北师大版数学六年级下册全册教案教学设计及教学反思

北师大版数学六年级下册全册教案教学设计第一单元1.面的旋转【教学内容】面的旋转。(教材第2~4页)【教学目标】1.通过由面旋转成体的过程,认识圆柱和圆锥,了解圆柱和圆锥的基本特征,知道圆柱和圆锥的各部分名称。2.通过观察和动手操作,初步体会“点、线、面、体”之间的关系,发展空间观念。3.通过初步认识圆柱和圆锥,使学生感受数学与生活的密切联系。【重点难点】重点:在生活中辨认圆柱形和圆锥形物体。初步了解圆柱和圆锥的特征和各部分名称。难点:初步了解圆柱和圆锥的特征和各部分名称。【教具学具】长方形、三角尺、直尺、圆柱和圆锥模型等。【教学过程】一、导入师:同学们,我们生活在动的世界里,风吹树梢动,鸟儿飞翔翅膀动,就连我们身体内的血液每时每刻都在不停地流动,其实我们的数学世界也正因为有了动而变得丰富多彩。现在让我们做实验感受一下吧!(课件出示一组图片,并进行旋转)师:请同学们仔细观察,你发现了什么?生:这些图形都可以通过旋转得来。师:这就是旋转的奥妙。师:首先我们把这个小球看成一点,那么它的运动轨迹是怎样的呢?同桌讨论,然后汇报。生:曲线。师:能具体概括一下吗?生:点的运动形成一条线。师:同学们的回答非常正确,我们可用四个字来概括,那就是“点动成线”。(板书:点动成线)师:那么,如果把这支笔看成是一条线,那么它的运动轨迹形成了什么?生:面。师:能用四个字概括起来吗?生:线动成面。(板书:线动成面)师:很好,(举起课本并旋转)如果把这本数学课本看成是一个长方形,那么它是怎样运动的呢?会形成什么呢?生:旋转后形成了一个圆柱,也就是“面动成体”。(板书:面动成体)师:大家还能举出生活中的一些类似现象吗?生1:玻璃球的滚动轨迹可形成线。生2:一把直尺在桌面上作平移运动时形成的轨迹可形成面。生3:长方形的旋转可形成体。……师:看来点动成线、线动成面与面动成体在我们的生活中随处可见。这节课我们就来研究面的旋转。(板书课题:面的旋转)二、自主探究活动一:(课件出示教材第2页例1主题图)师:观察上面各图,你发现了什么?小组探讨、汇报。生1:风筝的每一个节连起来看,形成了一条直线。生2:雨刷器左右摇摆形成一个半圆形的平面。生3:一扇长方形旋转门旋转后形成一个圆柱。活动二:让学生用纸片和小棒做小旗,快速旋转小棒,观察并想象纸片旋转后所形成的图形。生1:长方形小旗旋转后形成的是圆柱。生2:半圆形小旗旋转后形成的是球。生3:直角三角形小旗旋转后形成的是圆锥。师:请同学们动手操作,然后连线。学生拿出学具实际操作,然后讨论,最后汇报。教师巡视,适时作出指导。生1:1——1(圆柱)。生2:2——3(球)。生3:3——4(圆锥)。生4:4——2(圆台)。老师予以表扬。师:请大家根据自己的观察介绍一下圆柱与圆锥分别有哪些特点?生1:圆柱有两个面是大小相同的圆,另一个面是曲面。生2:圆锥是由一个圆和一个曲面组成的。师:我们学过的长方体和正方体都是由平面围成的立体图形,今天我们学习的圆柱和圆锥也是立体图形,只是与长方体和正方体不同,围成图形的面可能有曲面。小组合作探究圆柱和圆锥的特点。学生自学第3页“试一试”中“认一认”,然后小组讨论。生1:圆柱的上下两个面叫作底面,它们是完全相同的两个圆。圆柱有一个曲面,叫作侧面。生2:圆柱两个底面之间的距离叫作高。生3:圆锥的底面是一个圆,侧面是一个曲面。生4:从圆锥顶点到底面圆心的距离叫作圆锥的高。教师结合学生的回答画出平面图进行讲解,并在图上标出各部分的名称。师:怎样测量圆柱的高呢?要注意什么呢?生1:先把圆柱竖着放平,然后用直尺测量。生2:测量时要将直尺的“0”刻度线对准圆柱的下底面。师:怎样测量圆锥的高呢?小组讨论、汇报。生1:先把圆锥竖着放平。生2:再用一块平板水平地放在圆锥的顶点上面。生3:最后竖直地测量出平板和底面之间的距离。三、探究结果汇报师:大家通过动手操作与探讨,进一步认识了点、线、面、体之间的关系,由平面图形经过旋转形成几何体以及圆柱与圆锥的特征,大家来总结一下吧!生1:点的运动形成一条线。生2:线的运动形成一个面。生3:面的运动形成一个体。生4:圆柱的两个底面是完全相同的两个圆。两个底面间的距离叫作高。圆柱有无数条高,且高的长度都相等。生5:圆柱的周围是一曲面,叫作侧面。生6:圆锥的底面是一个圆,圆锥的侧面是一个曲面,从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。圆锥只有一条高。【板书设计】面的旋转点线面体圆柱:有两个完全相同的底面(圆),有无数条长度相等的高。圆锥:底面是一个圆,侧面是一个曲面,只有一条高。2.圆柱的表面积【教学内容】圆柱的表面积。(教材第5~7页)【教学目标】1.通过想象、操作等活动,使学生知道圆柱的侧面沿高展开后是一个长方形或正方形,加深对圆柱特征的认识。2.通过具体情境和动手操作,探索圆柱的侧面积和表面积的计算方法,能正确计算圆柱的侧面积和表面积。3.根据具体情境,使学生灵活运用圆柱表面积的计算方法解决生活中的实际问题,体会数学与生活的联系,发展学生的空间观念,提高学生的动手操作能力和计算能力。【重点难点】重点:理解求表面积和侧面积的计算方法,并能正确进行计算。难点:能灵活运用表面积和侧面积的有关知识解决实际问题。【教具学具】课件、三个圆柱(其中一个圆柱的侧面展开图是正方形)、剪刀、圆规、三角尺。【教学过程】一、导入师:上节课我们认识了圆柱的一些特征,拿出你们课前制作的圆柱,谁能指着它说说我们学了圆柱的哪些知识?生1:有两个大小相同的底面。生2:有无数条高。生3:侧面是一个曲面。师:(出示一个圆柱)今天这节课咱们继续来研究圆柱,研究一下制作你们手中的这个圆柱至少需要多少平方厘米的纸,好吗?【设计意图:使学生体会圆柱在生活中有着广泛的应用,引导学生体会动手制作圆柱至少需要多大面积的纸,就是求圆柱的表面积。提出思考的主题,激发学生的学习热情】二、自主探究1.了解圆柱的底面积。让学生拿出一个圆柱,观察并回答问题。师:先来说说看,你们是怎么制作这个圆柱的?一共制作了几个面?生1:两个底面。生2:旁边还一个面。【设计意图:复习圆柱的各部分名称和圆柱的基本特征,引出圆柱表面积的含义,发展学生的空间观念】师:(手指着模型)旁边的面我们称它为侧面。那么,我们要研究的这个问题实际上就是求什么呢?你会求这三个面的面积吗?小组探讨、交流。生1:两个底面和一个侧面的面积。生2:两个底面的面积可根据圆的面积公式S=πr2求出。结合学生的回答在“两个底面”下面板书:S底=πr2。生3:侧面的面积……2.探索圆柱的侧面积和表面积。师:圆柱的底面积容易求出,但它还有一个侧面,而且还是一个曲面,它的面积该怎么求呢?(根据需要可提醒:回忆一下,你们是怎么制作这个侧面的)生1:我是用一张长方形的纸围成这个侧面的。生2:我是用一张正方形的纸围成的。师:你们的记忆力真不错,(指着刚才回答问题的同学)你的侧面是一个长方形?你的侧面是一个正方形?其他人也是这么做的吗?有不一样的做法吗?生:是……师:这样吧,咱们现在来验证一下!拿出剪刀,将你们的圆柱的侧面用自己喜欢的方式剪开,看看得到的是什么图形。(“用自己喜欢的方式剪开”可能会出现多种可能,如斜着剪、拐弯剪等,对各种可能情况的处理方式教师应该做到心中有数)学生操作,互相交流,点名学生回答。生1:我们用剪刀沿着它的高剪开,发现展开后正好是一个长方形。通过观察我们发现长方形的长就是圆柱的底面周长,长方形的宽就是圆柱的高,长方形的面积就是圆柱的侧面积。生2:平时我们可以用一张长方形纸卷成一个圆柱,所以侧面展开一定是一个长方形。师:我也来剪剪看……哎呀,怎么是平行四边形呢?你们说这是为什么啊?学生交流。生:没有沿着高剪。师:好,我就沿着高再来剪剪看……咦,这好像是正方形啊?是正方形吗?看来圆柱的侧面也有可能是……(随即将长方形、平行四边形、正方形贴在黑板上)师:其实呀,圆柱的侧面还能剪成其他不一样的形状,如我歪歪扭扭的剪,就得到一个不规则的形状。(贴在黑板上)师:不过,我们这节课需要研究的是面积,你们觉得选择哪一种来研究比较好呢?生:长方形。师:你们同意他的说法吗?生:同意……师:好的,那我们就选择长方形来研究。长方形是怎样得到的?(再次强调沿着高剪)这个长方形的面积与圆柱的侧面积是什么关系?生:长方形的面积=圆柱的侧面积(在侧面的下面板书:长方形的面积)师:长方形的面积怎么求?生:长方形的面积=长×宽。教师在长方形面积的下面板书:长×宽。【设计意图:以小组合作的方式进行探究性学习,把曲面转化为已经学习过的长方形等平面图形,通过猜想、验证和一系列的动手操作活动,使学生知道圆柱的侧面展开后可能是一个长方形,在操作中经历圆柱侧面积的探索过程,体会圆柱侧面展开图的长和宽与圆柱的底面周长和高之间的关系,获得求圆柱侧面积的方法,既发展了学生分析问题和解决问题的能力,又提高了学生的动手操作、合作学习、归纳概括的能力】师:下面我又要考考同学们的记忆力了,(老师动手围圆柱再展开)仔细回忆一下制作圆柱侧面的过程和刚才剪开侧面的过程,(出示圆柱、半展开图、展开图)这个长方形与圆柱上的哪个面有什么关系?生:长方形的长是圆柱的底面周长,长方形的宽是圆柱的高。师:那么圆柱的侧面积可以怎么求呢?公式是什么?生:我认为长方形的面积=圆柱的侧面积,且长×宽=底面周长×高,所以圆柱的侧面积=底面周长×高。(板书:S侧=Ch)师:如果不知道底面周长,只知道底面半径r,圆柱的侧面积可以怎么求呢?公式可以怎么写?生:先求底面周长,再求侧面积,即圆柱的侧面积公式可以写成S侧=2πrh。师:知道的是底面直径d呢?生:圆柱的侧面积公式可以写成S侧=πdh。师:2πr和πd都是求的什么?生:圆柱的底面周长。师:如果圆柱的侧面展开图是平行四边形,是否也适用呢?学生动手操作,动笔验证,得出了同样适用的结论。师:圆柱的表面积怎样求呢?小组交流,得出结论:圆柱的表面积=圆柱的侧面积+底面积×2。3.运用新知解决实际问题。师:如果接口不计,至少需要多大面积的纸板?说说你是怎样想的?怎样计算?生1:需要多大面积的纸板实际就是要求它的表面积,可用公式“圆柱的表面积=圆柱的侧面积+底面积×2”进行计算。生2:圆柱的侧面积=2×3.14×10×30=1884(cm2)。生3:底面积=3.14×102=314(cm2)。生4:表面积=1884+314×2=2512(cm2)。【设计意图:联系学生实际,灵活运用圆柱表面积的计算方法解决实际问题,使学生体会到数学与生活的密切联系】师:大家和我一起去看看教材第6页“试一试”吧,说一说你是怎么想的。三、探究结果汇报师:同学们,通过这节课的学习,你有什么收获?你对自己有什么评价?生1:我知道了圆柱的表面积=两个底面积+侧面积。生2:我会根据圆的面积公式S=πr2求出两个底面积。生3:根据长方形的面积计算方法,我会利用公式S侧=πdh或S侧=2πrh求圆柱的侧面积。师:今天,同学们的表现真棒,老师非常高兴。【板书设计】圆柱的表面积圆柱的侧面积=底面周长×高↓↑↑长方形的面积=长×宽圆柱的表面积=圆柱的侧面积+底面积×2S侧=ChS底=πr2无盖铁桶的表面积=一个底面积+一个侧面积3.圆柱的体积【教学内容】圆柱的体积。(教材第8~10页)【教学目标】1.结合具体情境和实践活动,了解圆柱体积的含义,进一步理解体积和容积的含义。2.通过“类比猜想——验证说明”的过程来探索圆柱体积的计算方法,掌握圆柱体积的计算方法,能正确计算圆柱的体积和解决一些简单的实际问题。3.通过把圆柱切割拼成近似的长方体,从而推导出圆柱的体积计算公式,向学生渗透转化思想,建立空间观念,培养学生的判断、推理能力和迁移能力。【重点难点】重点:理解和掌握圆柱的体积计算公式,会求圆柱的体积。难点:理解圆柱体积计算公式的推导过程。【教具学具】多媒体课件、圆柱体积计算公式的推导教具等。【教学过程】一、导入1.课件出示一个圆柱。师:我们已学过了圆柱的哪些知识?生:圆柱的特征、侧面积和表面积。师:你还想知道圆柱的什么知识?学生可能说出:圆柱的体积。师:你能说说什么是圆柱的体积吗?2.(配乐)课件出示主题图。学生思考,小组讨论。师:星期天,笑笑跟着父母去公园游玩,看到一个楼阁前面立着许多柱子,好奇地问:这么粗的柱子,需要多少木材呢?实际上是求什么?生:圆柱的体积。3.(配乐)课件出示主题图。师:一天,淘气和爸爸在家里边喝水边聊天,看着桌上的杯子,淘气问:一个杯子能装多少水呢?要求杯子能装多少水,实际上是求什么?生:杯子的容积。师:杯子的容积也就是谁的体积?生:水的体积。师:装在杯子里的水是什么形状的?生:圆柱形。师:那么要求水的体积实际上就是求谁的体积?生:圆柱的体积。师:生活中像这样的事例还有很多,它们都跟什么知识有关?生:圆柱的体积。师:这节课我们就来研究圆柱体积的计算方法。【设计意图:本环节演示操作,首先激发了学生学习数学的兴趣,进而引发了学生的动脑思考,有助于提高学生的思维能力和探究能力】二、自主探究1.实际操作,探究新知。师:回想一下,我们已经研究过哪些立体图形的体积?它们的体积是怎样计算的?长方体和正方体的体积计算公式是什么?生1:长方体和正方体。生2:长方体的体积=长×宽×高。生3:正方体的体积=边长×边长×边长。生4:长方体和正方体统一的体积计算公式是V=Sh。(板书:V=Sh)师:你能根据长方体和正方体的体积计算方法,猜想一下圆柱的体积该怎样计算吗?小组讨论、猜想。生:圆柱的体积=底面积×高。师:这一猜想是否正确呢?需要推导验证。我们可采用“转化法”验证,以前学习什么知识时运用了“转化法”?生:圆的面积。师:首先回忆一下圆的面积计算公式是怎样推导出来的?学生可能说出通过分割、拼合的方法变成长方形、平行四边形、三角形或者梯形来推导出圆的面积。这时教师要及时总结,不论是拼成哪种图形,都是把圆转化成已学过面积计算的图形,再根据转化后的图形与圆各部分之间的关系推导出它的面积。教具演示师:这是一个圆,我们把它平均分割,再拼合就变成了一个近似的平行四边形。我们还可以往下继续分割,无限分割就变成了一个近似的长方形。长方形的长相当于圆周长的一半,长方形的宽就相当于圆的半径,所以用“半周长×半径”就可以求出圆的面积,半周长就等于πr,半径是r,所以圆的面积是πr2。师:那么你们能运用“转化法”试着推导出圆柱的体积计算公式吗?学生以小组为单位进行推导验证。指名汇报,并电脑演示转化推导过程。2.探究普遍规律。师:我们可以通过分割、拼合转化成已学过面积计算公式的图形推导出圆的面积,圆柱能不能也转化成已学过体积计算公式的图形来求出它的体积呢?各小组围绕下面几个问题进行讨论:(1)圆柱可以转化为什么样的立体图形?(2)转化成的立体图形是不是平时学过的标准立体图形?怎样才能使它成为平时学过的标准立体图形?(3)转化后的体积与圆柱的体积大小是否有变化?(4)根据转化后的形体与转化前圆柱各部分间的对应关系,推导出圆柱的体积。学生讨论,教师参与小组讨论。【设计意图:本环节鼓励学生经历“类比猜想——验证说明”的探究过程,引导学生在已有知识和经验的基础上,进行大胆猜想,并充分展示学生的思维,然后引导学生设计验证方案。这样的教学为学生的主动探索与发现提供了空间,有利于学生进行观察、实验、猜测、验证、推理等数学探究活动,使学生逐步经历数学知识的形成过程】师:下面哪个小组来进行汇报?学生汇报、演示。生1:圆柱通过分割、拼合可以转化为长方体。生2:转化后的长方体不是标准的长方体,只有把圆柱无限分割才可以拼成一个近似的长方体。生3:长方体是由圆柱转化而成的,在转化的过程中,体积既没有增加,也没有减少。生4:长方体的体积等于圆柱的体积,长方体的底面积等于圆柱的底面积,长方体的高相当于圆柱的高。因为长方体的体积=底面积×高,所以圆柱的体积=底面积×高。师:以上是采用“转化法”(化曲为直)来推导验证的,还有没有其他的验证方法呢?学习教材第8页叠硬币法,这种方法又叫积分法。师:无论是转化法还是积分法,都验证了大家的猜想是正确的——圆柱的体积=底面积×高。师:如果圆柱的体积用V来表示,底面积用S表示,高用h来表示。用字母如何表示圆柱的体积计算公式呢?生:V=Sh。(板书:V=Sh)【设计意图:本环节通过学生动手操作、合作交流及教师的演示,从多渠道推导出圆柱的体积计算公式。在整个学习过程中,学生始终处于积极主动的探索状态,不仅学会了知识,还知道了怎样去学】师:要想求圆柱的体积必须要知道什么条件?生:底面积和高。师:如果已知底面半径、直径、周长和高,怎样求体积?3.深化体验。课件出示教材第8页主题图及问题。(1)笑笑了解到一根柱子的底面半径为0.4m,高为5m。你能算出它的体积吗?点名学生分别回答下面的问题。师:这道题已知什么?要求什么?能不能根据公式直接计算?生:已知底面半径和高,求体积,可以根据V=πr2h直接计算。同桌交流,共同解答。V=πr2h=3.14×0.42×5=2.512(m3)(2)从水杯里面量,水杯的底面直径是6cm,高是16cm,这个水杯能装多少毫升水?学生试做、汇报。三、探究结果汇报师:通过大家的动手操作,运用分割、拼合的方法推导出了圆柱的体积计算公式,大家来总结一下吧!生:可根据公式V=Sh求出圆柱的体积。【板书设计】圆柱的体积长方体的体积=底面积×高↓↓↓圆柱的体积=底面积×高↓↓↓V=S×h4、圆锥的体积【教学内容】圆锥的体积。(教材第11~12页)【教学目标】1.结合具体情境和实践活动,了解圆锥的体积和容积的含义,进一步体会物体体积和容积的含义。2.经历“类比猜想——验证说明”的过程,探索求圆锥体积的计算方法,掌握圆锥体积的计算方法,能正确利用圆锥的体积解决一些简单的实际问题。3.通过推导圆锥的体积计算公式,培养学生初步的空间观念、动手操作能力和逻辑思维能力。【重点难点】重点:圆锥体积计算公式的推导过程。难点:正确理解圆锥的体积计算公式。【教具学具】1.多媒体课件。2.等底等高、等底不等高、等高不等底的圆锥和圆柱共六套,细沙或水,实验报告单,带有刻度的直尺,绳子等。【教学过程】一、导入1.夏天,森林里闷热极了,小动物们都热得喘不过气来。小白兔去“动物超市”购物,在熊伯伯那儿买了一根圆柱形雪糕。这一切都被躲在一旁的狐狸看见了,它就去熊伯伯那儿买了一根圆锥形雪糕。小白兔刚张开嘴,满头大汗的狐狸拿着一个圆锥形雪糕一溜烟跑了过来。(图中的圆柱形和圆锥形雪糕是等底等高的)引导学生围绕问题展开讨论。问题一:狐狸狡猾地问:“小白兔,用我手中的雪糕跟你换,怎么样?”(如果这时小白兔和狐狸换了雪糕,你觉得小白兔有没有上当)问题二:(动画演示)狐狸手上又多了一个同样大小的圆锥形雪糕。(小白兔这时和狐狸换雪糕,你觉得公平吗)问题三:如果你是小白兔,狐狸手中的圆锥形雪糕有几个时,你才肯与它交换?(把你的想法与小组同学交流一下,再向全班同学汇报)过渡:小白兔究竟跟狐狸怎样交换才公平合理呢?学习了“圆锥的体积”后,你就知道答案了。【设计意图:在引入新知时,创设了一个有趣的童话情境,使枯燥的数学问题变为活生生的生活现实,让数学课堂充满生命活力。学生在判断公平与不公平中蕴含了对等底等高圆柱和圆锥体积关系的猜想,他们在这一情境中敢猜想、要猜想、乐猜想,在猜想中交流,在交流中感悟,自然地提出了一些富有挑战性的数学问题,从而引发了学生进一步探究的强烈欲望】2.课件出示教材第11页主题图。师:根据以上图片,你能获得哪些数学信息?生1:小麦堆是圆锥形的。生2:笑笑想知道这堆小麦的体积是多少。师:那我们怎样才能帮助笑笑解决这个问题呢?生:计算这堆小麦的体积,实际上就是要计算这个圆锥的体积。师:今天就利用我们学过的知识探讨新问题,学习怎样计算圆锥的体积。(板书:圆锥的体积)二、自主探究1.探讨圆锥的体积计算公式。师:怎样探讨圆锥的体积计算公式呢?在回答这个问题之前,请同学们先想一想,我们是怎样推导圆柱体积计算公式的?生:长方体的底面积=圆柱的底面积,长方体的高=圆柱的高,因此圆柱的体积=底面积×高。师:我们可以借鉴这种方法。为了我们研究圆锥体积的方便,我准备了一个圆柱和一个圆锥。我做你们看,说说它们有什么联系?(教师演示)(1)师:你发现了什么?(这个圆柱和圆锥的形状有什么关系)生:底面积相等,高也相等。师:底面积相等,高也相等,用数学语言说就叫等底等高。(板书:等底等高)(2)师:既然它们是等底等高的,那么我们就跟求圆柱体积一样,就用“底面积×高”来求圆锥的体积行不行?为什么?生:不行,因为圆锥的体积小。师:(把圆锥套在透明的圆柱里)是啊,圆锥的体积小,那你估计一下它们的体积大小有什么样的关系呢?(指名发言,说出自己的猜想)生1:2倍。生2:3倍。师:我有一个实验,能知道这个答案,你们想不想试试看。师生合做实验。(出示课前准备的沙子)师:下面我们利用实验的方法来探究圆锥体积的计算方法。老师准备了两个圆锥形容器、两个圆柱形容器和一些沙子,你们觉得这个实验要怎么做呢?生:实验时,先往等底等高的圆柱(或圆锥)容器里装满沙子(用直尺将多余的沙子刮掉),倒入圆锥(或圆柱)容器里,看能倒几次。师:你们猜能倒几次?(不给答案,保留兴趣与吸引力)生1:1次。生2:2次师:先倒一个圆锥的沙子,请你们观察一下,要不要改变你们刚才的猜想?学生会发现猜两倍的太少了。师:要不要再猜一次?再倒一个圆锥的沙子,再让学生一起观察。师:怎样,这时你怎么想的?这时学生的猜想会更接近答案,但不一定准确,不过思想会进一步升华。师:你们觉得再倒一次能倒得下吗?再倒一次你会得出什么结论?学生实验,完成回报。生1:倒3次倒不下,圆柱的体积是圆锥体积的3倍多一点。生2:倒3次倒不满,圆柱的体积是圆锥体积的3倍少一点。生3:倒3次正好倒满,圆柱的体积是圆锥体积的3倍。师:真聪明,通过刚才的实验我们发现圆柱的体积是圆锥体积的3倍。【设计意图:圆锥体积计算公式的推导,教师要敢于大胆放手让学生自主探索,经历“再创造”的过程。学生在教师的引导下,通过观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动,积极主动地探索等底等高的圆柱与圆锥体积间的关系,进而推导出圆锥体积的计算公式。特别是数学交流体现得很充分,有学生与教师之间的交流、学生与学生之间的交流以及小组和大组的多向交流,这种交流是立体、交叉型的,它能催化学生的知识建构。在有的小组实验失败后,引导学生在反思中不断进行自我调控,在调控中增强了体验的力度,有效培养了学生的认知能力】引导学生再次验证操作:出示另外一组大小不同的圆柱和圆锥进行体积大小的比较。师:通过比较你发现了什么?生:不是任何一个圆锥的体积都是任何一个圆柱体积的三分之一。教师拿起一个小圆锥和一个大圆柱。师:如果教师把这个小圆锥里装满沙子,往这个大圆柱体里倒,倒三次能倒满吗?生:不能。师:为什么?生:因为只有等底等高的圆柱和圆锥才可以倒满。师:现在我们得到的这个结论就更完整了。今后我们求圆锥体积就用这种方法来计算。2.运用知识解决实际问题。课件出示教材第11页小麦堆图片。师:如果小麦堆的底面半径是2m,高为1.5m。笑笑的问题,谁能帮她解决呢?三、探究结果汇报师:通过猜想、验证的方法我们推导出了圆锥的体积计算公式,掌握了圆锥体积的计算方法,大家来总结一下吧。【板书设计】圆锥的体积圆锥的体积是其等底等高圆柱体积的三分之一5、练习一【教学内容】圆柱和圆锥的整理与复习。【教学目标】1.通过整理与复习,使学生进一步认识圆柱和圆锥的特征,熟练掌握圆柱的表面积和体积以及圆锥体积的计算方法。2.使学生能用所学知识解决实际问题,提高解决实际问题的能力,进一步发展学生的空间观念。3.引导学生在解决实际问题的过程中感受数学与生活的密切联系。【重点难点】知识的整理和疏导。【教具学具】课件,“圆柱和圆锥的整理与复习”的表格。【教学过程】一、复习旧知1.一个长方形以它的一边条为轴,旋转一周将得到一个什么形状的立体图形?(板书:圆柱)引导学生观察长方形的长、宽与圆柱的联系。2.一个直角三角形以它的一条直角边为轴,旋转一周将得到一个什么形状的立体图形?(板书:圆锥)引导学生观察直角三角形的两条直角边与圆锥的联系。3.谈话:圆柱和圆锥是本单元学习的内容,今天我们共同把这部分内容进行整理与复习。(板书课题:圆柱和圆锥的整理与复习)4.师:我们都学过哪些立体图形?怎样计算它们的体积?生1:长方体的体积=长×宽×高V长=abh生2:正方体的体积=棱长×棱长×棱长V正=a3生3:圆柱的体积=底面积×高V柱=Sh生4:圆锥的体积=13×底面积×高V锥=1师:这节课我们就利用这些知识来解决一些生活中的实际问题。二、共同参与、展示、评议1.谈话引入:同学们在课前已经对这部分知识进行了梳理,下面以小组为单位,互相交流,看谁整理得既全面又合理。要求:(1)重点要突出,简洁有条理。(2)能体现知识点之间的联系和区别。2.小组内展示。3.汇报评议:推荐代表展示整理的知识网络结构,引导学生参与评论,提出自己的意见。在评议过程中,尽量让学生发表自己的见解,使整理的方法逐步趋于完善。4.教师出示“圆柱和圆锥的整理与复习”的表格,与学生一起依据表格进行口头复习。三、运用知识解决问题1.一个圆锥形冰淇淋,底面半径是3厘米,高是15厘米。据统计,每立方厘米冰淇淋可以产生5.02焦耳的热量。这个圆锥形冰淇淋大约可以产生多少焦耳的热量?(得数保留整数)师:求“圆锥形冰淇淋产生多少焦耳的热量”就是要求圆锥形冰淇淋的什么?生:体积。师:怎样来求呢?生:先要求出圆锥的底面积,然后根据圆锥的体积公式计算出圆锥的体积。学生解答。2.一根底面直径为4厘米的圆柱形铁条,截下2分米长的一段再铸成与它等高的圆锥,铸成后圆锥的底面积是多少?如果每立方厘米铁重7.8克,这个圆锥大约重多少克?(得数保留整数)学生交流解题思路,汇报。生:根据等底等高的圆柱与圆锥的体积关系可知,体积相等的圆柱和圆锥,当高也相等时,圆锥的底面积应是圆柱底面积的3倍,因此,求出圆柱的底面积后乘3即可得到圆锥的底面积。再利用圆锥的体积计算公式求出其体积,最后求圆锥的质量。教师强调:求圆锥体积时别漏乘13学生解答。3.圆柱和圆锥的体积和高分别相等,已知圆柱的底面周长是25.12分米,求圆锥的底面积。学生交流解题思路。师:根据题意可知,圆柱与圆锥的体积和高分别相等,那么它们的底面积有什么关系呢?生:根据前面所学的知识,我们知道等高等体积的圆柱和圆锥,圆锥的底面积是圆柱底面积的3倍。此题先要根据圆柱的底面周长求出半径,再用半径求出圆柱的底面积,最后用圆柱的底面积乘3求出圆锥的底面积。教师板书:圆柱的半径:25.12÷3.14÷2=4(分米)圆柱的底面积:3.14×42=50.24(平方分米)圆锥的底面积:50.24×3=150.72(平方分米)答:圆锥的底面积是150.72平方分米。【板书设计】圆柱和圆锥的整理与复习名称图形特征表面积公式体积公式圆柱两个相同的圆形底面,侧面沿高展开后是一个长方形,长方形的长等于圆柱的底面周长,宽等于圆柱的高S侧=ChS表=Ch+2πr2V=Sh=πr2h圆锥底面是一个圆,侧面是一个曲面,顶点到底面圆心的距离是高,只有一条高V=13Sh=13πr第二单元1、比例的认识【教学内容】比例的认识。(教材第16~18页)【教学目标】1.使学生理解比例的意义,能应用比例的意义判断两个比能否组成比例,认识比例中各部分的名称。2.通过观察、比较、计算、讨论、推理、概括、归纳等方式,使学生自主获取知识,全面参与教学活动。3.引导学生在实际生活中发现数学的存在,并在实际生活中感受数学的趣味,提高学生学习数学的积极性。【重点难点】重点:理解比例的意义,能应用比例的意义判断两个比能否组成比例。难点:通过对比和比例的比较,使学生深刻体会比例的意义。【教具学具】课件。【教学过程】一、导入1.同学们,我们已经学习了有关比的知识,请同学们回忆一下,关于比你有哪些了解?2.课件出示教材第16页主题图。下面请同学们联系比的知识,想一想图中怎样的两张图片像?怎样的两张图片不像呢?请大家先分别写出每张照片长和宽的比,并把这两个比化简或算出比值,然后看一看有什么发现?二、自主探究1.比较发现。师:请同学们说一说图A、B、D中每幅图片长和宽的比分别是多少?比值呢?生1:6∶4、3∶2、12∶8。生2:6∶4=1.5、3∶2=1.5、12∶8=1.5。师:说一说图C、E中每幅图片长和宽的比分别是多少?比值呢?生1:3∶8、12∶2师:我们再来看一看图D和图A两张图片长与长、宽与宽比是多少?比值是多少?生1:12∶6、8∶4。生2:12∶6=2、8∶4=2。师:那么再来算一下其他任意两张图片的长与长、宽与宽比是多少?比值是多少?同桌进行计算。师:你有什么发现?(学生思考一会)生1:根据每幅图片的长与宽的比可知比值相等的图片就像,也就是图片A、B、D像。生2:比值不相等的图片不像,也就是图片C、E不像。2.引导探索。师:我们继续观察上面几幅图片。两幅图片长与宽的比值相等,说明这两个比怎样?生:比值相等,这两个比也就相等。师:比值相等的两个比可以用等号连接。(板书:6∶4=3∶2或4∶6=2∶3)师:想一想,你还能找出一些比,也用像这样的式子来表示吗?生1:6∶3=4∶2。生2:3∶6=2∶4。师:说说你是怎样想的?生1:6∶3=2,4∶2=2,所以6∶3=4∶2。生2:3∶6和2∶4的比值相等,所以3∶6=2∶4。师:你们的理由都很充分,老师也想到了一个式子“4∶3=6∶2”你们认为老师想到的式子正确吗?生:不正确。4∶3和6∶2的比值不相等,不能用等号连接。(教师对该学生的回答予以肯定)师:上面三个正确的式子有什么共同的特征?生1:都是由两个组成。生2:两个比的比值相等。生3:都由四个数组成。师:像这样的式子有个名字,叫作比例。谁能根据自己的理解说说什么是比例?生1:有两个比组成的等式,叫作比例。生2:比例是有两个比值相等的比组成。生3:两个比值相等的比写成等式,叫作比例。师:我们看看书上是怎样给比例下定义的?生齐读:表示两个比相等的式子叫作比例。(板书:比例)师:你认为这个定义中哪些词比较关键?生1:两个比。生2:相等。3.自主探索。师:我们知道,比有前项、后项,比例的各部分也有自己的名字。同学们你们都知道吗?(学生看书自学比例各部分名称)生:在一个比例中,两端的两项叫作比例的外项,中间的两项叫作比例的内项。师:谁能上台来根据上面的比例来讲解一下?学生说出后,根据学生汇报,教师板书。师:你看,在6∶4=3∶2这个比例中,内项和外项分别是谁?生:内项是4、3,外项是6、2。师:4∶6=2∶3呢?生:内项是6、2,外项是4、3。师:你们知道吗,比例除了一般写法外也可以写成分数形式?(引导学生观察)同桌交流。生:内项是6、8,外项是12、4。师:请同学们想一想,刚才我们是怎样判断两个比能否组成比例的?生:如果两个比化简后相同或它们的比值相等,那么这两个比就能组成比例。师:那么谁能说出一个比例?学生会说出很多个,重点板书有错误的几个,并进行订正。师:我们刚才一直在强调比和比例的联系,先写出了比,然后又组成了比例,你觉得比和比例一样吗?比和比例它们有什么区别?(小组交流)生1:不一样。生2:形式不同。因为比由两个数组成,比例由四个数组成。生3:意义不同。因为比表示两个数相除,比例表示两个比相等的式子。4.学以致用。师:很好!你们说得非常正确。那么,你们知道学习比例的意义有什么用呢?生:可以判断两个比是否可以组成比例。师:既然这样,我们来看一个问题。(课件出示教材第16页第3个问题)根据蜂蜜和水的配比表中提供的数据,你能写出四个比吗?(同桌两人讨论)生1:我先来!蜂蜜水A中的蜂蜜与蜂蜜水B中的蜂蜜的比3∶2,蜂蜜水A中的水与蜂蜜水B中的水的比15∶10。生2:蜂蜜水A中的水与蜂蜜的比10∶2,蜂蜜水B中的水与蜂蜜的比15∶3。师:那么这四个比它们能分别组成两个比例吗?为什么?(学生思考,小组讨论)生1:能。因为3∶2=1.5,15∶10=1.5,这两个比的比值相等,所以能组成比例3∶2=15∶10。生2:10∶2=5,15∶3=5,比值也相等,所以能组成比例10∶2=15∶3。结合学生回答,教师板书:①蜂蜜水A中的蜂蜜与蜂蜜水B中的蜂蜜的比是3∶2,二者水与水的比是15∶10。3∶2=1.515∶10=1.5比值相等所以能组成比例3∶2=15∶10。②蜂蜜水A中的水与蜂蜜的比是10∶2,蜂蜜水B中的水与蜂蜜的比是15∶3。5.判断两个比能否组成比例。师:请同学们想一想,刚才我们是怎样判断两个比能否组成比例的?生:如果两个比化简后相同或它们的比值相等,那么这两个比就能组成比例。师:刚才,你们是先求出比值再判断两个比能否组成比例。我不是这样想的,可以很快就判断出,想知道其中的秘密吗?其实秘密就藏在比例的两个内项和两个外项之中,它们两者之间可是存在着一种奇妙的关系,你想揭开这个秘密吗?那就请你以12∶6=8∶4为例,看看能不能发现这个关系!全班交流。生1:通过计算,在比例12∶6=8∶4中,两个内项6×8=48与两个外项12×2=48。生2:我也试了,其他比例的两个外项与两个内项的积也是相等的,如15∶5=9∶3……生3:所有的比例都具有两个外项与两个内项的积相等的规律。师:下面我们可以采用举例验证的方法进行验证,这可是一种非常好的数学方法。那现在,咱们就看一下教材第17页“试一试”第1题,先写出前面学习的几个比例再验证看看,是不是所有的比例都是两个外项的积等于两个内项的积。(学生独立验证)生1:12∶6=8∶46∶4=3∶23∶2=15∶1010∶2=15∶3。生2:我发现了12×4=6×8,6×2=4×3,3×10=2×15,10×3=2×15。师:谁还能任意写出几个比例验证一下吗?生1:15∶12=10∶8,15×8=12×10。生2:1.5∶0.5=3∶1,1.5×1=0.5×3。师:根据上面的观察、验证,你们发现了比例的什么规律?生:在比例里,两个外项的积等于两个内项的积。指导学生学习与教材有关内容。三、探究结果汇报师:大家通过动手操作、交流想法,进一步理解了比例的意义,掌握了判断两个比能否组成比例以及验证比例是否正确的方法,大家来总结一下吧。生1:就看两个比的比值是否相等,如果比值相等,那么这两个比就能组成比例。生2:可根据“两个外项的积等不等两个内项的积”进行验证。【板书设计】比例的认识表示两个比相等的式子叫作比例。6∶4=3∶212∶6=8∶4可以写成126=812∶6=8∶46∶4=3∶23∶2=15∶1010∶2=15∶312×4=6×86×2=4×33×10=2×1510×3=2×15比例的基本性质:在比例中,两个外项的积等于两个内项的积。2.比例的应用【教学内容】比例的应用。(教材第19~20页)【教学目标】1.使学生理解解比例的意义,会根据比例的基本性质解比例。2.联系学生的生活实际创设情境,体会解比例在生产生活中的广泛应用。3.利用所学知识解决生活中的问题,进一步培养学生综合运用知识的能力及情感、价值观的发展,感受学习数学的乐趣,增强学习的兴趣和自信。【重点难点】重点:使学生自主探索出解比例的方法,并能解出比例中的未知项。难点:用比例解决生活中的实际问题。【教具学具】课件、汽车玩具、小人书等。【教学过程】一、情境导入师:同学们,我们知道原始的商品交换形式不是以货币为媒介的,而是以物易物的交换方式进行的,按一定的比例交换自己所需物品的,其实现在人们有时还会用这种“物物交换”的古老方式进行交换。(出示教材主题图)你看淘气和奇思就是这样交换的。师:根据以上主题图,你能获得哪些信息?生1:淘气有14个玩具汽车。生2:奇思想用4个玩具汽车换10本小人书。师:那我们怎样才能帮助奇思解决这个问题呢?小组交流、讨论、汇报。生1:可以分步进行交换,14里面有3个4,也就是说能换3个10本,即30本小人书。还余2个玩具汽车。结合学生的回答,教师板书。师:现在假设14个玩具汽车可以换x本小人书,你能用比例知识解答吗?今天我们就来研究这个问题。(板书:比例的应用)二、自主探究师:“4个玩具汽车换取10本小人书”这种交换方式是不变的,因此我们可以根据比例的意义列出比例,你们试一试吧!小组合作、汇报。生:4∶10=14∶x。师:这样,在这组比例的四个项中,我们知道其中的几个项?还有几个项不知道?生:知道其中三个项,还有一个项不知道。师:不知道的这个项,我们把它叫作未知项。在板书下面加上“未知项”三个字。师:像这样,知道比例中的任意三项,求另外一个未知项的过程叫作解比例。同学们能用以前学过的知识求出4∶10=14∶x中x的值吗?引导学生先独立思考,再组织学生合作交流。生1:把比看作除号,那么4∶10=14∶x就可以转化成4÷10=14÷x。生2:把4∶10=14∶x转化成4x=10×14来解。师:非常好,下面请一个同学解释一下4∶10=14∶x转化成4x=10×14来解,依据是什么?生:根据两个内项的积等于两个外项的积。师:同学们会解方程吗?把这个方程解出来。在全班学生独立解答的同时,由一名学生在黑板上解答。师:这个未知项是多少呀?(35)对了,14个玩具汽车可以换35本小人书。我们解答得对不对呢?可以怎样检验呢?生1:若两个比的比值相等,则x值正确。4∶10=0.414∶x=14∶35=0.4比值相等x值正确生2:若两个内项的积等于两个外项的积,则x值正确。4x=4×35=14010×14=140两个内项之积等于两个外项之积x值正确师:说一说你是怎样解比例的?生:解比例可以根据“两个内项的积等于两个外项的积”把比例转化成方程,然后用解方程的方法求出未知数x。师:大家已经掌握了解比例的方法,那就请你来试一试吧!课件出示下面的比例。24∶0.3=x∶0.4师:这两个比例你能解答吗?第2个比例形式上与上面的有什么不同?生:这个比例是分数形式。师:你能指出这个比例的内项和外项吗?生:等号左边分数的分子以及右边分数的分母是外项,其他的是内项。结合学生回答,教师板书。师:通过小组的回忆与探讨,进一步理解了比例的意义,掌握了列比例、解比例的方法,并对求出比例中x的值进行了检验,大家来总结一下吧。生1:根据比例的意义列出比例。生2:解比例的关键就是根据“两个内项的积等于两个外项的积”把比例转化为方程,并根据解方程的方法进行解答。生3:求出未知数的值后,代入方程进行检验。【板书设计】比例的应用4∶10=14∶x解:4x=10×14x=3524:0.3＝X：0.4X：4＝3.5:7解:0.3x=24×0.4解:7x=3.5×4x=9.6÷0.3 7x=14x=32x=23、比例尺【教学内容】比例尺。(教材第21~23页)【教学目标】1.结合具体情境,认识比例尺;能根据图上距离、实际距离和比例尺中的任意两个量求第三个量。2.运用比例尺的有关知识,通过测量、绘图、估算、计算等活动,学会解决生活中的一些实际问题。3.运用比例尺的有关知识,通过小组合作、实践操作,学会解决生活中的一些实际问题,进一步体会数学与日常生活的密切联系。【重点难点】重点:理解比例尺的意义。难点:能熟练解答比例尺的有关问题。【教具学具】多媒体课件、直尺、一些比例尺不同的地图或校园平面图。【教学过程】一、情境导入师:老师的手中有几张图片,你们想不想看一看?生:想!(出示大小不同的中华人民共和国版图)师:这是我们中华人民共和国的版图。仔细观察这张图片,看一看它发生了怎样的变化?生:缩小。师:同学们观察得真仔细啊!再仔细观察这张图片,又发生了怎样的变化?生:扩大。师:在缩小与扩大的变化中,这张图片是从整体发生变化还是从局部发生了变化呢?生:这张图片在整体上都发生了缩小或扩大相同倍数的变化。师:在整体变化中,图片缩小和扩大的倍数相同吗?生:相同。师:说得好极了!在现实生活中,有时需要把实际物体缩小或扩大若干倍后画到图纸上。你能举出这样的例子吗?生1:我们学校的平面图就是缩小若干倍后画到图纸上的。生2:小蚂蚁图片是扩大若干倍后画到图纸上的。师:你知道这是把实际物体扩大还是缩小了呢?生1:学校缩小了。生2:小蚂蚁扩大了。师:(课件出示:中国地图)这是把实际物体缩小若干倍后画到图纸上的。(课件出示:螺丝钉)像螺丝钉这样很小的机器零件,我们为了研究的方便,常常把它扩大若干倍后再画到图纸上。这些都需要确定图上距离和实际距离的比,这就是比例的知识在实际生活中的一种应用——比例尺,它是表示图上距离与实际距离的比,今天我们就来学习这方面的知识——比例尺(板书课题)。二、自主探究1.课件出示主题图,引导观察。师:(出示教材第21页第1个问题)我这里还有一张淘气和笑笑分别画的图。他们画得合理吗?与同伴交流一下。小组讨论、汇报。2.引导探索。师:在笑笑画的这幅图上你们发现了什么?生:在图的右上方有“1厘米表示100米”。师:观察真仔细!1厘米表示100米是什么意思?生1:图上1厘米长的线段表示实际100米,即10000厘米。生2:表示实际距离是图上距离的10000倍。生3:这幅图的比例尺就是1∶10000。师:因为在绘制地图和其他平面图时,经常要用到“图上距离和实际距离的比”,我们就给它起一个名字叫作比例尺。常把比例尺写成前项是1的最简单整数比。师:你们在什么地方看到过比例尺?生1:在中国地图上。生2:在世界地图上。生3:在房屋设计图上。3.自主探索。出示教材第21页例题。让学生读题,指名回答。师:这道题告诉我们什么?生:在学校的东北角方向400米处,有一个社区活动中心。师:要我们做什么?生:求图上距离。(板书:图上距离)师:实际距离、比例尺分别是多少?生:实际距离是400米,比例尺是1∶10000。师:怎样标出社区活动中心的位置呢?生:先求出图上距离,即400米=40000厘米,40000÷10000=4(厘米)。所以社区活动中心在学校的东北方向4厘米处。(在学校的东北方向4厘米处标出社区活动中心的位置)【设计意图:运用实例,让学生从多角度、多方位理解比例尺的实际含义。同时,借助于学生对比例尺的多角度理解,让学生灵活地选择解决方法,体现了“以人为本、和谐发展”的教育理念,既让不同的学生学不同的数学,又使不同的学生得到不同的发展】师:(出示中国地图)谁能说出中国地图是根据什么画在这么小的图上的。生1:根据比例尺。生2:图上距离和实际距离的比。【设计意图:用学生熟悉的中国地图,既能提高他们的爱国热情,又学会了应用比例尺计算图上距离和实际距离,使学生感觉到数学就在自己身边。同时,在矛盾冲突中培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力,进一步加深学生对比例尺意义的理解】师:(出示比例尺不同的地图和校园平面图)说出它们的比例尺各是多少,表示什么意思。师:知道了一幅图的比例尺,我们可以解决哪些问题?生1:根据图上距离可以求出实际距离。生2:根据实际距离可以求出图上距离。师:通过观察,你们发现比例尺有什么特点?生3:比例尺是一个比,不应带计量单位。生4:求比例尺时,前、后项的长度单位一定要化成同级单位,如10厘米∶10米,要把后项的米化成厘米后再算出比例尺。生5:地图上的比例尺一般写成前项是“1”的比,如果写成分数形式,分子也应化简成“1”。4.探讨线段比例尺。师:(出示教材第21页第4个问题)这个比例尺与前面的比例尺有什么不同?生:前面的比例尺是用数字表示的,这里是用线段表示的。师:这种表示方法叫线段比例尺,你知道它表示的意义吗?生:表示图上距离1厘米相当于实际距离90千米。师:比例尺、图上距离和实际距离三者之间有怎样的关系?生1:图上距离∶实际距离=比例尺生2:图上距离÷比例尺=实际距离生3:实际距离×比例尺=图上距离学生独立完成教材第22页“试一试”,老师巡视、辅导。三、探究结果汇报师:我们大家通过动手操作、交流想法,掌握了运用比例尺解答有关问题的方法,大家来总结一下吧。生1:知道比例尺,可以根据实际距离求出图上距离。生2:知道比例尺,可以根据图上距离求出实际距离。生3:知道图上距离与实际距离,也可求出这幅图的比例尺。【板书设计】比例尺图上距离与实际距离的比叫作这幅图的比例尺。图上距离∶实际距离=比例尺图上距离÷比例尺=实际距离实际距离×比例尺=图上距离4、图形的放大和缩小【教学内容】图形的放大和缩小。(教材第24~25页)【教学目标】1.通过观察和操作,体会图形按一定的比放大或缩小的实际意义。2.提高学生观察、分析问题及动手操作的能力。3.激发学生学习数学的兴趣,培养学生独立解决实际问题的能力。【重点难点】重点:把图形按一定的比放大或缩小。难点:会把图形按一定的比放大或缩小。【教具学具】课件、作业纸、直尺、透明方格纸。【教学过程】一、情景导入师:老师前几天拍了几张照片,拿来给同学们欣赏一下。(出示缩小后的图片)能看清吗?生:太小了看不清。师:怎么办呢?(把图片慢慢放大,放大到原来的3倍)师:现在为什么看得这么清楚了?生:照片被放大了。师:其实在生活中由于很多物体太小,我们要看清楚需要把它们放大。师:还想看照片吗?(出示一张放大得看不清的照片)师:看得清吗?怎么办?生:把照片缩小。师:真不错!我们今天就一起来研究图形的放大和缩小。(板书:图形的放大和缩小)二、探究新知师:现在老师这里有一个问题。(出示教材第24页第1个问题)师:仔细观察,数一数,这个长方形的长、宽各是多少?生:长方形的长是6个方格,宽是3个方格。师:让我们再来看一下要求什么?生:按4∶1的比画出这个长方形放大后的图形。师:题中的4∶1是什么意思?生1:表示把图形放大到原来的4倍。生2:比例尺的前项是图上距离,我认为4∶1表示把长方形的边长扩大到原来的4倍。师:同学们都说得非常好,那请大家再想一想,应该怎样来画呢?生:把长方形的长和宽分别扩大到原来的4倍,原来的长是6格,放大4倍后应该画24格;原来的宽是3格,放大4倍后应该画12格。师:好,请大家按4∶1的比画出放大后的长方形。学生交流、画图,教师巡视。生:先在方格纸上画出一组邻边,再根据长方形的两组对边平行且相等的特点画出另一组邻边,就画出了放大后的长方形。师:如果换成一个直角三角形(两条直角边分别占6格、3格),你们有信心完成吗?生:有!师:那你们还是按4∶1画,可以吗?学生交流、画图,教师巡视。师:说一下,你是怎样画的?生:三角形的一条直角边是6格,放大4倍后是24格;另一条直角边是3格,放大4倍后是12格。先画出这个直角三角形的两条直角边,再画斜边,就画好了放大4倍后的三角形。师:刚才我们按4∶1的比把图形放大,就是把图形的各边按相同的比放大,得到放大后的图形。下面请大家再认真观察一下放大前后的两个图形,你发现了什么?生:图形的形状没有变化,只是大小发生了变化。……师:说得不错!图形的各边按相同的比放大后,得到的图形大小变化了,形状不变。师:把一个图形放大我们已经研究过了,下面我们来研究图形的缩小。(出示教材主题图)如果把“巨人”用过的三角尺按1∶4的比画出来,图形会发生什么变化?你是怎样理解的?师:应该怎样来画呢?学生独立思考、画一画,教师巡视,对有困难的学生及时指导。师:请一名同学向大家介绍一下自己的画法。师:好,让我们再来看缩小前后的图形,你有什么发现?生:图形缩小了,但形状没变。师:同学们都说得很好,图形的各边按相同的比放大、缩小,图形的大小发生了变化,形状没变。(板书:图形的大小发生了变化形状没变)三、探究结果汇报师:通过小组间的探讨,初步掌握了图形放大或缩小的方法,大家来总结一下吧。生1:把一个图形按一定的比放大或缩小,就是把图形的各边按一定的比放大或缩小。生2:图形的各边按相同的比放大、缩小后,图形的大小发生了变化,形状没变。生3:只有长和宽按照相同的比来画,或者所画图形的各边与原图各边的比相同,才能画的像。【板书设计】图形的放大和缩小图形按一定的比放大时,对应线段长的比相等。图形按一定的比缩小时,对应线段长的比相等。图形的各边按相同的比放大或缩小后,只是大小发生了变化,形状没变。5、练习二【教学内容】练习二。(教材第26~27页)【教学目标】1.对比例的有关知识进行系统的整理和复习。2.培养学生灵活运用知识解决实际问题的能力。3.培养学生的应用意识,激发学生学习数学的自信心,渗透“事物间是互相联系”的观点。【重点难点】重点:理清知识间的结构,主动建构知识网络,学会整理知识的方法。难点:对一些概念的理解和区分,并用所学的知识解决实际问题。【教具学具】课件、地图等。【教学过程】一、复习导入师:我们班一共有多少位同学?男生有多少人?女生有多少人呢?生:共有……位同学,男生有……人,女生有……人。师:谁能用“比的知识”说说男女同学人数的关系?生:……师:谁能说一个和它比值相等的比?生:……师:如果把这两个比用等号连接起来叫什么?生:比例。二、梳理知识，建构网络师:那么,现在你知道我们这节课要整理复习什么内容了吗?生:比和比例。(板书课题:比例的整理与复习)【设计意图:从现成的素材导入新课,贴近学生实际生活,激发学生的学习兴趣,点燃了学生的思维兴奋点】三、重点复习，强化提高师:举例说明比例的意义。生:表示两个比相等的式子叫作比例,如2∶3=4∶6。师:举例说明什么叫比?生:两个数相除就叫作两个数的比,如5÷10=5∶10。师:比和比例之间有什么区别?生:比是两数相除的一种关系,比例是一个等式。师:举例说明什么是比例的基本性质?生:两个内项的积等于两个外项的积。师:举例说明比例的基本性质。生:2∶3=4∶63×4=2×6师:那什么是比的基本性质呢?生:比的前项和后项同时扩大或缩小相同的倍数(0除外),比值不变。师:利用比例的基本性质可以做什么?生:可以解比例。师:什么叫解比例?生:求比例中的未知项的过程叫作解比例。师:比和比例有什么区别?小组讨论,填写下表。比比例意义两个数相除就叫两个数的比表示两个比相等的式子叫作比例构成8∶4=2前后比项项值50:10＝20:4外内项项基本性质比的前项和后项同时扩大或缩小相同的倍数(0除外),比值不变两个内项的积等于两个外项的积师:比例尺的意义?生:图上距离和实际距离的比。师:比例尺的分类?生:可以分为数值比例尺和线段比例尺。师:这是按表现形式分,如果按将实际距离放大还是缩小分,分为缩小比例尺和放大比例尺。师:怎样才能使放大或缩小后的图形与原图形像?生:各边按相同的比放大或缩小,所形成的图形与原图形才像。四、探究结果汇报师:通过今天的复习,都掌握了哪些知识?生1:更加明确了比例的意义以及比例的基本性质。生2:提高了运用比例解决生活中实际问题的能力。【板书设计】练习二比例的意义比例的基本性质解比例比例尺图形的放大和缩小第三单元1、图形的旋转（一）图形的旋转(一)。(教材第28~29页)1.进一步认识图形的旋转变换,探索它的特征和性质。2.能在方格纸上将简单的图形旋转90°。3.感受旋转在生活中的应用,体会数学与实际生活的联系。重点:理解图形旋转变换的含义。难点:在方格纸上将线段按顺时针或逆时针旋转90°,并能画出旋转后的线段。课件、钟表模型等。师:在2005年的春节联欢晚会上,有一台特殊的舞蹈,这个舞蹈中的有些动作还用到了我们学过的数学知识呢?请大家再次欣赏《千手观音》。(多媒体播放视频)生:数学中的旋转!师:生活中,你还见过哪些旋转现象?生:风扇、陀螺、旋转木马、钟表、车轮、收费站的横杆……(动画出示几种旋转现象)师:生活中像这样的旋转现象还有很多,你想学习吗?这节课我们来学习图形的旋转。〔板书课题:图形的旋转(一)〕1.认识运动方向。师:我们就从与我们关系最密切的钟表开始研究吧!首先我们来认识顺时针方向和逆时针方向。(出示钟表,先把分针指向“12”,然后顺次指向1、2、3……12)师:刚才分针旋动的方向就是顺时针方向。(板书:顺时针方向)谁来说一说逆时针方向是如何旋转的?生:与分针旋转方向相反的方向就是逆时针方向。(板书:逆时针方向)2.认识按角度旋转。(老师分别演示,让学生观察后回答)(动画出示:指针从12指向1)师:谁能用一句话完整地描述一下刚才的这个旋转过程?生:指针从“12”绕点O顺时针旋转30°到“1”。(板书:指针从“12”绕点O顺时针旋转30°到“1”)(动画出示:指针从1指向3)师:这次指针又是如何旋转的?生:指针从“1”绕点O顺时针旋转60°到“3”。(动画出示:指针从3指向6)师:同桌互相说一说。师:如果指针从“6”继续绕点O顺时针旋转180°,会指向几呢?生:12。(动画出示:指针从6指向12)3.从生活中认识图形的旋转。师:刚才同学们提到收费站的横杆(出示主题图),请同学们仔细观察下图,说一说横杆是怎样旋转的?生1:当横杆升起时,横杆是沿逆时针方向旋转的,旋转了90°。生2:当横杆落下时,横杆是沿顺时针方向旋转的,旋转了90°。师:我们描述了这么多旋转现象,想想看,要想把一个旋转现象描述清楚,应该说哪些方面?生:旋转物体、起止位置、旋转点、旋转方向、旋转角度。(板书:点方向角度)师:对!要把一个旋转现象描述清楚,不仅要说清楚是什么在旋转,它的起止位置在哪里,更重要的是要说清楚旋转点、旋转方向和旋转角度。4.线段的旋转。师:我们能够清楚地描述指针的旋转了,如果把指针看作一条线段,用AB来表示,想想看,线段能旋转吗?可以怎么旋转?出示教材第28页“画一画”方格图。学生在方格纸上完成。师:谁愿意来展示一下你的作品?说说你是怎么画的?(实物投影出示)生1:第一幅图首先要确定它围绕点B旋转,然后把线段AB绕着点B顺时针旋转90°,画出线段A'B即可。生2:第二幅图要先确定它围绕点A旋转,然后把线段AB绕着点A逆时针旋转90°,画出线段AB'即可。师:通过动手操作与练习,掌握了图形的旋转方法,并能根据要求进行旋转,大家来总结一下吧。生1:认识了顺时针方向与逆时针方向。生2:图形进行旋转时,首先要确定旋转点,然后确定旋转方向和旋转角度。图形的旋转(一)顺时针方向逆时针方向指针从“12”绕点O顺时针旋转30°到“1”。点方向角度图形的旋转(二)。(教材第30~31页)1.使学生进一步认识图形的旋转,理解按顺时针或逆时针旋转90°的含义,能在方格纸上画出将简单的图形旋转90°后的图形。2.让学生进一步积累旋转的学习经验,更充分地感受观察、操作、实验、探索等活动本身的独特价值,增强空间观念,发展形象思维。3.让学生在认识旋转的过程中,产生对图形与变换的兴趣,并进一步地感受旋转在生活中的应用。重点:理解图形旋转变换的含义,掌握图形旋转的三要素:旋转点、旋转方向、旋转角度。难点:在方格纸上画出将图形按顺时针或逆时针旋转90°后的图形。方格纸、课件、风车、装有小红旗和长方形纸片的信封、水彩笔、可旋转三角形纸片等。师:在我们的生活中,有各种各样的美丽图案,它们有的是由简单的图形经过旋转得来的,大家想知道其中的奥秘吗?(出示课件)看到这些图案你有什么想法?(提问学生)师:你想知道这些图案是怎样设计的吗?要想知道这些图案是怎样设计的,我们就要进一步研究——图形的旋转(二)。师:通过上一节的学习,我们已经初步掌握了一个图形旋转的过程,想不想自己试着画一画呢?1.小旗的旋转。出示教材第30页第1个问题。师:这个问题告诉了我们什么?生:图中的小旗绕点M顺时针旋转90°。师:要我们做什么?生:画出旋转后的图形。学生在方格纸上完成。师:谁愿意来展示一下你的作品?说说你是怎么画的?生1:在画一个旋转图形时,首先要确定它的旋转点M。生2:根据前面学习的线段的旋转方法,找到旗杆,在旗杆绕点M顺时针旋转90°后的位置画出这条线段。生3:最后根据小旗中旗杆与旗面的位置关系画出旋转后的图形。2.三角形的旋转。课件出示教材第36页第2个问题。(画出三角形ABC旋转90°后的图形)师:你能画出三角形绕点A顺时针旋转90°后的图形吗?剪一个三角形标上各点转一转。学生操作后小组交流,老师巡视、指导。师:谁能说说你是怎样画三角形绕点A顺时针旋转90°后的图形的?生1:先画线段AB的对应线段AB'。以旋转点A为垂足,在线段AB的右侧作线段AB的垂线。因为点B到点A的距离为2小格,所以以点A为起点,在线段AB的垂线上数出2小格,此点即为点B的对应点B',线段AB'就是线段AB的对应线段。生2:再画线段AC的对应线段AC'。以旋转点A为垂足,在线段AC的下侧作线段AC的垂线。因为点C到点A的距离为3小格,所以以点A为起点,在线段AC的垂线上数出3小格,此点即为点C的对应点C',线段AC'就是线段AC的对应线段。生3:最后连接BC,三角形AB'C'就是三角形ABC绕点A顺时针旋转90°后的图形。师:如果三角形ABC绕B点逆时针旋转90°,你能画出它的图形吗?独立完成,小组交流、汇报。生1:先画线段BA的对应线段BA'。以旋转点B为垂足,在BA的右侧作线段BA的垂线。因为点A到点B的距离为2小格,所以以点B为起点,在线段BA的垂线上数出2小格,此点即为点A的对应点A',线段BA'就是线段BA的对应线段。生2:再画线段BC的对应线段BC'。以旋转点B为垂足,在BC的上侧借助直角三角板作线段BC的垂线(让三角板的一条直角边和线段BC重合,直角顶点和点B重合,沿着另一条直角边画一条直线,即为线段BC的垂线)。在线段BC的垂线上量出与线段BC相等长度,找到点C的对应点C'。生3:最后画AC的对应线段A'C'。连接A'C',三角形BA'C'就是三角形ABC绕点B逆时针旋转90°后的图形。师:旋转后的图形发生了什么变化?生1:图形的位置发生了变化。生2:图形的形状、大小没有变。生3:旋转点的位置没有变。生4:对应线段的长度没有变。师:通过动手操作,掌握了图形的旋转方法,并能根据要求进行旋转,大家来总结一下吧。生1:掌握了在方格纸上将简单图形旋转90°后的画法,并能正确画出。生2:基本图形旋转后的形状、大小没有变。图形的旋转(二)绕点A顺时针旋转90°绕点B逆时针旋转90°图形的运动。(教材第32~34页)1.通过观察实例,了解一个图形经过平移、旋转得到新图形的过程。2.能按要求在方格纸上画出将简单图形平移和旋转后得到的图形。3.通过学生之间的合作和交流,培养学生的集体观念,经历“观察、思考、探究、实践、创作”过程,培养学生认识美、欣赏美、创造美的能力。重点:经历用简单图形经过旋转制作复杂图形的过程,建立空间观念。难点:能在方格纸上画出将简单图形平移和旋转后得到的图形。课件、七巧板等。师:我去了北京博物馆参观了一次民族绘画展览,欣赏到了许多美丽的图案,当时我用数码相机拍摄了下来,你们想看吗?(课件出示由图形的平移、旋转而形成的精美图案)师:这些图案美吗?生齐:美!师:你们知道吗?在这些美丽的图案中还隐藏着数学的奥秘,请同学们仔细观察,看看谁能发现?生:这些图都是由几个一样的图案组成的。师:你们很善于观察,但更准确点说,它们是由一个图形经过平移、旋转而形成的。这也正是我们这节课要研究的问题——图形的运动。(板书:图形的运动)1.课件出示教材第32页七巧板图。师:同学们,在这个七巧板中有两个图形移动了位置,谁能通过平移将图①移入七巧板相应的位置?小组讨论,交流、汇报。生:可将图①先向上平移4格,再向左平移10格。师:那么如何通过平移和旋转将图②移入七巧板相应的位置呢?生1:先绕直角顶点逆时针旋转90°,再向左平移9格。生2:也可先向左平移9格,再绕直角顶点逆时针旋转90°。2.课件出示教材第32页第2个问题。师:这道题告诉了我们什么?生:将图形A绕点O顺时针旋转90°,然后再将得到的图形向右平移5格。师:要我们做什么?生:画出旋转和平移后的图形。同桌讨论,合作完成、汇报,说出自己的画法。生1:将图形A绕点O顺时针旋转90°,得到图形B。生2:将图形B向右平移5格。师:平移的关键是什么?生:平移的方向和距离。师:一个图形通过平移或旋转后有什么变化?生:图形的位置发生了变化,形状和大小不变。学生独立完成教材第33页“试一试”,教师巡视、辅导。师:通过动手操作,掌握了图形的平移与旋转,并能根据要求把一个图形进行平移、旋转,大家来总结一下吧。生1:旋转时要先确定旋转点,再确定旋转的方向与旋转角度。生2:平移时要数清格子数,明确平移的方向。图形的运动平移:对应点、方向、几格。旋转:点、方向、角度。旋转:形状、大小不改变,只是位置发生了变化。欣赏与设计。(教材第35~36页)1.通过欣赏与设计图案,使学生进一步熟悉已学过的轴对称、平移、旋转等现象;学会应用轴对称、平移或旋转设计图案。2.经历图案的欣赏与设计过程,体验变换的数学思想,培养操作实践的动手能力。3.在学习活动中,感受图形变换创造的美,体验数学与生活的密切联系,激发学生学习的兴趣。重点:学会运用轴对称、平移或旋转设计美丽的图案。难点:能利用轴对称、平移、旋转等变换设计美丽的图案。幻灯片、课件。1.在优美的旋律中,教师一一展示各种美丽的图案,学生在愉悦的气氛中欣赏。师:欣赏了这么多的图案,你有什么感受?生1:好美!生2:它们都是通过平移和旋转得到的图案。师:真聪明,不但欣赏了它的形,还观察到了它的质。现在就让我们一起去设计图案吧!(板书课题:欣赏与设计)1.出示教材第35页主题图。师:我们再来看看这些美丽的图案是怎样设计出来的。将每一幅图案放大后,让学生逐一进行观察,同时组织学生在小组中讨论、交流。2.出示教材第35页第1个问题。师:这些图案是由哪个图形经过怎样的变换设计出来的?然后逐一进行交流,让学生发表自己的见解。生1:第一幅可将图形A绕点O顺时针旋转90°,得到图形B,再绕点O顺时针旋转90°,得到图形C;再绕点O顺时针旋转90°,得到图形D。生2:还可以画出图形A关于虚线轴对称的图形,再分别画出图形A和图形B的轴对称图形。学生欣赏这些美丽的图案,交流看完后的感想。3.设计图案,创造美。师:要设计一幅美丽的图案,我们应该按照怎样的步骤来操作呢?小组合作探讨,引导学生确定设计的步骤。生1:先选择一个喜欢的图形。生2:再确定你选用的变换方法,如轴对称、平移和旋转。生3:动手设计图案。师:以小组为单位,展开想象,设计图案。学生分小组合作,设计图案。师:通过这节课的学习活动,你学到了什么本领?生:掌握了设计图案的基本方法。欣赏与设计设计步骤:确定要设计的图案确定基本图形确定变换方法将要设计的图案在方格纸上画出来练习三。(教材第37~38页)1.对有关图形的运动进行回顾与整理,加强知识的对比分析,提高学生的作图能力。2.通过欣赏图案,发展学生的审美意识和空间观念。3.经历创作实践的整个过程,感受创作的乐趣,进一步培养学生的审美情趣。重点:通过对比分析,得出图形的旋转与平移变化之间的联系与区别。难点:如何有序整理知识。课件。师:通过这一单元的学习,我们发现了生活中很多美丽的图案,并且明白了这些美丽的图案是怎么得到的。下面我们来回忆一下这单元主要学习了什么内容?小组讨论、交流。师:这一单元我们主要学习了什么?根据学生的回答形成网络图。师:通过今天的复习,同学们都掌握了哪些知识?生1:明确了旋转的意义、方法以及旋转后图形的特征。生2:掌握了设计图形的基本方法。第四单元变化的量。(教材第39~40页)1.结合具体情境,体会生活中存在着大量相关联的变量。鼓励学生观察表格、图像、关系式,尝试用自己的语言描述两个变量之间的关系。2.提高学生的识图能力和分析问题的能力。3.培养学生认真观察的良好习惯,感受生活中处处有数学。重点:充分感受相关联的变量,根据图表说明两种量的变化情况。难点:体会变量之间的关系,并能用自己的语言描述两个变量之间的关系。课件。引导学生用手势表示出自己从出生到现在身高和体重的变化。师:同学们,在我们的生活中有很多事物都在不断地发生变化。例如,人的年龄、身高、体重在变化,我国的人均收入、生产总值等也都在变化,像这样会变化的量,我们都称为变量。而且往往一些量的改变会引起另外一些量的改变。例如,购物时,单价或数量的改变,会引起总价的改变。这节课就让我们一起来学习“变化的量”。(板书课题:变化的量)观察表格,感知变量。1.出示淘气用表格表示妙想的体重变化情况表。年龄出生时2岁4岁6岁体重/千克3.514.018.021.0师:这是妙想的体重变化情况表,从