最值问题训练-2023年中考数学考点微

考向5.14最值问题训练专题

一、单选题

1.（2021・山东济南•二模）如图，菱形A8C。的边AB=8,NB=60。，BP=3,Q是CO边上

一动点，将梯形4PQO沿直线PQ折叠，4的对应点为4.当CA的长度最小时，CQ的长

7C.8D.6.5

2.（2021・广东广州・三模）如图1,在菱形A8CD中，AB=6,NBAO=120。，点E是BC

边上的一动点，点尸是对角线B3上一动点，设P。的长度为无，PE与尸C的长度和为y,

图2是y关于x的函数图象，其中”Q,b）是图象上的最低点，则a+匕的值为（）

A.7A/3B.6丛+3C.85/3D.3月+6

3.（2020.江苏•一模）在以下列长度为边长的4个正方形铁片中，若要剪出一个直角边长分

别为4cm和1cm的直角三角形铁片，则符合要求的正方形铁片边长的最小值为（）

A.叵cm16C.蚂m5&

B.一cmD.---cm

25172

4.（2019•安徽蚌埠•中考模拟）如图，在RSABC中，NC=90。，AC=6,BC=8,点、F

在边AC上，并且CF=2,点E为边2C上的动点，将ACEF沿直线EF翻折，点C落在点

P处，则点P到边4B距离的最小值是（）

5.（2019・山东聊城•一模）如图，正方形ABCD边长为4,M,N分别是边BC,CD上的

两个动点且AMLMN,则AN的最小值是（）

C.2石D.4应

6.（2019・山东济宁•中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别为（2,0）,

（0,4）,过A,0,8三点作圆，点C在第一象限部分的圆上运动，连结CO,过点。作CO的

垂线交C8的延长线于点。，下列说法：①Z4OC=NBO£＞；②sinZD=g；③CO的最大值

为10.其中正确的是（）

B.②③C.①③D.©©③

7.（2016•河南•模拟预测）如图，AABC,aEFG均是边长为2的等边三角形，点D是边

BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M.当4EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小

C.应D.73-1

8.（2021•河南南阳•二模）如图，等边三角形ABC中，AB=3,点。在边A8上，且AO=1,

点E是边8上的一动点，作射线ED.射线EO绕点E顺时针旋转60。得到射线EF,交AC

于点凡则点E从8-C的运动过程中，CF的最大值是（）

4

9.（2021•江苏苏州•一模）如图，在RfA8C中，ZC=90°,AC=6,BC=8,点/在边AC

上，并且CF=2,点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则

点P到边AB距离的最小值是（）.

二、填空题

10.（2019•江苏泰州•中考模拟）如图，正方形ABCD的边长为4,OB的半径为2,P为。B

11.（2019•四川泸州•一模）如图，在..ABC中，D,E分别是BC,A8上的点，且

NB=ZADE=ZDAC,如果/XEBD,.ADC的周长分别记为“，叫，m2,则"土强

的最大值是.

12.（2021•江苏连云港•一模）如图，在正方形ABCD中，A8=8,点H在CD上，且CH

=2,点E绕着点B旋转，且8E=2,在CE的上方作正方形EFGC,则线段产〃的最小值是

13.（2021•江苏无锡♦一模）如图，△ABC中，AB=AC=2,/A4c=120。，D、E分别是

BC、AC边上的动点，S.ZADE=ZABC,连接BE,则△A欧的面积的最小值为.

14.（2021.福建.大同中学二模）如图，以48为直径的。。与CE相切于点C,CE交力B的

延长线于点E,半径。4=6,4=30°,弦C£>LAB,垂足为点尸，连接AC,OC,则下列

结论正确的是.（写出所有正确结论的序号）

①BC=BD;②扇形OBC的面积为12兀；③△OBS/^OEC；④若点P为线段0A上一动

15.（2022.辽宁.东北育才实验学校模拟预测）如图，48=4,。为A8的中点，。。的半径

为1,点P是。。上一动点，以PB为直角边的等腰直角三角形PBC（点P、B、C按逆时针

方向排列），则线段4C的长度的最大值为.

16.（2021.陕西.交大附中分校模拟预测）如图，在矩形4BCD中，4B=28C=10,点E在

8上,CE=2,点F、P分别是AC、A8上的动点，则PE+PP的最小值为.

17.（2021.陕西・西安市铁一中学模拟预测）如图，80和AC为四边形A8CZ）的对角线,

ABLBD,ZCBD=60°,BD=2BC,AD=S,则AC的最大值为.

18.（2021•河南三门峡•二模）如图，在平行四边形ABCD中，BC=5,Z4BC=60。，点P

为直线A8上的一个动点，四边形PCE户为平行四边形，。为PF的中点，则PE的最小值为

三、解答题

19.（2020•江西九江・三模）边长为4的正方形ABCD中，点E是BC边上的一个动点，连

接DE,交AC于点N,过点D作DFLDE,交BA的延长线于点F,连接EF,交AC于点

M.

（1）判定ADFE的形状，并说明理由；

（2）设CE=x,AAMF的面积为y,求y与x之间的函数关系式；并求出当x为何值时y

有最大值？最大值是多少？

（3）随着点E在BC边上运动，NA-MC的值是否会发生变化？若不变，请求出NA-MC的

值；若变化，请说明理由.

DE----------,C

B

一、单选题

1.（2021.四川绵阳.中考真题）如图，在△ACD中，AD=6,BC=5,AC2AB（AB+BC）,

且DCA,若AQ=3”,点。是线段A8上的动点，则PQ的最小值是（）

A.立B.旦C.正D.-

2225

2.（2019•内蒙古巴彦淖尔•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知

4（-3,-2）,8（0,-2）,。（一3,0）,“是线段48上的一个动点，连接过点M作MN1MC交

y轴于点N,若点M、N在直线丫=h+6上，则。的最大值是（）

84

3.（2013・四川德阳•中考真题）如图，在圆O上有定点C和动点P,位于直径AB的异侧,

53

过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q,已知：圆O半径为tan/ABC=

则CQ的最大值是

0

4.（2012•浙江湖州•中考真题）如图，已知点A（4,0）,O为坐标原点，P是线段OA上

任意一点（不含端点O,A）,过P、O两点的二次函数yi和过P、A两点的二次函数y2的

图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C,射线OB与AC相交于点D.当OD=AD=3时,

这两个二次函数的最大值之和等于（）

5.（2020.四川巴中•中考真题）如图，在矩形ABC。中，48=4,对角线AC,8。交于点

O,sinZCOD=—,尸为AC上一动点，于点E,PFLBD于点、F,分别以PE,

2

PF为边向外作正方形PEGH和面积分别为豆，邑.则下列结论：①80=8；②

点P在运动过程中，PE+P尸的值始终保持不变，为26；③的最小值为6；④当

PH:PN=5:6时,则。M:AG=5:6.其中正确的结论有（）

C.3个D.4个

6.（2017•黑龙江・中考真题）如图，在连长为4的正方形ABCD中，E、F是AD边上的两

个动点，且AE=FD,连接BE、CF、BD,CF与BD交于点H,连接DH.下列结论正确的个

数是（）

©△ABG^AFDG；②HD平分NEHG；③AG_LBE；④SAHDG：SAHBG=tanZDAG；⑤线段

DH的最小值是26-2

A.2B.3C.4D.5

7.（2017•广西贵港•中考真题）如图，在正方形.4CD中，0是对角线工。与3D的交点,

M是边上的动点（点,1/不与&。重合）,CV-DM.CV与,公交于点A',连接

OMO.VJ/.V.下列五个结论：①AC'?二AD.UC；②AC0、=AD（B/；

©AOMX^AO.AD；④jy'CU'MV：；⑤若,4=2,则邑岫・的最小值是:，

A.2B.3C.4D.5

8.（2020•江苏无锡・中考真题）如图，等边AABC的边长为3,点Z）在边AC上，AD=1,

线段尸2在边84上运动，PQ=g，有下列结论：

①CP与。。可能相等；②AAQO与A/JCP可能相似;③四边形PC。。面积的最大值为上叵；

16

④四边形PCDQ周长的最小值为3+巨.其中，正确结论的序号为（）

2

A.①④B.②④C.①③D.②③

二、填空题

9.（2021•山东青岛•中考真题）己知正方形ABC。的边长为3,E为CO上一点，连接AE并

延长，交BC的延长线于点F,过点。作ZX7J.AF,交AF于点H,交BF于点G,N为EF

的中点，M为BD上一动点,分别连接MC,MN.若怦*则MN+MC的最小值为

^AFCE4

10.（2021•四川内江•中考真题）已知非负实数”，b,C满足'1=.=/,设5=°+给+攵

的最大值为"?，最小值为“，则己/7的值为

m

11.（2021•内蒙古通辽•中考真题）如图，A8是。。的弦，A8=2G，点C是。。上的一个

动点，且NACB=60。，若点M,N分别是A8,8c的中点，则图中阴影部分面积的最大值

是.

12.（2021・江苏宿迁・中考真题）如图，在△ABC中，48=4,BC=5,点。、尸分别在8C、

AC上，CD=2BD,CF=2AF,BE交AO于点尸，则AAFE面积的最大值是.

13.（2021•黑龙江•中考真题）如图，在RrAAOB中，ZAOB=90°,。4=4,08=6,以点

。为圆心，3为半径的OO,与OB交于点C,过点C作CO_LOB交A8于点。，点户是边。4

上的点，则PC+PQ的最小值为.

，4-（刈9・四川凉山・中考真题）如图，正方形ABCD中，AM2,点P在

BC上运动（不与B、C重合），过点P作P。，EP,交CD于点Q,则CQ的最大值为

15.（2019•浙江台州•中考真题）如图，直线44l3,A,B,C分别为直线《，12,4上

的动点，连接AB,BC,AC,线段AC交直线4于点。.设直线4，4之间的距离为山，

1772

直线4,4之间的距离为〃，若NA8C=90。，BD=4,且一=;，则机+w的最大值为____.

n3

16.（2019•浙江嘉兴・中考真题）如图，在。O中，弦AB=1,点C在AB上移动，连结OC,

过点C作CDLOC交。O于点D,则CD的最大值为一.

17.（2019・四川南充・中考真题）如图，矩形硬纸片ABCD的顶点A在V轴的正半轴及原点

上滑动，顶点B在x轴的正半轴及原点上滑动，点E为AB的中点，AB=24,BC=5,给出下列

结论：①点A从点O出发，到点B运动至点O为止，点E经过的路径长为12无；②AOAB

的面积的最大值为144；③当OD最大时，点D的坐标为（至公，凶龙），其中正确的结

2626

论是（填写序号）.

18.（2013♦广西河池•中考真题）如图，正方形ABCD的边长为4,E、F分别是BC、CD

上的两个动点，且AELEF.则AF的最小值是一.

三、解答题

19.（2019•黑龙江・中考真题）如图，在ABC中，ZA=900.A8=8cm,AC=6cm,若动

点。从8出发，沿线段BA运动到点A为止（不考虑。与8,A重合的情况），运动速度为

2cm/s,过点。作£>E〃BC交AC于点E,连接BE,设动点。运动的时间为x（s）,AE的

长为y（cm）.

（1）求y关于X的函数表达式，并写出自变量尤的取值范围；

（2）当x为何值时，aBDE的面积S有最大值？最大值为多少？

20.（2020.福建•中考真题）已知直线4：y=-2x+10交y轴于点A,交x轴于点8,二次函

数的图象过A,8两点，交x轴于另一点C,BC=4,且对于该二次函数图象上的任意两点

弓（玉,%）,鸟（马,丫2），当士>々25时，总有y>%.

(1)求二次函数的表达式；

(2)若直线/24=皿+〃(〃二10),求证：当根=一2时，12///,；

(3)E为线段BC上不与端点重合的点，直线，3：y=-2x+4过点C且交直线AE于点尸，求

MBE与ACEF面积之和的最小值.

参考答案

1.B

【解析】

【分析】

作CHL48于H,如图，根据菱形的性质可判断△ABC为等边三角形，可求得CH,BH,

PH,在RtACHP中,利用勾股定理计算出CP,再根据折叠的性质得点H在以尸点为圆心,

以为半径的弧上，利用点与圆的位置关系得到当点4在尸C上时，。'的值最小，然后证明

CQ=CP即可.

【详解】

解：作CHLA8于H,如图,

,菱形48CZ）的边A8=8,ZB=60°,

△ABC为等边三角形，8c=8

BH=4,CH=4BC2-BH2=>/82-42=4G，

"：PB=3,

:.HP=BH-BP=4-3=l,

在心中，CP7cH2+HP?=J(4G『+『=7,

•.•梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点A,

...点4在以P点为圆心，力为半径的弧上，

工当点4在PC上时，C4的值最小，

AZAPQ=ZCPQ,而CD〃A8,

ZAPQ=ZCQP,

：.NCQP=NCPQ,

：.CQ=CP=1.

故选：B.

【点拨】本题考查了折叠的性质，菱形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，求圆

外一点到圆的距离的最值问题，解决本题的关键是确定点4,在PC上时，C4的值最小.

2.A

【解析】

【分析】

从图2知，4是y=PE+PC的最小值，从图1作辅助线知a=CEa，C4<PE,+PC=PE+PC：

接下来求出。=CE2=3g,设。心与80交于点鸟，则求出E8=26，8。=66，最后得

b=P2D=4s/3,所以a+匕=36+46=76,选A.

【详解】

解：如下图，在A8边上取点4,使得8E和8g关于8。对称，

连接Pg,得PC+PE=PC+P耳，

连接CE一作垂足为刍，

D

BEC

由三角形三边关系和垂线段最短知，

PE+PC=PEt+PC施E]CE2,

即PE+PC有最小值CE”

菱形ABC。中，AB=6,Zfi4£>=120°,

在RiBE2c中，ZE25C=60°,

解得C£=3g,

向是图象上的最低点

:.b=y=PE+PC=CES,

此时令与83交于点P2,

由于8E2=3,在RMBRE?中，

8鸟=26,又BD=6上,

:.P、D=4\/3,

乂PD的长度为x,图2中H(a,b)是图象上的最低点，

a=P2D=4G,

乂〃=3>/3>

:.a+b=ly/3,

故选：A.

【点拨】本题考查动点及最小值问题，解题的关键是在于通过翻折点夙中轴对称)，然后

利用三角形三边关系及垂线段最短原理，判断出PC+PE最小值为CE?.

3.B

【解析】

【分析】

AFEFI

证明AAEFS/^DCE,得出---=-----—,设AE=xcm,则AD=CD=4xcm,DE=AD

DCCE4

-AE=3xcm,在RtZkCDE中，由勾股定理得出方程，解方程即可.

【详解】

解：如图所示：

△CEF是直角三角形，NCEF=90。，CE=4,EF=1,

.,.ZAEF+ZCED=90°,

•.•四边形ABCD是正方形，

,.ZA=ZD=90°,AD=CD,

・・・NDCE+NCED=90。，

AZAEF=ZDCE,

/.△AEF^ADCE,

.AE_EF_I

••丽—ZF—“

设AE=xcm,则AD=CD=4xcm,

/.DE=AD-AE=3xcm,

在RtACDE中,由勾股定理得:(3x)2+(4x)2=42,

4

解得：x=1,

【点拨】本题考查相似三角形的判定与性质、勾股定理的应用等知识，是重要考点，难度较

易，掌握相关知识是解题关键.

4.C

【解析】

【分析】

如图，延长尸尸交A3于当尸匕LA3时，点P到48的距离最小，利用△AFMsaABC

得到空=整求出即可解决问题.

ABBC

【详解】

如图，延长FP交A8TM,当FPLA8时，点P到AB的距离最小.（点P在以F为圆心CF

为半径的圆上，当尸PLA8时，点P到48的距离最小）

A

Xf

VZA=ZAtZAMF=ZC=90°f

：./XRFMsXABC、

.AF_FM

\45-BC

CF=2,AC=6,BC=8

AF=4,AB=VAC2+BC2=10

4FM.

—=-----•・FM=3.2,

108

VPF=CF=2f

・•・PM=1.2

点P到边A8距离的最小值是1.2.

故选C.

【点拨】本题考查翻折变换、最短问题、相似三角形的判定和性质、勾股定理.垂线段最短

等知识，解题的关键是正确找到点P位置，属于中考常考题型.

5.B

【解析】

【分析】

在RSADN,AN=>/AD2+DN2-而AD=4为定值，所以当DN取最小值时，AN也取最

小值.于是设BM=x,利用AABMS/\MCN,求出CN的长，即可表示出DN的长，根据

二次函数的最值求法即可得到正确结果.

【详解】

解：VAM1MN

.-.ZAMB+ZCMN=90o

而/AMB+NMAB=90°

.\ZMAB=ZNMC

又,；NB=NC=90°

.'.△ABM^AMCN

.ABBM

"MC-CN

若设BM=x,则CM=4-x

4x

于是有

4-xCN

・CN=；x(4-x)

.•.DN=4-CN=-x2-x+4

4

=；（x-2尸+3

即：当BM=2时，DN取最小值为3,

而AN=JAD,DNZ，而AD=4为定值，所以当DN取最小值时，AN也取最小值

此时AN=“2+32—5

即当DN取最小值3时，AN也取最小值5.

故选B.

【点拨】本题考查的是相似三角形的性质应用与二次函数求最值的结合，把代数与几何问题

进行了相互渗透，本题中运用二次函数求线段的最值是解题的关键.

6.C

【解析】

【分析】

连接AB,由题意得AB为圆的直径，根据同角的余角相等可得NAOC=NBOD,根据圆周

角定理得/OCB=/OAB,可推出NOBA=/D,根据勾股定理求出AB,可出sin/D的值,

CDOC

证出AOCDsaOAB,则一=—,OC取最大值等于直径时CD的值最大.

ABOA

【详解】

解：连接AB,

VZDOC=900,ZBOA=90°,

•,.ZBOD+ZBOC=90°,ZAOC+ZBOC=90°,

•••ZAOC=ZBOD,①正确；

VZDOC=90°,ZBOA=90°,

ZOCB+ZD=90°,ZOAB+ZOBA=90°,

VZOCB=ZOAB,

.\ZOBA=ZD,

22

'.'0A=2,0B=4,AB=V2+4=720=275，

sinZD=sinZOBA==—^==，②错误;

AB2>/55

VZDOC=ZBOA=90°,ZOCB=ZOAB,

/.△OCD^AOAB,

.CD_OC

**AB-OA

・・・ZBOA=90°,

AAB为圆的直径，

・・・OC取最大值等于直径AB时CD的值最大，

・・・CD的最大值二空三="也叵=10,③正确.

OA2

故选C.

【点拨】本题考查圆的综合题，解题的关键是熟知相似三角形的判定与性质，直角三角形的

性质以及圆周角定理，锐角三角函数的定义.

7.D

【解析】

【详解】

试题解析：AC的中点O,连接AD、DG、BO,OM,如图.

VAABC,△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点,

.•.AD±BC,GD1EF,DA=DG,DC=DF,

ZADG=90°-ZCDG=ZFDC,-^=—,

DCDF

.'.△DAG^ADCF,

AZDAG=ZDCF.

.♦.A、D、C、M四点共圆.

根据两点之间线段最短可得：BO<BM+OM,即BMNBO-OM,

当M在线段BO与该圆的交点处时，线段BM最小,

此时，BO=7SC2-OC2=>/22-12=73-OM=^AC=1,

则BM=BO-OM=73-1.

故选D.

考点：1.等边三角形的性质、2.等腰三角形的性质、3.相似三角形的判定与性质.

8.C

【解析】

【分析】

根据等边三角形的性质及角的等量代换可得依据相似三角形的判定和性质

可得ABDE〜ACEF,空=空，设跖=x,CF=y,将各边长代入相似比中可得二次函

CECF

Ia

数丁=-5/+；处利用二次函数的性质，求其最值即可.

【详解】

解：・.・AABC为等边三角形，

.-.ZB=ZC=60°,

在MED中,

ABDE+ABED=180°-60°=120°,

由题意旋转60。，

・•・"所=60。，

：./CEF+/BED=120°,

:・/BDE=/CEF,

在ABDE与&CEF中,

NB=/C,

NBDE=NCEF,

:・M3DE〜ACEF,

设=CF=y,BD=AB-AD=2,

BDBE

~CE~~CF

2x

3-xy

123

-y=--x+/%，

当、T=1时，

39

=CF=g为最大值，

28

故选：C.

【点拨】题目主要考查等边三角形的性质及动点问题，相似三角形的判定及性质，二次函数

的应用，理解题意，根据相似比得出二次函数求最大值是解题关键.

9.C

【解析】

【分析】

先依据勾股定理求得A8的长，然后依据翻折的性质可知P/三尸C,故此点P在以F为圆心,

以2为半径的圆上，依据垂线段最短可知当尸PLA8时，点P到A8的距离最短，然后依据

题意画出图形，最后，利用相似三角形的性质求解即可.

【详解】

解：如图所示：当PE〃AB.

在放AABC中，VZC=90°,AC=6,BC=8,

••AB—16?+8?=10,

由翻折的性质可知：PF=FC=2fZFPE=ZC=90°.

PE//AB,

：.NPDB=90。.

由垂线段最短可知此时尸。有最小值.

又・・・Q为定值，

・・・产力有最小值.

XVZA=ZA,ZACB=ZADF,

DE4DE

AF=芸,即白=爷，解得："二32

£>C1()O

：.PD=DF-FP=3.2-2=1.2,

故选：C.

【点拨】本题考查翻折变换，垂线段最短，勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思

想思考问题，属于中考常考题型.

10.5

【解析】

【分析】

在BC上截取BE=1,连接BP,PE,由正方形的性质可得BC=4=CD,BP=2,EC=3,

可证APBEs/XCBP,可得PE=^PC,即当点D,点P,点E三点共线时，PD+PE有最小

值，即PD+《PC有最小值.

【详解】

解：如图，在BC上截取BE=1,连接BP,PE,

••,正方形ABCD的边长为4,OB的半径为2,

；.BC=4=CD,BP=2,EC=3,

..丝]BE

-=—，且NPBE=NPBC,

BC2BP

.,.△PBE^ACBP,

,BEPE\

«・--------=一,

BPPC2

.,.PE=yPC,

.,.PD+yPC=PD+PE,

二当点D,点P,点E三点共线时，PD+PE有最小值，即PD+^PC有最小值,

.\PD+|PC最小值为DE=Jg+CE：=5.

故答案为5.

【点拨】本题考查了正方形的性质，圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，添加恰当的

辅助线构造相似三角形是本题的关键.

g

11.

4

【解析】

【分析】

设BC=a,AC=b,由NB=NADE=NDAC,得到△ABCs/\EBDs2^DAC,通过相似比得到

DC=—,BD^BC-DC=a--=a-b'则土翳子，/喑小得到

aaa

即可求出最大值.

ma-a2j4

【详解】

解：设BC=a,AC=b,VZB=ZADE=ZDAC,

.,.△ABC^AEBD^ADAC,

DCAC

AC-BC

DC=—,BD=BC-DC=a--=--b

aaa

22

rri]_BD_a-bm2_AC_b

mBCa2mBCa

22

nij+m2_a-bb_(b1Y55

"-m-a2+a-~la-2j+4"4'

则巴匚3的最大值是。

m4

【点拨】本题考查「三角形相似的判定与性质：有两个角对应相等的两个三角形相似；相似

三角形的对应边的比相等，周长的比等于相似比.也考查了用配方法求最值.

12.10-272

【解析】

【分析】

连接AF、AC.CF,证明△AFCS/\8EC,从而根据E点运动轨迹发现尸点在以A点为圆心，

AF为半径的圆上运动，当A、F、H三点共线时，F”有最小值.

【详解】

解：连接。、CF、AF,

因为/BC4=/EC凡E

所以/BC£=ZACF,

在等腰直角△48C和等腰直角△ECF中，

BCCE\

AC-CF-72

BCAC

所以在=孑

所以△BCE〜4ACF,

所以桨=&,

BE

因为8E=2,

所以AF=2&,

因为点E绕着点8旋转，且BE=2,

所以F在以A为圆心，2正为半径的圆上运动,

当A、H、F三点共线时，尸”最小，

所以FH=AH-2&,

在放中，AD=8,DH=6,

所以AH=10,

所以尸〃最小值为10-272-

故答案为：10-2夜.

【点拨】本题主要考查了旋转的性质、相似三角形的判定和性质，圆的基本性质，找到尸

点运动的轨迹是解题的关键.

4

【解析】

【分析】

过点A作于H,过点E作EKL8A交84的延长线于K.设4E=y,BD=x.利用相

似三角形的性质求出），的最小值，可得结论.

【详解】

解：过点A作AHLBC于H,过点E作£KJ_6A交BA的延长线于K.设AE=y,BD=x.

：.BH=CH,ZBAH=ZCAH=6O°,

:.BH=CH=AB・sin60°=布,

:.BC=2BH=2g,

：.CD=2yf3-x,EC=2-y,

在Rt^AEK中，EK=AE-sin600=—y,

2'

：.S4ABE=gAB-EK=gx2x正y=@y,

2222

,/ZADC=ZADE+ZEDC=ZABC+ZDAB,NADE=NABD,

：.NEDC=NDAB,

"：ZC=ZABD,

：.△A。8s△£>EC,

.AB_DB

"~DC~~EC'

•2____x__

"2y/3-x~2-y'

整理得产Ix2-V3X+2=I(x-y/5)2+1,

>0,

••.尸石时，y的值最小，最小值为

••.△ABE的面积的最小值=1，

4

故答案为：-

4

【点拨】本题考查相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，解直角三角形等知识，解题

的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考填空题

中的压轴题.

14.①③④

【解析】

【分析】

根据垂径定理可知8C=BO；利用同弧所对的圆周等于圆心角的一半可知NCOB=60。，再

利用扇形的面积公式求出扇形08c的面积为6n；利用切线性质可知OC_LCE,所以

ZOCE=ZOFC=90°,又因为NCOF=/COE,可判定△OCFS/\OEC；

APOP=(6-OP)OP=-OP2-6OP=-(OP-3)2+9,当OP=3时，有最大值为9.

【详解】

解：①•；弦CDLA3,

•••由垂径定理可知：BC=BD，

故①正确；

@"：NA=30°,

/•ZCOB=2NA=60°，

:半径OA=6,

・•・扇形OBC的面积=60°—6?=6兀,

360°

故②错误；

③;。。与CE相切于点C,

OC1.CE,

・・・NOCE=90'

VZCOF=ZCOE,ZOFC=ZOCEf

故③正确；

©VAPOP=(6-OP)OP=-OP2-6OP=-(O尸-3)2+9

...当OP=3时，AP.OP有最大值为9,

故④正确，

故答案为：①③④.

【点拨】本题考查垂径定理，扇形的面积，相似三角形的判定定理，最值问题，切线性质.重

点要掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；记住扇形的面

2

积公式5=竺］,熟记相似三角形的判定定理.

360

15.3亚

【解析】

【分析】

作OKJ_AB于点。，在OK上截取OK=OA=OB,连接AK,BK,KC,OP,可得AA8K为等

腰直角三角形，从而得至I」NOBK=NPBC,竺.=殁=且，进而得到△OBPs^KBC,可

BKBC2

得到弟=兹=应-则有幻＞夜，进而得到点C的运动轨迹是以点K为圆心，KC长

Orro

为半径的的圆，即可求解.

【详解】

解：如图，作0KJ_48于点O,在OK上截取OK=OA=O8,连接AK,BK,KC,OP,

•；OK=OA=OB,OKLAB,

:・KA=KB,NOAK=/AKO,/OBK=/OKB,

，ZAKB=90°,

•••△ASK为等腰直角三角形，

-'-OB2+OK2=2OB2=BK2,

JNO6K=NO4K=45。，

•••△PBC为等腰直角三角形，

PB2+PC2=1PB2=BC2，

：.ZPBC=45°,丝二型=",

BKBC2

/./OBK=/PBC,

:•△OBPsRKBC,

.•.四=.=应，

OPPB

'：OP=\,

：.KC=y/2,

A点C的运动轨迹是以点K为圆心，KC长为半径的的圆,

•：AK=QOA=2五，

."C的最大值为2夜+夜=3点-

故答案为：3亚

【点拨】本题考查圆综合题、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解

题的关键是学会添加辅助线，构造相似三角形解决问题，解题的突破点是发现点C的运动

轨迹是以点K为圆心，KC为半径的圆，所以中考填空题中的压轴题.

16.竺唐

5

【解析】

【分析】

作点E关于直线AB的对称点£,将PE+PF转化为PE，+PF,即当EFJ_AC时，PE+PF的

最小值为£尸的长，利用三角形相似求长度即可.

【详解】

解：如图，作点E关于直线AB的对称点连接£：£交AC于点G,过点£作4。的垂线,

垂足为F，交A3于点P,可得尸石+P尸有最小值为£'/，

.•.石£=10,

EG//AD,

:./CEG=ZD、/CGE=NCAD,

:./\CEG^/\CDA,

.CEEGCG

"'CD~~DA~~CA'

CE=2,CD=AB=\G,AD=BC=5,

2EGCG

'.105752+102，

/.EG=1,CG=石，

NCEG=NEFG,NCGE=NEGF,

.-.△CEG^AEFG,

,CECG

'否二否’

...EF空后,

1O「

即PE+PF的最小值为一V5.

5

1OL

故答案为：—>/5.

5

【点拨】本题主要考查了矩形的性质，轴对称-最短路线问题，相似三角形的判定与性质,

将PE+PF的最小值转化为E下的长是解题的关键.

17.2币+26

【解析】

【分析】

先证出48=90°,作R/AODG,使/Z)GO=90°,NODG=30°,证明出△SS-ABEX9,

从而得出CG=2石，在R/A4//G中，由勾股定理求出AG的长度，在AACG中，利用三角形

三边关系可得AC的最大值.

【详解】

解：取的中点为。，连接BO,作心ODG,使N0GO=9O。，ZODG=30°,连接CG,

过点。作骁C」8C于。，

NC8£>=60。，

，BD=2BC,

'：BD=2BC,

.•.点C与C重合，

.../BCD=90°,

：.ZBDC=ZODG=30°,

:.NGDC=NBDO,—=—=

BDDO2

，ACDG-ABDO,

.CGCDG

••---=---=---,

BOBD2

：.BO=-AD=4,

2

/.CG=2石，

连接AG,过点G作GHJ_O。于H,

•：OG=-OD=2,

2

在RrMOG中，470G=60°,

，O"=I,GH=5

AH=5,

在RAAWG中，由勾股定理得：

•*-AG=ylHG2+AH2=J3+25=2百，

ACWAG+CG,

/.ACW2币+2也,

的最大值为：2币+26,

故答案为：2近+2班.

【点拨】本题考查特殊角的三角函数值、相似三角形的判定及其性质、三角形的三边关系、

勾股定理等知识点，做辅助线构造三角形是解题的关键.

18.—73

2

【解析】

【分析】

利用平行线分线段成比例定理得到PG=；GE,PE=3PG,得到当PG_LC。时，PG最小，

即PE取得最小值，最小值为3PG,过点C作于点"，在R&BCH中,利用特殊角

的三角函数值即可求解.

【详解】

解：设PE交CO于点G,

♦.•四边形PCE尸为平行四边形，。为PF的中点，

J.PF//CE,BPPD//CE,

.PDPG_1

B|JPG=-GE,

"CE~GE~22

：.PE=3PG,

当PG_LC£＞时，PG最小，即PE取得最小值，最小值为3PG,

过点C作CHLAB于点H,

四边形ABCD为平行四边形,

：.PH//CG,

则四边形P”CG为矩形，

PG=CH,

在中，BC=5,ZABC=60°,

，C”=8Csin60°=*6,

2

的最小值为3尸G=3CH卷币,

故答案为:~2^-

【点拨】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，两点之间线段最短等知识，解题的

关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

19.(1)等腰直角三角形，见解析；(2)y=-5x2+x,当x=2,y有最大值1；(3)不

变，16

【解析】

【分析】

(I)先判断出NFDA=NCDE,证得AADF丝Z\CDE,即可得出结论；

(2)利用平行线分线段成比例定理得出比例式表示出AF边上的高，即可得出结论；

(3)先判断出△FAM段aEIM,得出ME=FM,再判断出△ANDs/\CDM,即可得出结论.

【详解】

(1)在正方形ABCD中，AD=CD,ZADC=ZDCB=ZDAB=90°,

ZFDE=ZADC=90°,

.".ZFDA=ZCDE,

在4ADFCDE中，

-ZADF=ZCDE

■AD=CD,

ZDAF=ZDCE=90°

.'.△ADF^ACDE,

ADE=DF,

•••△DFE为等腰直角三角形；

(2)过M作MG_LAB于G,

B

设MG=h,

又YNGAM=45°,

/.AG=MG=h,由(1)知FA=CE=x,

VCB1AB,

AMG//BC,

.FGMGx+/zh

・・------=-------,RHJn---------=---------,

FBBEx+44-x

..4-x

.・h二----，

2

I4—x1

Ay=—-------=_—x2+x(0<x<4)；

224

1/、2

丁".(修)+i，

'：a=--<O

4f

・••当x=2,y有最大值i；

(3)不变，如图3,过点E作EI〃AB交AC于I,连接DM,

.'.ZEIC=ZICE=45°,

/.EI=EC=AF,

VEI/ZAB,

.'.ZFAM=ZMIE,ZMFA=ZIEM,

.'.△FAM^AEIM,

・・・ME=FM,

由(1)可得，AFDE是等腰直角三角形，

・・・DMJ_EF,

.\ZMDE=45°,ZMDC=45°+ZCDN=ZDNA,

VZDAN=ZDCM=45°,

.,.△AND^ACDM,

.AN_AD

.,.AN<M=AD<D=16.

【点拨】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似

三角形的判定和性质，二次函数的最值，等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式，作出

辅助线构造相似三角形是解本题的关键.

参考答案：

1.A

【解析】

【分析】

根据相似三角形的性质得到吆=—,得到8£>=4,AB=BD=4,过8作于，,

BDAD

根据等腰三角形的性质得到AH=340=3,根据勾股定理得到

BH=JAB=AH'W^=^，当时，P。的值最小，根据相似三角形的性质即

可得到结论.

【详解】

解：A/MBADC4,

.ADCD

~BD~'AD'

65+BD

——=-----,

BD6

解得：BD=4（负值舍去），

AAMBADC4,

,4。_8一93

,~AB~~AD~~6~2y

3

/.AC=-AB

2r

AC2=AB（AB+BC）,

=AB（AB+BC）9

...AB=4,

.•.AB=BD=4,

过8作于H,

D,

A

/.AH=—AD=3,

2

/.BH7AB2-AH?="2—32=币,

AD=3AP,AD=6f

・・.AP=2,

当PQ_LA8时，PQ的值最小，

ZAQP=ZAHB=90°,Z.PAQ=NBAH

.•.AAPQMBH,

APPQ

.•T，

4百，

PQ咚

故选：A.

【点拨】本题考