等，故D建吴.故选AC.

菱形28。中/8=2WZ6U=60°,若将菱形48。沿对角线ZU折成大小为60°的二面角

8-/IL。则四面体A48U的外接球球。的体积为

答入噂

►如图，设例"分别为"8Gze。的外心上为ZC的中点，则EN=EM=^BE=1^-

面仇加内过点用作8F的垂线与过点/V作AF的垂线交于点

O..BE1.AC,DEX.AC,BET\DE=E,;.AC±平面BDE「OMu平面

BDE,.-.OM^AC,-.OM1.BE,BE[\AC=Er：OMX.Z8C同理可得平面力。则。为四

面体以80的外接球的球心.连接

OE,:EM=EN,OE=OE/OME=4ONE=90°,.»OM回ONE,；/OEM=3Q°,.A

cosJO3

UL平面平面BDE〃QELAC〃・QA70E2+AF等即球。的半径/?=苧.故球O

的体积1/=荻忏=星票.

创新情境

（多选题）《九章算术》是《算经十书》中最重要的一部,其中将有三条棱互相平行且有一个

面为梯形的五面体称为"羡除"，则（）.

A."羡除”有且仅有两个面为三角形

B."羡除"一定不是台体

C.不存在有两个面为的亍四边形的"羡除”

D."羡除”至多有两个面为梯形

答*ABC

E

A

B\'.X

3D

c

由题意知四边形为梯形，如图所示.选项A,由题意知"羡除”有且仅有

两个面为三角形，故A正确;选项B,因为为fII所以"羡除"一定不是台体，故B正确;选项

C,假设四边形48任和四边形8。尸为平行四边形，则AEWBFW。且4£=8/三的即四边形

力。£为平行四边形，与已知的四边形力。F为梯形矛盾，故不存在，故C正确;选项D,若

力后9■H。则"羡除”有三个面为梯形，故D错误.故选ABC.

实际应用

攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、

八角攒尖.如图所示的是重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的

侧面积是底面积的2倍,则此正四棱锥的底面边长与内切球半径的比值为.

»2V3

►

依题意，画出该正四棱锥，如图所示,。为底面中心，。为内切球的球心,。4平面PCD,且E为

。的中点，设内切球的半径为r,CD=2a,

■正四棱锥的侧面积是底面积的2倍,.RSyoMZS正方形90

即4、标£8=2/℃。故PE=2a,^\"。川5己又浇嗤,.弓焉;即/•考，故乃=2百，

即正四棱锥的底面边长与内切球半径的比值为2a.

微专题07空间位置关系的判断与证明

近几年，高考试题的热点集中在以空间几何体为载体，考查与点、线、面位置关系有关的命题

的真假判断和求解异面直线所成的角，有时会涉及函数、不等式等知识，主要以选择题和填空题的

形式出现;涉及空间平行、垂直的证明的问题,常与几何体的表面积、体积相渗透，主要以解答题

的形式出现.要求考生有较强的直观想象能力和逻辑推理能力，并能广泛应用转化与化归思想.

........................核心要点整合.........................

-直线与直线的位置关系

1线线平行的判定

(1)平行公理:空间中平行于同一直线的两条直线平行.

(2)线面平行的性质:如果一条直线与平面平行，那么过这条直线的平面与已知平面的交线和

该直线平行.

(3)面面平行的性质:如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.

2.线线垂直的判定

Q)两条平行直线，若其中一条与某直线垂直，则另一条直线也与这条直线垂直.

(2)线面垂直的性质:若一条直线与平面垂直，则该直线与平面上的所有直线均垂直.

二、直线与平面的位置关系

L线面平行的判定定理

(1)若平面a外的一条直线/与平面a内的一条直线平行，则/Ha

(2)若两个平面平行，则一个平面内的任一直线与另一平面平行.

2.线面垂直的判定

Q)若直线/与平面a内的两条相交直线垂直，则/±a

(2)两条平行线中，若其中一条与平面垂直，则另一条直线也与该平面垂直.

(3)若两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一平面垂直.

三、平面与平面的位置关系

1.平面与平面平行的判定

Q)若一个平面内的两条相交直线均与另一个平面平行，则两个平面平行.

(2)平行于同一个平面的两个平面平行.

2.平面与平面垂直的判定

若一条直线与一个平面垂直，则过这条直线的所有平面均与这个平面垂直.

四、利用空间向量判断线面位置关系

1.刻画直线、平面位置的向量

直线:方向向量.

平面:法向量.

2.向量关系与线面关系的转化

设直线己6的方向向量分别为a,6,平面a3的法向量分别为刃/7(其中26在劣夕外).

(l)aiiZ>;(2)<3±Zx=>a±Z);(3)a±a<=>aiia^=>a±m;(5)aii(3<^m\\〃⑹aJ•2

amLn.

3.有关向量关系的结论

(1)若allb,b\\qMawc.

⑵若a^b.bwc,则aS-c.

⑶若a_Lb,b，c则a,c的位置关系不确定.

........................重点逐个突破................

对应学生分册第21页

©重点1空间线、面位置关系的判定

考向1空间线、面位置关系的判定

(1)(2021年新高考全国/卷)(多选题)在正三棱柱ABC-AxBrC^,AB=AAx=l,

点"满足BP=ABC+闹，其中Rd[0,1],则().

A.当A=1时，△力&P的周长为定值

B.当/J=l时,三棱锥P-48c的体积为定值

C.当力三时，有且仅有一个点月使得421BP

D.当〃毛时，有且仅有一个点4使得48,平面AB\P

(2)(2021年福建省高三三模)如图，在直四棱柱ABCD-A^C^Di

中,8cLCD.ABWCD,BC=^,AA!=AB=AD=2,^P,Q,R分别在棱B氏CQ,。。上，若4?Q/?四

点共面，则下列结论错误的是().

A.对任意点门都有AP\\QR

B.对任意点Q四边形4PQZ?都不可能为平行四边形

C.存在点月使得为等腰直角三角形

D.存在点月使得8G平面APQR

►(1)BD(2)C

►(1)

因为4=1,所以前=小+丽，则而=而瓦，故。是棱8上一点.将平面8UG%与平面

4CG4沿着CG展开在一个平面内，则“反"的周长为AP+B1P+0,因为81P会随着P

的位置而变化，所以△481P的周长不是定值,A不正确.

因为〃=L所以同理可知/是棱81G上一点.因为仇G"BCBCg平面4垢64=平面

48c所以反GII平面46c所以点。到平面46U的距离是定值.又A48U的面积也是定值所

以三棱锥户-48。的体积为定值,B正确.

如图所示以的中点。为坐标原点，射线。氐"分别为x轴/轴的正半轴建立空间直角

坐标系，设胡）必抽则5g,0,0）,C（0,y,0）,5i（|,0,l）,A（4Al）,BC=苧,01两=(0,0,1).

%0=.

因为力=/所以而弓前+〃西=（-；用小）=（/-、0,2（））解得.V一包所以

y。-4，

2。=%

不=住,亨,林-1）,令市,前=喘喘卯-〃=0,解得〃力或〃=LC不正确.

-1-A

工。=~f

因为〃=g,所以BP=48C=（-g,苧4）《々，-2心/。）,解得，%=苧所以

/O=g

V3A2-A

1X1+0*0+1x（-l）H）,所以有且仅有一个点月使得48,平面A^P.D正确.

（2）对于A,因为直四棱柱ABCD-A^C^ABWCD,

所以平面48814II平面AUG2,又因为平面ZPQATI平面ABBiAi=48平面力不如平面

DCC0二Q尺所以APWQ尺故A正确；

对于B,若四边形/PQ/?为平行四边形，则ARWQP.

而力。与6C不平行，即平面力。24与平面8UG81不平行,

且平面ZPQ?D平面6UG8i=PQ平面ZQQ/TI平面ADDiAx=AR,

所以直线OQ与直线，/?不平行，与/AllQP矛盾，

所以四边形4PQZ?不可能是平行四边形，故B正确；

对于G假设存在点?使得△/!依为等腰直角三角形，令BP=x,

过点。作OELAB于点£则。£=8。动,在线段。/?上取一点例使得DM=BP=x港接

8。0例贝1］四边形8。例,为矩形，所以MP=BD=2,

则

PR=7PM2+MR2=J4+（DR-X）2,AP=7PB2+AB?^y/4+x2,AR^y/DR2+AD2Z4+。炉,显然

AR*PR,AP^PR,

若/"=力尺则DR=BP=xmBPW。尺则四边形8伙。为平行四边形，

所以RP=DB=2MAPZa+2R无解，故C错误；

对于D,当80=UQ且点R与点。重合时，满足8。［平面APQR椒D正确.

搬C.

Q）异面直线的判定可采用直接法或反证法;（2）对于线面、面面平行与垂直的位置关系的判

定，可构造长方体或正方体，化抽象为直观再去判断，可避免因考虑不全面而导致错误，构造法实质

上是结合题意构造符合题意的直观模型，然后利用模型直观地做出判断.

考向2求两条异面直线所成的角

【例2】

（2021年山东省高三三模）如图,43为圆锥底面的直径，点。是底面圆。上异于48的动点,

已知。4二通,圆锥侧面展开图是圆心角为HTT的扇形，当PB与比所成的角为々时与4U所

成的角为（）.

A5B*C.HD称

答涔C

s雕侧甘俑T/解得1=2或/=0（舍去）,“6与80所成的角为担PB=PC,.-.BC=2I

在Rt"8C中,ZC=2叵

作8。/。与圆。交于点。连接则四边形Z3。为平行四边形,8。=力C=2a,连接

P。则“8。为由与4U所成的角,

在△PBD中,"。=。8=2,可得PDX.PB,

"PBD=.

4

用平移法求异面直线所成的角的步骤

(1)一作:根据定义作平行线，作出异面直线所成的角.

(2)二证:证明作出的角是异面直线所成的角.

(3)三求:解三角形,求出所作的角.若求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角;若求出的角是

钝角,则它的补角才是要求的角.

(2021年新高考全国〃"卷)(多选题)如图，下列各正方体中,。为下底面的中点,M/V为顶点户为

所在棱的中点厕满足MN，。。的是().

不妨设正方体的棱长为2,建立如图所示的空间直角坐标系.

对选项A,M2,0,2),M022),QLL0),H0,2,l),

.•丽=(-2,2,0),丽=(-1,1,1),

•.WN-OP=4手0"；MN与。户不垂直,A错误;

对选项B,M0,0,2),M2,0,0),0(1,1,0),^2,0,1),

.-.Miv=(2,0,-2),0?=(1,-1,1),

：丽•而=G,..MN1.OP,3正确；

对选项C,M222),M0,2,0)Ol,l,0),H0,0,l),

.:丽=(-2,0,-2)而=(-1,-1,1),

:=Q,..MN1.OP,C正确；

对选项D,M022),M0,0,0),QLL0),H2,L2),

.-MN=(0,-2,-2),0?=(1,0,2),

"•丽・丽=4H0,.:用“与不垂直,D错误.

故选BC.

(2021年黑龙江省高三模拟)如图，在正方体ABCD-AM必中,例/V分别为4C48的中点,

则下列说法错误的是().

KMN2.CD

B.直线例/V与平面力自力所成的角为45°

C./VWII平面

D.异面直线MN与OS所成的角为60°

►D

►连接则/⑦

,•四边形48。为正方形，

•:例为班7的中点，

又N为48的中点,.•.用Ml4。

・4比平面ADDiA3MNl平面ADDiAy,

.:例Ml平面故C正确.

：COJ"平面力。24,4正平面ADDiAi,.-.CD±A\D,

又MN\\AXD,..CD1.例2故A正确.

•.力4,平面..例AZ与平面48C。所成的角即N4〃4

:N4%=45°,.•.例/V与平面/8Q?所成的角为45°,故B正确.

...MN\\AQ，MN与DDi所成的角即

又N5DAI=45°」MN与。。所成的角为45°,故D错误.

◎重点2空间中平行与垂直关系的证明

考向1线面平行与垂直

【例3】

(2021年全国甲卷)已知直三棱柱/8L4员G中,侧面44房8为正方形,48=80=2,£尸分

别为4CCG的中点,6£14瓦.

Q)求三棱锥尸-£86•的体积；

(2)已知。为棱4所上的点证明:84DE.

►(1)如图所示，连接力£

由题意可得,8/TBC2+CF2f/T7I=V^,由8£J_48I,/8II48L得BF^AB,

由于ABl.8氏,BFLAB,BBiCBF=B,所以28J•平面BCQBi,

而8G平面8UG所,所以ABJ.%力歌为等腰直角三角形,S皿毛£板x2x

2)=1,VF-EBC孝"BCECF=^x\xl=1

(2)由⑴的结论可将几何体补全为一个棱长为2的正方体力如例-48石帆如图所示，分别

取棱/例8U的中点〃G连接A'H.HGGBY,

在正方形比C8i中,G尸分别为棱的中点厕6d81G又8a4S,4&n8iG=8i,

故84平面481G〃而。氏平面4&G〃所以BFLDE.

变式1

A

(2021年新高考全国2卷)如图，在三棱锥48。中，平面/&ZL平面BCD,AB=ADQ为8。的

中占

Q)证明:

(2)若A。。?是边长为1的等边三角形，点F在棱4。上,。£二2£4,且二面角G8U-。的大小

为45°,求三棱锥46。的体积.

►Q)因为AB=ADQ为8。的中点，

所以

又平面28。，平面平面28m平面BCD=BD,且4上平面ABD,

所以ZOJL平面8C2

又。纪平面BCD,

所以。4_LQ2

(2)若A。。是边长为1的等边三角形，

贝[]OB=OC=OD,^BOC=1^°-60°=120°,

zOBC=a005=30°/8。-90°,

过点£作£7」8。垂足为£过点尸作FHWDC交8c于点H,

则易知日X。所以£7」平面8。即EEL8C且HF1BC,

因为EFT\HF=F,

所以8d平面呻则二面角68C-。的平面角为NFH尸=45°,且EF=HF.

又因为替2H器喘磊=|,所以DF^,BF=l，

由常嗡相〃尸=用=|，所以4。=1，

LUDU3

由勾股定理得BCZBD2-CD2=V3,

故三才睡46。的帽只V^-AOS.BCD^

55Zo

已知直三棱柱ABC-AyByCx中，侧面24Sb为正方形上为力右的中点，。为棱4所的中点，求

证:。日I平面BYBCCX.

►如图所示，取棱8c的中点G连接EG,GB\,

所以EGQDBx,

所以四边形EG&Z?为平行四边形，所以DEWG&,又DEZ平面瓦BCQ

所以0G平面ByBCCi.

证明直线与平面的平行与垂直问题，一定要熟练记忆直线与平面的平行与垂直的判定定理和

性质定理，切记不可缺少条件.证明直线与平面平行有两种方法:一是在面内找一条直线与该直线

平行;二是通过面面平行转化.证明直线与平面垂直的关键是在平面内找两条相交直线与该直线垂

直.

考向2面面平行与垂直

【例4】

（2021年黑龙江省高三一模）如图，在三棱柱ABC-AxBxCx

a

^,CA=CB,CD±AB,AB=AA1,^BAAx=^.

Q）求证:平面46C1平面AiCD.

（2）若平面28cL平面44&8/8=08=2,求三棱柱/6L481G的体积.

►(1)

■.CA=CB,CD^AB,

.Q为28的中点

如图，连接48由/8=/4/必4=60*得△4/8为等边三角形，

.•.4。，48又.平面AiCDlAiDT\CD=D,

.•./91_平面AiCD.

又：力8u平面•.平面为8cL平面AiCD.

(2)由(1)得

平面/8C1平面818平面/8CTI平面//i8i6=/氏/iZ>=平面/4氏氏.二4。，平面

ABC.

由A4Z8是边长为2的等边三角形相AiD当X2=6.

由C4=C8=/8=2,得A/8U是等边三角形，

贝［IS.：ABC=^x22-'j3.

于是匕BC-AIBIG=£/8。4〃=>/5*>后=3.

证明平面与平面的平行与垂直问题，一定要熟练记忆平面与平面的平行与垂直的判定定理和

性质定理，切记不可缺少条件.证明平面与平面平行关键是在一个平面内找两条相交直线分别平行

于另一个平面;证明平面与平面垂直可以从二面角入手，也可以从线面垂直进行转化.

(2021年安徽省高三一模)如图，在四棱锥P/8C。中，底面48。是平行四边形，侧面PBC是正

三角形小是的中点，且力£1平面PBC.

⑴求证/Dll平面Z上

(2)若力九4月PC=2,求点P到底面力&75的距离.

►⑴如图，连接BD交ZC于点。连接OE,,.底面28。是平行四边形,.。为8。的

中点又E为的中点〃.OM也且OE^PD.

：。正平面ACE.PDZ平面ACE,.-.PD\\平面ACE.

⑵X8J_%PC=2恻面"比■为正三角形上是的中点,

.:"8=2厕AB=^2,AE=l,5i/£L平面P8CC上平面PBC,.'.AE1.CE.

..AC^JAE2+EC2=2,

.：A/8U是底边为夜泊要为2的等腰三角形，

贝！JS./48UWXV2xjz?-（号）=a

设点P到底面/8C'的距离为d由VP-ABC=VA-PBC^^S^ABCCI^S^PBCAE,

・3一SMPMAE_2X2X6X1_2V2l

・"一~~~~

2

故点Q到底面46。的距离为第.

2.

(2021年安徽安庆市高三一模)在四棱锥。乂8。中，平面以。，平面ABCD.ABW。且

ABlAD,PA=CD=2AB=2,AD=PD=yTi,E为的中点.

⑴求证:以J_平面CDE.

(2)求点£到平面PO的距离.

解朴(1)

如图所示，取PA的中点£连接/年贝(I"IlZ氏因为力冽。，所以EFW。从而有EFCQ

四点共面，

又AD=DP^尸为力"的中点，所以PA±DF,

又平面外平面28。平面以6平面ABCD=AD,^_Z反L/。即。由面面垂

直的性质定理得。，平面PAD,

从而PA±。又81。尸=。所以以_L平面CDE.

(2)由Q)知EFW。故点F到平面尸。的距离即点尸到平面户。的距离.

过点尸作FH工PD,因为C2L平面2W,所以FH±CD题例_1平面PCD,

在中万=1,9域，则从而FH等当

故点£到平面夕。的距离为苧.

........................过关•题组训练..............

对应专题训练卷第13页

基础过关

在我国古代数学名著《九章算术》中，将由四个直角三角形组成的四面体称为"鳖月需”.已知在

三棱推P-Z6C中,以，平面ABC.

(1)从三棱锥中选择合适的