海南省海口市华侨中学2024届高二数学第二学期期末调研试题含解析

海南省海口市华侨中学2024届高二数学第二学期期末调研试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设随机变量，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（）（注：若，则，）A．7539 B．7028 C．6587 D．60382．已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（）A． B． C． D．3．由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”，如图所示，其中，．由右椭圆的焦点和左椭圆的焦点，确定叫做“果圆”的焦点三角形，若“果圆”的焦点为直角三角形．则右椭圆的离心率为（）A． B． C． D．4．己知函数f(x)=x,1<x≤4x|x|,-1≤x≤1，则A．14 B．143 C．75．若,则()A． B． C． D．6．“”是“圆：与圆：外切”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分条件也不必要条件7．已知集合，,则等于()A． B． C． D．8．设，则的值为（）A． B． C． D．9．已知e1，e2是单位向量，且e1⋅e2=0，向量a与eA．定值－1 B．定值1C．最大值1，最小值－1 D．最大值0，最小值－110．已知集合，则=（）A． B． C． D．11．命题：在三角形中，顶点与对边中点连线所得三线段交于一点，且分线段长度比为，类比可得在四面体中，顶点与所对面重心的连线所得四线段交于一点，且分线段比为（）A． B． C． D．12．已知实数，满足，则与的关系是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图，棱长为2的正方体中，是棱的中点，点P在侧面内，若垂直于，则的面积的最小值为__________.14．如图，设是棱长为的正方体的一个顶点，过从此顶点出发的三条棱的中点作截面，对正方体的所有顶点都如此操作，所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体，则关于此多面体有以下结论：①有个顶点；②有条棱；③有个面；④表面积为；⑤体积为．其中正确的结论是____________．（要求填上所有正确结论的序号）15．设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________．16．已知复数，则复数的实部和虚部之和为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）用数学归纳法证明.18．（12分）已知函数在区间上的最大值为3，最小值为-17，求的值19．（12分）已知，命题对任意，不等式成立；命题存在，使得成立．（1）若p为真命题，求m的取值范围；（2）若p且q为假，p或q为真，求m的取值范围；20．（12分）为了让观赏游玩更便捷舒适，常州恐龙园推出了代步工具租用服务.已知有脚踏自行车与电动自行车两种车型，采用分段计费的方式租用.型车每分钟收费元（不足分钟的部分按分钟计算），型车每分钟收费元（不足分钟的部分按分钟计算），现有甲乙丙丁四人，分别相互独立地到租车点租车骑行（各租一车一次），设甲乙丙丁不超过分钟还车的概率分别为，并且四个人每人租车都不会超过分钟，甲乙丙均租用型车，丁租用型车．（1）求甲乙丙丁四人所付的费用之和为25元的概率；（2）求甲乙丙三人所付的费用之和等于丁所付的费用的概率；（3）设甲乙丙丁四人所付费用之和为随机变量，求的概率分布和数学期望．21．（12分）人站成两排队列，前排人，后排人.（1）一共有多少种站法；（2）现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，求有多少种不同的加入方法.22．（10分）已知极点为直角坐标系的原点，极轴为轴正半轴且单位长度相同的极坐标系中曲线，（为参数）.（1）求曲线上的点到曲线距离的最小值；（2）若把上各点的横坐标都扩大为原来的2倍，纵坐标扩大为原来的倍，得到曲线，设，曲线与交于两点，求.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

由题意正方形的面积为，再根据正态分布曲线的性质，求得阴影部分的面积，利用面积比的几何概型求得落在阴影部分的概率，即可求解，得到答案．【题目详解】由题意知，正方形的边长为1，所以正方形的面积为又由随机变量服从正态分布，所以正态分布密度曲线关于对称，且，又由，即，所以阴影部分的面积为，由面积比的几何概型可得概率为，所以落入阴影部分的点的个数的估计值是，故选C．【题目点拨】本题主要考查了正态分布密度曲线的性质，以及面积比的几何概型的应用，其中解答中熟记正态分布密度曲线的性质，准确求得落在阴影部分的概率是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．2、D【解题分析】

分析：先求出A集合，然后由图中阴影可知在集合A中出去A,B的交集部分即可.详解：由题得：所以故有题中阴影部分可知：阴影部分表示的集合为故选D.点睛：考查集合的交集和补集，对定义的理解是解题关键，属于基础题.3、B【解题分析】

根据“果圆”关于轴对称，可得是以为底的等腰三角形，由是直角三角形，得出，.再建立关于，，之间的关系式，求出结果.【题目详解】解：连接，，根据“果圆”关于轴对称，可得是以为底的等腰三角形，是直角三角形，，.又和分别是椭圆和的半焦距，，即.，.即，.故选：B.【题目点拨】本题考查椭圆的标准方程与简单几何性质，属于中档题.4、B【解题分析】

根据分段函数的定义，结合x∈[-1,1]时f【题目详解】函数f(x)=故选：B．【题目点拨】本题主要考查了分段函数的定积分应用问题，其中解答中熟记微积分基本定理，准确计算是解得的关键，着重考查了推理与计算能力属于基础题．5、B【解题分析】

对求导,在导函数里取,解得,代入函数,再计算【题目详解】答案为B【题目点拨】本题考查了导数的计算,属于简单题.6、B【解题分析】

由圆：与圆：外切可得，圆心到圆心的距离是求出的值，然后判断两个命题之间的关系。【题目详解】由圆：与圆：外切可得，圆心到圆心的距离是即可得所以“”是“圆：与圆：外切”的充分不必要条件。【题目点拨】本题考查了两个圆的位置关系及两个命题之间的关系，考查计算能力，转化思想。属于中档题。7、C【解题分析】

分析：利用一元二次不等式的解法求出中不等式的解集确定出，然后利用交集的定义求解即可.详解：由中不等式变形得，解得，即，因为，，故选C.点睛：研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.本题需注意两集合一个是有限集，一个是无限集，按有限集逐一验证为妥.8、A【解题分析】

解析：当时，；当时，，故，应选答案A．9、A【解题分析】

由题意可设e1=(1,0),e【题目详解】由题意设e1=(1,0),e2=(0,1)所以a-所以(x-1)2又a-2所以数量积a⋅故选：A．【题目点拨】本题考查平面向量基本定理以及模长问题，用解析法，设出向量的坐标，用坐标运算会更加方便。10、D【解题分析】分析：直接利用交集的定义求解.详解：集合，，故选D.点睛：研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.本题需注意两集合一个是有限集，一个是无限集，按有限集逐一验证为妥.11、C【解题分析】

如图，在中，可证明，且与交于O，同理可证其余顶点与对面重心的连线交于O，即得解.【题目详解】如图在四面体中，设是的重心，连接并延长交CD于E，连接，则经过，在中，，且与交于O，同理，其余顶点与对面重心的连线交于O，也满足比例关系.故选：C【题目点拨】本题考查了三角形和四面体性质的类比推理，考查了学生逻辑推理，空间想象，数学运算的能力，属于中档题.12、C【解题分析】

设，，则，对进行平方展开化简得，代入得，两式相加即可.【题目详解】设，，则且，等式两边同时平方展开得：，即令等式中，化简后可得：两式相加可得故选：C【题目点拨】本题考查了代数式的计算化简求值，考查了换元法，属于中档题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

建立空间直角坐标系，由，求得，得到，进而求得三角形的面积的最小值，得到答案.【题目详解】以D点为空间直角坐标系的原点，以DC所在直线为y轴，以DA所在直线为x轴，以为z轴，建立空间直角坐标系.则点，所以.因为，所以,因为,所以，所以，因为B(2，2，0)，所以，所以因为，所以当时，.因为BC⊥BP,所以.故答案为：.【题目点拨】本题主要考查了空间向量的应用，其中解答建立适当的空间直角坐标系，利用向量的坐标表示，以及向量的数量积的运算，求得的最小值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.14、①②⑤【解题分析】解：如图，原来的六个面还在只不过是变成了一个小正方形，再添了八个顶点各对应的一个三角形的面，所以总计6+8=14个面，故③错；每个正方形4条边，每个三角形3条边，4×6+3×8=48，考虑到每条边对应两个面，所以实际只有×48=24条棱．②正确；所有的顶点都出现在原来正方体的棱的中点位置，原来的棱的数目是1，所以现在的顶点的数目是1．或者从图片上可以看出每个顶点对应4条棱，每条棱很明显对应两个顶点，所以顶点数是棱数的一半即1个．①正确；三角形和四边形的边长都是a，所以正方形总面积为6××a2=3a2，三角形总面积为8××a2sin60°=a2，表面积（3+）a2，故④错；体积为原正方形体积减去8个三棱锥体积，每个三棱锥体积为8×（）3=a2，剩余总体积为a3-a3=a3⑤正确．故答案为①②⑤．15、[－1，＋∞)【解题分析】

对于，不等式恒成立，等价于的图象在的图象上方，根据数形结合可求出实数的取值范围.【题目详解】不等式f(x)≥g(x)恒成立如图，作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图象，观察图象可知：当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞)．故答案为[－1，＋∞)．【题目点拨】本题主要考查利用函数图象解答不等式恒成立问题，属于中档题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③讨论最值或恒成立；④讨论参数.16、0【解题分析】

先化简求得再计算实部和虚部的和即可.【题目详解】,故实部和虚部之和为.故答案为：0【题目点拨】本题主要考查复数的基本运算与实部虚部的概念,属于基础题型.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、见解析.【解题分析】分析：直接利用数学归纳法的证明步骤证明不等式，（1）验证时不等式成立；（2）假设当时成立，利用放缩法证明时，不等式也成立．详解：证明：①当时，左边，不等式成立.②假设当时，不等式成立，即，则当时，，∵，∴，∴当时，不等式成立.由①②知对于任意正整数，不等式成立.点睛：本题是中档题，考查数学归纳法的证明步骤，注意不等式的证明方法，放缩法的应用，考查逻辑推理能力．18、k=﹣1，B=﹣17或k=1，B=3【解题分析】试题分析：由题设知k≠1且f'（x）=3kx（x-2），1＜x＜2时，x（x-2）＜1；x＜1或x＞2时，x（x-2）＞1；x=1和x=2时，f'（x）=1．由题设知-2≤x≤2，f（-2）=-21k+B，f（1）=B，f（2）=-4k+B．由此能够求出k、B的值试题解析：由题设知k≠1且f'（x）=3kx（x﹣2），1＜x＜2时，x（x﹣2）＜1；x＜1或x＞2时，x（x﹣2）＞1；x=1和x=2时，f'（x）=1．由题设知﹣2≤x≤2，f（﹣2）=﹣21k+B，f（1）=B，f（2）=﹣4k+B①k＜1时，﹣2＜x＜1时，f'（x）＜1；1＜x＜2时，f'（x）＞1，∴f（x）在[﹣2，1）上递减，在（1，2）上递增，x=1为最小值点；∵f（﹣2）＞f（2）∴f（x）的最大值是f（﹣2）即，解得k=-1，B=-17②k＞1时，，解得k=1，B=3综上，k=﹣1，B=﹣17或k=1，B=3考点：利用导数求闭区间上函数的最值19、（1）（2）【解题分析】

（1）对任意，不等式恒成立，．利用函数的单调性与不等式的解法即可得出．（2）存在，使得成立，可得，命题为真时，．由且为假，或为真，，中一个是真命题，一个是假命题，再分别求出参数的取值范围最后取并集即可．【题目详解】解（1）∵对任意，不等式恒成立，∴．即．解得．因此，若p为真命题时，m的取值范围是．（2）存在，使得成立，∴，命题q为真时，．∵p且q为假，p或q为真，∴p，q中一个是真命题，一个是假命题．当p真q假时，则解得;当p假q真时，，即．综上所述，m的取值范围为．【题目点拨】本题考查了函数的单调性、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20、（1）；（2）；（3）.【解题分析】

（1）“甲乙丙丁四人所付的费用之和为25元”，即4人均不超过30分钟。（2）即丁付20元，甲乙丙三人中有且只有一人付10，其余2人付5，分3种情况。用相互独立事件同时发生概率公式与互斥事件的和事件概率公式可求解。（3）根据分类可知随机变量的所有取值为25，30，35，40，45，50,求出概率及期望。【题目详解】（1）记“甲乙丙丁四人所付的费用之和为25元”为事件，即4人均不超过30分钟，则.答：求甲乙丙丁四人所付的费用之和为25元的概率是（2）由题意，甲乙丙丁在分钟以上且不超过分钟还车的概率分别为，设“甲乙丙三人所付费用之和等于丁所付费用”为事件，则答：甲乙丙三人所付的费用之和等于丁所付的费用的概率是．（3）①若“4人均不超过30分钟”此时随机变量的值为25，即为事件，由（1）所以.②记“4人中仅有一人超过30分钟”为事件，事件又分成两种情况“超过30分钟的这一人是甲乙丙中的一个”和“超过30分钟的这一人是丁”，分别将上述两种情况记为事件和.i.事件对应的的值为30，此时；ii.事件对应的的值为35，此时.③记“4人中仅有两人超过30分钟”为事件，事件又分成两种情况“超过30分钟的两人是甲乙丙中的两个”和“超过30分钟的两人是甲乙丙中的一个和丁”，分别将上述两种情况记为事件和.i.事件对应的的值为35，此时；i.事件对应的的值为40，此时④记“4人中仅有三人超过30分钟”为事件，事件又分成两种情况“超过30分钟的三人是甲乙丙”和“超过30分钟的三人是甲乙丙中的两个和丁”，分别将上述两种情况记为事件和.i.事件对应的的值为40，此时；i.事件对应的的值为45，此时.⑤记“4人均超过30分钟”为事件，则随机变量的值为50，此时；综上：随机变量的所有取值为25，30，35，40，45，50，且；；；；；；所以甲乙丙丁四人所付费用之和的分别为253035404550所以.答：甲乙丙丁四人所付费用之和的数学期望为.【题目点拨】本题综合考查相互独立事件同时发生概率公式与互斥事件的和事件概率公式，同时考查离散型随机变量的分布列及其期望，需要学生分类清晰，逻辑有条理，运算准确。21、（1）；（