2024届四川省威远中学数学高二第二学期期末质量检测模拟试题含解析

2024届四川省威远中学数学高二第二学期期末质量检测模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在的展开式中，的系数等于A．280 B．300 C．210 D．1202．若为纯虚数，则实数的值为（）A．-2 B．2 C．-3 D．33．在中，，，，则的面积为（）A．15 B． C．40 D．4．已知，为的导函数，则的图象是（）A． B．C． D．5．已知命题，则命题的否定为()A． B．C． D．6．设，，则“”是“”的（）A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件7．当输入a的值为，b的值为时，执行如图所示的程序框图，则输出的的结果是()A． B． C． D．8．若实数a,b满足a+b<0，则()A．a,b都小于0B．a,b都大于0C．a,b中至少有一个大于0D．a,b中至少有一个小于09．设F是椭圆=1的右焦点，椭圆上至少有21个不同的点（i=1,2,3,···），，，···组成公差为d（d>0）的等差数列，则d的最大值为A． B． C． D．10．已知,且，则的最小值是（）A．1 B． C． D．311．对两个变量x，y进行回归分析，得到一组样本数据：（x1，y1），（x2，y2），…（xn，yn），则下列说法中不正确的是A．由样本数据得到的回归方程必过样本点的中心B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C．用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好D．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1.12．七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，现从该正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在极坐标系中，曲线被直线所截得的弦长为_______.14．从编号为0，1，2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是5的样本，若编号为28的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为___15．一根木棍长为4，若将其任意锯为两段，则锯成的两段木棍的长度有一段大于3的概率为______．16．从湖中打一网鱼，共条，做上记号再放回湖中；数天后再打一网鱼共有条，其中有条有记号，则能估计湖中有鱼____________条.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知，其前项和为.（1）计算；（2）猜想的表达式，并用数学归纳法进行证明.18．（12分）已知函数．（Ⅰ）当时，求在上的零点个数；（Ⅱ）当时，若有两个零点，求证：19．（12分）已知函数，且的解集为．（1）求的值；（2）若，且，求证：．20．（12分）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，且DE＝，平面ABCD⊥平面ADE，∠ADE＝30°（1）求证：AE⊥平面CDE；（2）求AB与平面BCE所成角的正弦值.21．（12分）选修4-5：不等式选讲已知函数.（Ⅰ）当时，求函数的定义域；（Ⅱ）若关于的不等式的解集是，求的取值范围.22．（10分）设函数（1）当时，求函数在上的值域；（2）若不论取何值，对任意恒成立，求的取值范围。

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

根据二项式定理，把每一项里的系数单独写下来，然后相加，再根据组合数性质，化简求值．【题目详解】解：在的展开式中，项的系数为．故选D．【题目点拨】本题主要考查二项式定理展开以及利用组合数性质进行化简求值．2、C【解题分析】

本题首先可以确定复数的实部和虚部，然后根据纯虚数的相关性质即可列出方程组，通过计算即可得出结果．【题目详解】因为为纯虚数，所以，解得，故选C．【题目点拨】本题考查复数的相关性质，主要考查纯虚数的相关性质，纯虚数的实部为0且虚部不为0，考查运算求解能力，考查方程思想，是简单题．3、B【解题分析】

先利用余弦定理求得，然后利用三角形面积公式求得三角形的面积.【题目详解】由余弦定理得，解得，由三角形面积得，故选B.【题目点拨】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题.4、A【解题分析】

先化简f（x）＝，再求其导数，得出导函数是奇函数，排除B，D．再根据导函数的导函数小于0的x的范围，确定导函数在上单调递减，从而排除C，即可得出正确答案．【题目详解】由f（x）＝，∴，它是一个奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，D．又，当﹣＜x＜时，cosx＞，∴＜0，故函数y＝在区间上单调递减，故排除C．故选A．【题目点拨】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，属于基础题．5、D【解题分析】分析：根据全称命题的否定是特称命题即可得结果.详解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题的否定为，故选D.点睛：本题主要考查全称命题的否定，属于简单题.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词;二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可.6、C【解题分析】不能推出，反过来，若则成立，故为必要不充分条件.7、C【解题分析】

模拟程序的运行，根据程序流程，依次判断写出a，b的值，可得当a=b=4时，不满足条件a≠b，输出a的值为4，即可得解．【题目详解】模拟程序的运行，可得a=16，b=12满足条件a≠b，满足条件a>b，a=16−12=4，满足条件a≠b，不满足条件a>b，b=12−4=8，满足条件a≠b，不满足条件a>b，b=4−4=4，不满足条件a≠b，输出a的值为4.故选：C.【题目点拨】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题.解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4)处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.8、D【解题分析】假设a,b都不小于0,即a≥0,b≥0,则a+b≥0,这与a+b<0相矛盾,因此假设错误,即a,b中至少有一个小于0.9、B【解题分析】

求出椭圆点到的距离的最大值和最小值，再由等差数列的性质得结论．【题目详解】椭圆中，而的最大值为，最小值为，∴，．故选B．【题目点拨】本题考查椭圆的焦点弦的性质，考查等差数列的性质，难度不大．10、B【解题分析】

利用柯西不等式得出，于此可得出的最小值。【题目详解】由柯西不等式得，则，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为，故选：B.【题目点拨】本题考查利用柯西不等式求最值，关键在于对代数式朝着定值条件等式去进行配凑，同时也要注意等号成立的条件，属于中等题。11、C【解题分析】由样本数据得到的回归方程必过样本中心，正确；残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，正确用相关指数R2来刻画回归效果,R2越大，说明模型的拟合效果越好，不正确，线性相关系数|r|越大，两个变量的线性相关性越强，故正确。故选：C.12、A【解题分析】设，则.∴，∴所求的概率为故选A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

将直线和曲线的方程化为普通方程，可知曲线为圆，然后计算圆心到直线的距离和半径，则直线截圆所得弦长为。【题目详解】曲线的直角坐标方程为，直线，所以圆心到直线的距离为，所求弦长为.故答案为：。【题目点拨】本题考查极坐标方程与普通方程之间的转化，考查直线与圆相交时弦长的计算，而计算直线截圆所得弦长，有以下几种方法：①几何法：计算圆心到直线的距离，确定圆的半径长，则弦长为；②弦长公式：将直线方程与圆的方程联立，消去或，得到关于另外一个元的二次方程，则弦长为或（其中为直线的斜率，且）；③将直线的参数方程（为参数，为直线的倾斜角）与圆的普通方程联立，得到关于的二次方程，列出韦达定理，则弦长为。14、1【解题分析】

确定系统抽样间隔k=16，根据样本中含编号为28的产品，即可求解，得到答案．【题目详解】由系统抽样知，抽样间隔k=80因为样本中含编号为28的产品，则与之相邻的产品编号为12和44，故所取出的5个编号依次为12，28，44，60，1，即最大编号为1．【题目点拨】本题主要考查了系统抽样的应用，其中解答中熟记系统抽样的方法，确定好抽样的间隔是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．15、【解题分析】

试验的全部区域长度为4，基本事件的区域长度为2，代入几何概型概率公式即可得结果．【题目详解】设“长为4的木棍”对应区间，“锯成的两段木棍的长度有一段大于3”为事件，则满足的区间为或，根据几何概率的计算公式可得，．故答案为．【题目点拨】本题主要考查几何概型等基础知识，属于中档题．解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与长度有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总长度以及事件的长度.16、【解题分析】

按比例计算．【题目详解】估计湖中有鱼条，则，．故答案为：．【题目点拨】本题考查用样本数据特征估计总体，解题时把样本的频率作为总体频率计算即可．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2），证明见解析.【解题分析】

（1）由题可得前4项，依次求和即可得到答案；（2）由（1）得到前四项和的规律可猜想，由数学归纳法，即可做出证明，得到结论。【题目详解】（1）计算，.（2）猜想.证明：①当时，左边，右边，猜想成立.②假设猜想成立，即成立，那么当时，，而，故当时，猜想也成立.由①②可知，对于，猜想都成立.【题目点拨】本题主要考查了归纳、猜想与数学归纳法的证明方法，其中解答中明确数学归纳证明方法：（1）验证时成立；（2）假设当时成立，证得也成立；（3）得到证明的结论．其中在到的推理中必须使用归纳假设．着重考查了推理与论证能力．18、(Ⅰ)有一个零点；(Ⅱ)见解析【解题分析】

(Ⅰ)对函数求导，将代入函数，根据函数在单调性讨论它的零点个数．(Ⅱ)根据函数单调性构造新的函数，进而在各区间讨论函数零点个数，证明题目要求．【题目详解】因为，在上递减，递增(Ⅰ)当时，在上有一个零点(Ⅱ)因为有两个零点，所以即.设则要证，因为又因为在上单调递增，所以只要证设则所以在上单调递减，，所以因为有两个零点，所以方程即构造函数则记则在上单调递增，在上单调递减，所以设所以递增，当时，当时，所以即（）所以，同理所以所以，所以由得，综上：【题目点拨】本题主要考查利用导数研究函数的零点、考查了构造函数证明不等式，意在考查计算能力、转化思想的应用，是关于函数导数的综合性题目，有一定的难度.19、（1）；（2）详见解析.【解题分析】分析：（1）由条件可得的解集为，即的解集为，可得；（2）根据，展开后利用基本不等式可得结论.详解：（1）因为，所以等价于，由有解，得，且其解集为．又的解集为，故．（2）由（1）知，又，7分∴(或展开运用基本不等式)∴．点睛：本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.20、（1）详见解析；（2）.【解题分析】

（1）根据线面垂直的判定定理，可直接得出结论成立；（2）以为原点，直线，分别为轴，过点作与直线平行的直线为轴，建立空间直角坐标系，分别求出直线的方向向量与平面的法向量，根据向量夹角的余弦值，即可求出结果.【题目详解】解：（1）证明：平面平面，交线为，且平面，从而，又，由余弦定理得，即又，平面.（2）以为原点，直线，分别为轴，过点作与直线平行的直线为轴，建立空间直角坐标系．则，，设，,,所以平面BCE的法向量与平面所成角的正弦弦值【题目点拨】本题主要考查线面垂直的判定，以及空间向量的方法求线面角，熟记线面垂直的判定定理，以及空间向量的方法求解，即可得出结果.21、（1）或（2）.【解题分析】试题分析：（1）函数去绝对值号化为分段函数即可求解；（2）分离参数得：在上恒成立，利用绝对值性质即可得到m范围内.试题解析：（1）由题意，令解得或，∴函数的定义域为或（2），∴，即.由题意，不等式的解集是，则在上恒成立