2024届福建省安溪一中高二数学第二学期期末调研模拟试题含解析

2024届福建省安溪一中高二数学第二学期期末调研模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知随机变量X服从正态分布Na,4，且PX>1=0.5A．1B．3C．2D．42．在区间[0,2]上随机取两个数x，y，则xy∈[0,2]的概率是（）．A．1-ln22B．3-2ln3．已知函数的导函数为，且满足关系式，则的值等于（）A． B． C． D．4．函数在的图象大致为（）A． B．C． D．5．设集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|2﹣x＞0},则A∩B＝（）A．[﹣3，2） B．（2，3] C．[﹣1，2） D．（﹣1，2）6．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，=x+2y+3z，则x+y+z=（）A．1 B． C． D．7．集合，，则（）A． B． C． D．8．已知函数是定义在上的奇函数,当时，,则（）A．12 B．20 C．28 D．9．函数的单调递增区间是（）A． B． C． D．10．如图，长方形的四个顶点为，，，，曲线经过点.现将一质点随机投入长方形中，则质点落在图中阴影区域外的概率是（）A． B． C． D．11．将3本相同的小说，2本相同的诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本，则不同的分法有（）A．24种 B．28种 C．32种 D．36种12．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于()A．24 B．30 C．10 D．60二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．函数与函数在第一象限的图象所围成封闭图形的面积是_____．14．已知三次函数的图象如图所示，则函数的解析式是_______.15．命题“如果，那么且”的逆否命题是______．16．如果，且为第四象限角，那么的值是____.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆:的离心率，过椭圆的上顶点和右顶点的直线与原点的距离为，（1）求椭圆的方程；（2）是否存在直线经过椭圆左焦点与椭圆交于,两点，使得以线段为直径的圆恰好经过坐标原点？若存在,求出直线方程；若不存在,请说明理由.18．（12分）2016年10月16日，在印度果阿出席金砖国家领导人第八次会议时，发表了题为《坚定信心，共谋发展》的重要讲话，引起世界各国的关注，为了了解关注程度，某机构选取“70后”和“80后”两个年龄段作为调查对象，进行了问卷调查，共调查了120名“80后”，80名“70后”，其中调查的“80后”有40名不关注，其余的全部关注；调查的“70”后有10人不关注，其余的全部关注.（1）根据以上数据完成下列2×2列联表：关注不关注合计“80后”“70后”合计（2）根据2×2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“关注与年龄段有关”？请说明理由。参考公式：K2=（n=a+b+c+d）附表：P（K2≥k0）0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819．（12分）椭圆长轴右端点为，上顶点为，为椭圆中心，为椭圆的右焦点，且，离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）直线交椭圆于、两点，判断是否存在直线，使点恰为的垂心？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.20．（12分）已知函数，其中为实数.（1）求函数的单调区间；（2）若函数有两个极值点，求证：.21．（12分）已知函数.（1）若，证明：当时，；（2）若在有两个零点，求的取值范围.22．（10分）已知函数．（1）求的值；（2）求函数的单调区间．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】试题分析：正态分布曲线关于均值对称，故均值a=1,选A.考点：正态分布与正态曲线.2、C【解题分析】试题分析：由题意所有的基本事件满足0≤x≤20≤y≤2，所研究的事件满足0≤y≤2x，画出可行域如图，总的区域面积是一个边长为2的正方形，其面积为4，满足0≤y≤2x的区域的面积为考点：几何概型3、D【解题分析】

求得函数的导数，然后令，求得的值.【题目详解】依题意，令得，，故选D.【题目点拨】本小题在导数运算，考查运算求解能力，属于基础题.4、C【解题分析】，为偶函数，则B、D错误；又当时，，当时，得，则则极值点，故选C．点睛：复杂函数的图象选择问题，首先利用对称性排除错误选项，如本题中得到为偶函数，排除B、D选项，在A、C选项中，由图可知，虽然两个图象在第一象限都是先增后减，但两个图象的极值点位置不同，则我们采取求导来判断极值点的位置，进一步找出正确图象．5、C【解题分析】

求得集合A={x|-1≤x≤3},B={x|x<2}，根据集合的交集运算，即可求解．【题目详解】由题意，集合A={x|x所以A∩B={x|-1≤x<2}=[-1,2)．故选：C．【题目点拨】本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中正确求解集合A,B，再根据集合的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．6、B【解题分析】

先根据题意，易知，再分别求得的值，然后求得答案即可.【题目详解】在平行六面体中，所以解得所以故选B【题目点拨】本题主要考查了向量的线性运算，属于较为基础题.7、B【解题分析】由，得，故选B.8、A【解题分析】

先计算出的值，然后利用奇函数的性质得出可得出的值。【题目详解】当时，，则，由于函数是定义在上的奇函数，所以，，故选：A.【题目点拨】本题考查利用函数奇偶性求值，求函数值时要注意根据自变量的范围选择合适的解析式，合理利用奇偶性是解本题的关键，考查运算求解能力，属于基础题。9、C【解题分析】

先求得函数的定义域，然后利用导数求得函数的单调递增区间.【题目详解】依题意，函数的定义域为，，故当时，，所以函数的单调递增区间为，故选C.【题目点拨】本小题主要考查利用导数求函数的单调递增区间，考查导数的运算，属于基础题.10、A【解题分析】

计算长方形面积，利用定积分计算阴影部分面积，由面积测度的几何概型计算概率即可.【题目详解】由已知易得：，由面积测度的几何概型：质点落在图中阴影区域外的概率故选：A【题目点拨】本题考查了面积测度的几何概型，考查了学生转化划归，数学运算的能力，属于基础题.11、B【解题分析】试题分析：第一类：有一个人分到一本小说和一本诗集，这种情况下的分法有：先将一本小说和一本诗集分到一个人手上，有种分法，将剩余的本小说，本诗集分给剰余个同学，有种分法，那共有种；第二类：有一个人分到两本诗集，这种情况下的分法有：先两本诗集分到一个人手上，有种情况，将剩余的本小说分给剩余个人，只有一种分法，那共有：种，第三类：有一个人分到两本小说，这种情况的分法有：先将两本小说分到一个人手上，有种情况，再将剩余的两本诗集和一本小说分给剩余的个人，有种分法，那共有：种，综上所述：总共有：种分法，故选B.考点：1、分布计数乘法原理；2、分类计数加法原理.【方法点睛】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.12、A【解题分析】

根据几何体的三视图得出该几何体是三棱柱去掉一个三棱锥所得的几何体，结合三视图的数据，求出它的体积．【题目详解】根据几何体的三视图，得该几何体是三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体几何体是底面为边长为3,4,5的三角形，高为5的三棱柱被平面截得的，如图所示：由题意：原三棱柱体积为：V截掉的三棱锥体积为：V所以该几何体的体积为：V=本题正确选项：A【题目点拨】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

先求出直线与曲线的交点坐标，封闭图形的面积是函数y＝x与y＝在x∈[0，1]上的积分．【题目详解】解：联立方程组可知，直线y＝x与曲线y＝的交点为（0，0）（1，1）；∴所围成的面积为S＝.故答案为．【题目点拨】本题考查了定积分，找到积分区间和被积函数是解题关键，属于基础题．14、【解题分析】

待定系数法:设，利用图象上点坐标代入，与联立求解可得.【题目详解】设，由题知：，由图象知解得故答案为：【题目点拨】求函数解析式的四种方法：配凑法、换元法、待定系数法、解方程组法，解题时根据具体条件对应方法求解析式.15、如果或，则【解题分析】

由四种命题之间的关系，即可写出结果.【题目详解】命题“如果，那么且”的逆否命题是“如果或，则”.故答案为：如果或，则【题目点拨】本题主要考查四种命题之间的关系，熟记概念即可，属于基础题型.16、【解题分析】

利用先求得,再利用求解即可,注意利用角的范围确定三角函数值的符号.【题目详解】由题,因为,且,则或,因为为第四象限角,所以,则,所以,故答案为:【题目点拨】本题考查利用同角的三角函数关系求三角函数值,属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2），或.【解题分析】试题分析：（1）由题意，根据离心率定义得到与的关系式，再由点求出直线的方程，根据点到直线距离公式，得到与的关系式，再结合，从而得出椭圆方程；（2）根据题意，可将直线斜率存在与否进行分类讨论，由“线段为直径”，得，再利用向量数量积的坐标运算，从而解决问题.试题解析：（1）由已知得，因为过椭圆的上顶点和右顶点的直线与原点的距离为，所以，解得故所求椭圆的方程:（2）椭圆左焦点，①当直线斜率不存在时，直线与椭圆交于两点，显然不存在满足条件的直线.………6分②当直线斜率存在时，设直线联立，消得，由于直线经过椭圆左焦点，所以直线必定与椭圆有两个交点，恒成立设则，若以为直径的圆过点，则，即(*)而，代入(*)式得，即，解得，即或．所以存在或使得以线段MN为直径的圆过原点．故所求的直线方程为，或.18、（1）见解析；（2）见解析【解题分析】试题分析：（1）根据题设中的数据，即可填写的列联表；（2）利用独立性检验的公式，计算的值，即可作出预测．试题解析：（1)2X2列联表：（2）根据列联表计算K2=≈11.11>10.828对照观测值得:能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“关注”与“不关注”与年龄段有关.19、（1）；（2）存在直线：满足要求.【解题分析】

（1）由条件布列关于a，b的方程组，即可得到椭圆的标准方程；（2）由为的垂心可知，利用韦达定理表示此条件即可得到结果.【题目详解】解：（1）设椭圆的方程为，半焦距为.则、、、、由，即，又，解得，椭圆的方程为（2）为的垂心，又，，设直线：，，将直线方程代入，得，，且又，，，即由韦达定理得：解之得：或（舍去）存在直线：使为的垂心.【题目点拨】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、三角形垂心的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20、（1）见解析；（2）证明见解析【解题分析】

（1）计算导数，采用分类讨论的方法，，与，根据导数的符号判定原函数的单调性，可得结果.（2）根据（1）的结论，可得，然后构造新函数，通过导数研究新函数的单调性，并计算最值，然后与比较大小，可得结果.【题目详解】（1）函数的定义域为，①若，即时，则，此时的单调减区间为；②若，时，令的两根为，，，所以的单调减区间为，，单调减区间为.③当时，，，此时的单调增区间为，单调减区间为.（2）当时，函数有两个极值点，且，.则则要证，只需证.构造函数，则，在上单调递增，又，，且在定义域上不间断，由零点存在定理可知：在上唯一实根，且.则在上递减，上递增，所以的最小值为.因为，当，，则，所以恒成立.所以，所以，得证.【题目点拨】本题考查导数的综合应用，难点在于分类讨论思想的应用，同时掌握构造函数，化繁为简，考验分析能力以及极强的逻辑推理能力，综合性较强，属难题.21、(1)证明见解析.(2).【解题分析】

分析：（1）只要求得在时的最小值即可证；（2）在上有两个不等实根，可转化为在上有两个不等实根，这样只要研究函数的单调性与极值，由直线与的图象有两个交点可得的范围．详解：（1）证明：当时，函数.则，令，则，令，得.当时，，当时，在单调递增，（2）解：在有两个零点方程在有两个根，在有两个根，即函数与的图像在有两个交点．，当时，，