小学奥数题库《几何》-直线型-鸟头模型-2星题（含解析）

几何-直线型几何-鸟头模型-2星题

课程目标

知识点考试要求具体要求考察频率

鸟头模型C1.能够准确的理解鸟头模型的概念少考

2.灵活应用鸟头模型解决复杂的几

何问题

知识提要

鸟头模型

•概念两个三角形中有一个角相等或者互补，这两个三角形叫做共角三角形。

•特征共角三角形的面积比等于共角（相等角或者互补角）两夹边的乘积之比。

$S_{\triangleABC}\mathbin{:}S_{\triangleADE}=（AB\timesAC）\mathbin{:）（AD\times

AE）$

精选例题

鸟头模型

1.如下列图所示，三角形ABC的面积为1,且=那么三角形

345

DEF的面积是.

【答案】卷

【分析】先分别求出八KBDE、ACEF的面积，再用△ABC的面积减去这三个三角形的

面积即为^DEF的面积.

因为，AD=1AB,CF=|M,所以，4F="C,根据“鸟头定理"，ShADF^^x^ShABC=\

同理可得，SABDE=|x：x1=gSMEF=9xEx1='所以SADEF=1-2一'一方=5

2.如图.将三角形4BC的4B边延长1倍到D,BC边延长2倍到E,C4边延长3倍到F.如果三角

形ABC的面积等于1,那么三角形DEF的面积是.

［答案］18

【分析】（法1）连接AE、CD.

因为受匹=i,S^ABC=1,所以S^DBC=1,

3△DBC1

同理可得其它，最后三角形DEF的面积=18.

（法2）用共角定理因为在△ABC和△CFE中，44cB与NFCE互补，所以

S^ABC_4。,BC_lxl—l

SAFCEFC•CE4x28

又SXABC=L所以S“CE=8.

同理可得S△力。尸=6,S〉BDE=3.

所以

S&DEF=S^ABC+S〉FCE+^t^ADF+L.BDE

=1+8+64-3

=18.

3.如下列图所示，点。和？三等分x，x,R'和p'三等分丫'匕Q'和p三等分z'z.△「(?/?面积是△

PQ”面积的倍.

【答案】25

【分析】连接2T,XY,XZ，，根据鸟头模型，可以得到△尸丫2公乂?/7，］乂(22,都是4尸〃7?，的4

倍，那么可以得到平行四边形PZP'F、X'RYR、XQNQ均为△PQ7T的8倍，图中的三个小三

角形的面积都与^P'Q'R'的面积相等，那么△PQR面积是△P'Q7?'面积的8x3+1=25(倍).

4.如图，AD=DB,AE=EF=FC,阴影局部面积为5平方厘米，△4BC的面积是平方厘米.

【答案】30平方厘米

【分析】S—DE=S^DEF，

SAADE：S»ABC=(A。xAE\,(<ABxAC)

=(lx1):(2x3)

=1:6,

所以

S&ABC=5X6=30(平方厘米).

5.如下图，正方形4BCD边长为6厘米，AE=1AC,CF=^BC.三角形DEF的面积为平方厘

米.

【答案】10

【分析】由题意知

11

AE=-AC.CF=-BC,

33

可得

2

CE=-AC.

5

根据"共角定理"可得，

S〉CEF：S&ABC=(C~xCE):(CBxAC)=(1x2):(3x3)=2:9;

而

S&ABC=6x6+2=18;

所以

S〉CEF=4；

同理得，

SACDE：SXACD=2:3，

S〉CDE~18+3x2=12,

S&CDF-6

故

S&DEF=S&cEF+S&DEC-LDFC=4+12—6=10(平方厘米).

6.正方形4BCD边长为6厘米，AE=1AC,CF=^BC.三角形DEF的面积为平方厘米.

【答案】10

【分析】正方形的面积为6x6=36（平方厘米），那么根据鸟头模型可以得出

111.

S^ADE=§xS^ACD=§*Ex36=6（平方厘米），

111

S^CDF=§xSHBCD=gx2x36=6（'『方匣米），

12.

SABFE—S“BC一SACEF=18—18X-X-=14（平方厘米），

阴影局部面积为36-6-6-14=10（平方厘米）.

7.如图，P为四边形4BCD内部的点，AB-.BC-,DA=3:1:2,^DAB=^CBA=60°.图中所有

三角形的面积都是整数.如果三角形PAD和三角形PBC的面积分别为20和17,那么四边形

4BCD的面积最大是.

【答案】147

【分析】延长4D,8c交于点Q,连接PQ.

/.DAB=/.CBA=60°,所以三角形ABQ为正三角形.

由于

AB-.BC-.DA=3:1:2,

所以PCQ。的面积为

20+2+17x2=44;

而三角形QCD面积占Q4B面积的

122

—X—=—

339'

48C0面积是QCD面积的

227

（1-#§=了

注意到ABC。中各三角形面积均为整数，所以Q4B面积为9的倍数.QCD面积是2的倍数，所以

QCD面积最大为42,4BCC面积最大为

7

42X-=147.

2

8.如图，三角形4BC中，AB是4。的5倍，AC是4E的3倍，如果三角形ACE的面积等于1,那么

三角形4BC的面积是多少？

【答案】15

1x

【分析】S5SAABC=CD：（5x3）=1:15,S4ABe=15sAME=15x1=15.

9.如图，在三角形ABC中，4。的长度是BD的3倍，4c的长度是EC的3倍.三角形AEO的面积

是10,那么三角形ABC的面积是多少？

【答案】20

【分析】详解：4。是AB的：，4E是AC的j根据鸟头模型，有UDE的面积是△ABC面积的

43

-x^=|.那么△ABC的面积是20.

432

10.如图在A4BC中，。在84的延长线上，E在2C上，且4B:4D=5:2,4E:EC=3:2,SA

4DE=12平方厘米，求△ABC的面积.

【答案】50平方厘米

SAADE：S>ABC=（4DxAEy.（4BxAC）

【分析】=（3x2）:（5x5）

=6:25,

因为SMDE=12(平方厘米)，

所以S-BC=12+6x25=50(平方厘米).

11.如图，长方形的面积是16,BE=3BD,CE=CF.请问：三角形BEC的面积是多少？

［答案］3

【分加】详解：连结DF,根据鸟头模型，可知△BCE面积是△DE9面积的

313

4X2=8,

那么△8CE的面积是

13

16x—,x-=3.

28

12.如图，三角形4BC中，是AD的6倍，EC是AE的3倍，如果三角形4DE的面积等于1,那

么三角形的面积是多少？

【答案】24

【分析】SAADE；S&ABC=(1X1):(6x4)=1:24,S&ABC=24s-DE=24x1=24.

13.三角形ABC中，BD的长度是的的;，AE的长度是AC的;.三角形4ED的面积是8,那么三

角形ABC的面积是多少？

【答案】32

【分析】简答：8^gx|)=32.

14.如图，把三角形DEF的各边向外延长2倍后得到三角形ABC,三角形ABC的面积为1.三角形

OEF的面积是多少？

【答案】卷

【分析】令三角形DEF为1份，那么根据共角模型，有：

SADEF_EFXDF_1

SAAFCCFxFA6

所以三角形4FC的面积为6份，同理，三角形48。的面积为6份，三角形BEF的面积为6份.那

么三角形4BC的面积为1+6+6+6=19份，对应面积为1,所以S三角形0EF=M

15.△CEF的面积为9平方厘米，BE=CE,AD=2BD,CF=3AF,求△DE尸的亩积.

【答案】7平方厘米.

【分析】

S&CEF：SMBC=(CExCF):(CBxCA)

=(lx3):(2x4)

=3:8

—9：24,

所以三角形ABC的面积为24平方厘米一’

SABDE：SAABC=(BDxBE):(BAxBC)

=(lxl):(2x3)

=1:6

=4:24,

S—QF：S-8C=(4。x4F):(4Bx4C)

=(2x1):(3x4)

=1:6

=4:24,

所以

SGDEF=24-4-4-9=7（平方厘米）.

16.如图，三角形4BC面积为1,延长48至D,使BD=AB；延长BC至E,使CE=2BC；延长

G4至F,使4F=34C,求三角形DEF的面积.

【答案】18

【分析】生竺£=竺”=2=6,

SAXBCABXACixi

S&BDE_BDX^E_1X3_3

S^ABC~ABy.BC_1X1-'

S&CEF_CExCF_2x4_&

SAABC-BCXACixi-'

所以

S^DEFS&ADF,S^BDE,S^cEF,S*BC

-----=------1-------1-------1------

S»ABCS&ABCS&ABCS〉ABCS&ABC

=6+34-8+1

=18,

S&DEF=18s△48C=18.

17.如图在△48。中，。在BA的延长线上，E在AC上，且48:80=5:7,AE\EC=3:2,

S〉ADE=36平方厘米，求^4BC的面积•

【答案】150平方厘米

SAADE：SAABC=（4。x，E）:（ABx4C）

【分析】=[3x（7-5）]:[5x（3+2）]

=6:25,

因为S—DE=36（平方厘米），

所以S“BC=364-6x25=150（平方厘米）.

18.分别延长四边形4BCD的四个边，使得4B=BA,BC=CB',8=DC',ZM=4。'〔如下列图

所示）.如果四边形4BCD的面积是1平方厘米，请问四边形4BC7）'的面积为多少平方厘米？

【答案】5

【分析】连接BD,根据鸟头模型，可得

SAA40,=1X2XS^ABD=2SAAB。，

SACC'B'=1x2xSHBCD=2SABCD，

那么可得

S^AA'D'+SACC'B'=2s四边形48CD

连接4C,同理可得：

S^DD'C+SAB8W=2s四边形B4C0

所以整个图形的面积是

2+2+1=5（平方厘米）.

19.下列图中的三角形力BC被分成了甲（阴影局部）、乙两局部，BD=DC=4,BE=3,AE=

6.求甲局部面积占乙局部面积的几分之几.

【答案《

【分析】普=之=：,*=工=3根据鸟头模型，甲局部占整个图形面积的=g那么

BA3+63BC4+42326

甲局部占乙局部的，

20.如图，把三角形DEF的各边向外延长1倍后得到三角形4BC,三角形4BC的面积为1.三角

形DEF的面积是多少？

【答案】i

【分析】令三角形DEF为1份，那么根据共角模型，有：

S〉DEF_EFxDF_1

S〉AFCCFxFA2

所以三角形4FC的面积为2份，同理，三角形48。的面积为2份，三角形8EF的面积为2份.那

么三角形ABC的面积为7份，对应面积为1,所以S三角形的=也

21.如图，长方形4BCD的面积是48,BE-.CE=3:5,DF-.CF=1:2.三角形CFE面积是多少?

【答案】10

【分析】简答：48x|x|x1=10.

283

22.如图，AD\DB=1:4,AE\EC=1:5,如果△ABC的面积是120,那么△ADE的面积是多少？

【答案】4

【分析】简答：由条件得

AD\AB=1:5,

AE\AC=1:6,

利用“共角三角形〃性质得三角形AED的面积是

11

120X-X=4.

576

23.如图，三角形48c面积为1,延长8』至。，使得。4=4&延长C4至E,使得瓦4=2AC；

延长CB至F,使得FB=3BC,求三角形DE尸的面积？

【答案】7

【分析】

S〉ABC4BxAC

S^CEF_CEXCF

=3X4=12,

S〉ABCCAxCB

S^DBF_DBxBF

=2x3=6,

S^ABC84XCB

S&DEF=S^ADE+S^CEF-S&DBF-J^ABC

=2+12—6—1

=7.

24.如图，在梯形/BCD中，三角形ABE的面积为4.6平方厘米，BE=EF=FD,求三角形48尸、

CDF、ABD.4CD的面积.

【答案】9.2平方厘米；9.2平方厘米；13.8平方厘米；13.8平方厘米.

【分析】

S^ABF'^^ABE=(ABxFB):(ABxEB)=2,

所以

S.BF=2XS“BE=9.2(平方厘米)；

因为A/IBD和AACD同底等高，所以

S&ABD=S"CD，

因而

S>CDF=S—CD-S&AFD

~S>ABD-S&AFD

-S〉ABF

=9.2(平方厘米)；

S^ABD：S^ABE=(48xDB\.(^ABxEB)=3,

所以

S^ABD=3xS“BE=13.8;

所以

ShACD=S-BD=13.8(平方厘米).

25.如下列图所示，在三角形力BC中，8c=68。、AC=SEC.DG=GH=HE、AF=FG.请

问三角形FGH与三角形ABC的面积比为何？

【答案吗

【分析】根据鸟头模型，

_5

S"DC=gS&ABC，

_4

SAAED=g^A4DC>

_2

S—GE=S0E。，

_11

S&GHF=2X2XSAAGE，

最后可以得出

542111

SAGHF=gxgX2X2X2XS&48c=48c.

26.如图，三角形ABC的面积为3平方厘米，其中AB:BE=2:5,BC-.CD=3:2,三角形BDE的

面积是多少？

【答案】12.5平方厘米.

【分析】由于NABC+4DBE=180。，所以可以用共角定理，设48=2份，BC=3份，那么

BE=5份，8。=3+2=5份，由共角定理

S—BC：SABDE=(ABxBC):(BExBD)

=(2x3):(5x5)

=6:25,

设S“BC=6份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是

25x0.5=12.5(平方厘米)，

三角形BDE的面积是12.5平方厘米.

27.如下图，在长方形48C。中，DE=CE,CF=2BF,如果长方形力BC。的面积为18,那么

阴影局部的面积是多少？

【答案】6

【分析】简答：由于长方形4BCZ)的面积为18,可知三角形BCD的面积为9,三角形CEF的面积

为三角形BC。的面积的

121

2X3=3,

那么阴影局部的面积是

9x(1—*6.

28.如图，△ABC中，AD-.AB=2:3,AE-.AC=4:5,求：△AED的面积是△ABC面积的几分之

几？

【答案】"

^^ADE'^^ABC=(ADx4E):(4Bx4C)

【分析】=(2x4):(3x5)

=8:15,

所以△力ED的面积是^ABC面积的*

29.,AC:AE=5:1,BC:CD=4:1,BA-.BF=f>A,那么，△DEF的面积是△4BC的几分之几？

【答案】希

【分析】受空=AEXAF_1x5_1

~=二,

、4ABC"ACxAB~5X66

S&BDF_BDXBF_3X11

S^ABCBCXBA4X68

S^CDE_CD,X.CE__1X4_1

S^ABCCBXCA4X55’

S〉DEF_S&ABC-SMEF-S&BDF-^ACDE

S&ABCS&ABC

111

=1-T~~—

685

61

一面‘

30.如图，△ABC的面积是36,并且4E=*AC,CD=-BC,BF=-AB,试求△DEF的面积.

345

【答案】15

【分而详解：由鸟头模型可得，

4148

S&AEF=36X-X-=—,

1327

S^BED=36'耳乂4=可,

12

S〉CDE=36x-x-=6,

4827

S^DEF=36--6=15.

31.如图，AE=-ACfCD=-BCfBF-AB,那么也&空等于多少？

546S“BC

【答案】言

【分析】设SMBC=1-那么根据悬空=整体-空白，

S^DEF=S&ABC—^^AEF-^AFDF—^ADEC

现在分别去求S“EF、SEDF、S&DEC，由鸟头定理知道：

_(AFAE\_/51\_1

SNEF=(而X芯JSM8c=七X亍SMBC=6SAABC

同理：

_13_1

S〉ABC=%*4S08C=-SAABC

_(ECDC\_41_1

S&DEC~XS&ABC=gX4sMBC=^t^ABC

所以：’

_/111\61

S&DEF=I1-7—g-5)^^ABC=

S&DEF_61

S&ABC120

32.如图，在AABC中，0、E分另I」是48、4c上的点，且AD:4B=2:5,AE:AC=4-.7,S^ADE

=16平方厘米，求△ABC的面积.

【答案】70平方厘米

S—DE：S^ABC=("。xAE')\(^ABxAC')

【分析】=(2x4):(7x5)

=8:35,

因为S-DE=16(平方厘米)，

所以S—BC=16+8x35=70(平方厘米).

33.如图,AE=-AC,CD=-BC,BF=-AB,试求$\dfrac{\text{三角形$DEF$的面

345

积}}{\text{三角形$ABC$的面积}}$的值？

【答案】卷

【分析】S”=4EX"=山=上,

SAABCACXAB3X515

SABDF_BDxBF_1X3__3_S^DE_CDxCE_1x2_1

S&ABCBCxBA5x420S^ABCCBXCA4X36

所以

S&DEF_S—BC-―S&BDF-S&CDE

S〉ABCS&ABC

431

=1-------------------

15206

5

=12"

34.如图，长方形ABC。的面积是1,M是40边的中点，N在48边上，且2AN=BN.那么，阴

影局部的面积是多少？

【答案】"

【分析】SMBD=2,SAAMN：$AABD=(.AMxAN):(ABxAD)=1:6,S^AMN=石，所以阴影局

部的面积为5阴=»白=*

I力21Z12

35.如图，三角形ABC的面积为3,其中4B:BE=2:5,BC:CD=3:2,三角形BDE的面积是多少？

【答案】12.5

【分析】

BC:BD=3:(3+2)=3:5,Shr\DV-.ShBDDUCEt=(2X3):(5x5)=6:25,SA/,*DsLr*=

三25=^25x3=12.5.

6"DE6

36.把四边形ABCD的各边都延长2倍，得到一个新的四边形EFGH.如果ABC。的面积是5平方

厘米，那么EFGH的面积是多少？

【答案】65平方厘米

【分析】

连接80,由共角定理知：

S“BD48X401X11

SAAEHAExAH2x36'

S4BCDBCxCD1x11

S^CFGC尸xCG3x26'

S44EH+S&CFG=6S4BCD，

同理连接AC,可得:

S〉BEF+S&DGH=6SABCD，

所以S“GH=(6+6+1)*BCD=13x5=65cm2.

37.如图，三角形ABC被分成了甲、乙两局部BD=DC=4,BE=3,AE=6,乙局部面积是甲

局部面积的几倍？

【答案】5

(分析】BD:BC=4:(4+4)=1:2,BE:BA=3:(3+6)=1:3,SAfiD£:S^ABC=(lxl):(3x

2)=1：6,S〉BDE=^S^ABCfS四边形ACDE=S£^ABC-LABC=2SAABC^S^BOE：S四边形二

15

=1:5.

66

38.如图，在平行四边形4BC0中，E为48的中点，AF=2CF,三角形4尸E(图中阴影局部)

的面积为8平方厘米.平行四边形力BCD的面积是多少平方厘米？

【答案】48平方厘米

SfE/^SfBC=("ExAFy.(<ABxAC)

【分析】=(1x2):(2x3)

=1:3,

S>ABC=3s-EF=3x8=24,S四边形ABCD=2x24=48(平方厘米).

39.如图，在三角形4BC中，。为BC的中点，E为4B上的一点，且BE=171B,四边形4CDE的

面积是35,求三角形4BC的面积.

【答案】42

S&BDE：S&ABC=(BDxBE):(BCxBA)

【分析】=(lxl):(2x3)

=1:6,

那么S^BDE=々S^ABC，S四边形力COE=^^ABC-

所以：SAABC=35+5=42.

40.如下图，在直角三角形ABC中，AC的长3厘米，CB的长4厘米，4B的长5厘米，有一只小虫

从。点出发，沿CB以1厘米/秒的速度向B爬行；另一只小虫从8点出发，沿BA以1厘米/秒的速

度向4爬行.请问经过多少秒后，两只小虫所在的位置。、E与B组成的三角形DBE是等腰三角

形？(请写出所有答案)

【答案】2秒、段秒或If秒.

【分析】设经过了x秒，那么BE=x厘米，CD=x厘米，两只小虫所在的位置。、E与B组成的

三角形CBE是等腰三角形的情况有三种：

(1)以B为等腰三角形顶角所在的顶点，即BD=BE(如图1).这个最好算，BD=4-x,

BE=x,故久=4-x,解得x=2；

(2)以E为等腰三角形顶角所在的顶点，即EC=EB,如图2,从E向BD作垂线，垂足为F,

在金字塔BEFAC种，—.即工=更，所以BF=?x.利用CD+DF+FB=4列出方程x+

BABC545

%+1=4,解得(或者利用ABEF和△B4C相似，得寞=)，即£=)，所以BF=

5513BF4BF4

gx)

(3)以。为等腰三角形顶角所在的顶点，即ED=DB,如图3,从。向AB作垂线，垂足为F,

利用ABFD和△BCA相似得黑即罄=：，所以BF=：(4-x).利用BE=2B尸列出方程

BD54-X55

X=(4—%)X2,解得X=芥

综上，经过2秒或W秒或卷秒后，两只小虫所在的位置。、E与B组成的三角形DBE是等腰三角

形.

41.边长为8厘米和12厘米的两个正方形并放在一起，那么图中阴影三角形的面积是多少平方

厘米？

【答案】16.2

【分析】给图形标注字母，按顺时针方向标注，大正方形为48CD,小正方形为MNDE,EB分

别交于O,H两点，

AO:OC=AB\EC=12:20=3:5,

AH'.BC=AO.OC=3:5,

所以

AO,.AC=3:8,

AH:AD=3:5,

^AAHO'^^ADC=9:40.

因为

1、„

^hADC=2x12=72,

所以

99

S^AHO—T77^^ADC=T77x72=16.2.

4U4-U

42.如下图，正方形ABCC边长为8厘米，E是4D的中点，尸是CE的中点，G是BF的中点，三角

形ABG的面积是多少平方厘米？

【答案】12

【分析】连接4八EG.因为SACDE=（X82=16,根据“当两个三角形有一个角相等或互补时,

这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比"，SAAEF=8,SAEFG=8,再根据

，，当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘

积比，得到SABFC=16,SABFE=32,S4ABF=24,所以SAABG=12（平方厘米）.

43.如图，在△ABC中，延长4B至。，使BD=4B,延长BC至E,使CE=38C,F是4C的中点,

假设AABC的面积是2,那么F的面积是多少？

【答案】3.5

【分析】因为在A4BC和ACFE中，N4CB与NFCE互补，所以

S»ABC4C,BC2x24

S〉FCEFC,CElxl1

乂因为SMBC=2,所以SMCE=0・5.同理可得S-DF=2,S>BDE=3.

所以

S〉DEF=S^ABC+S^CEF+t^DEB—^A4DF

=2+0.5+3—2

=3.5.

44.长方形ABCD的面积为36cm2,E、F、G为各边中点，“为4。边上任意一点，问阴影局部面

积是多少？

【答案】13.5

【分析】解法一：寻找可利用的条件，连接BH、HC,如下列图：

可得：S&EHB=JS—HB、SAFHB=]S&CHB、^ADHG=£^ADHC'而SBCD=+$4CHB+

SACHD=36.

即

_1

SbEHB+S&BHF+S^DHG=2(SMHB+S>CHB+S&CHD)

1

=—x36