静电场-习题课

一、内容小结1、静电场与静电势当电荷分布于有限区域时，通常以无穷远为势能零点。泊松方程泊松方程在无界空间中的解为其中无穷远处为电势零点，积分普及电荷分布区域V。2、电势多极展开任何一个电荷系统在其外部的电场，原那么上均可表示成一系列多极矩场的叠加。对于电荷系统在远处的场单极项

(0)有球对称性，相当于系统的净电荷量q集中于坐标原点产生的电势。偶极项对称张量电荷分布偏离球对称的系统必定出现多极矩，而各级矩的电势按距离R的负幂次衰减，高级矩的电势比低级矩的电势衰减更迅速。因此任何电荷系统在其外部的场，均以其最低级的场为主。3、静电场边值问题唯一性定理

定解条件〔1〕满足各求解区域内电势〔或电场〕的微分方程〔2〕满足相邻区域的边值关系及给定的边界条件静电势方程和边值关系(线性均匀介质界面)有导体存在时，必须给定每个导体的电势，或给定每个导体所带的净电量。维持恒定电流的电场也是静电场，在此情况下：4、静电场边值问题的求解方法〔1〕别离变量法①自由电荷全聚集在边界上，方程是齐次的。②边界应该是简单的几何面。(a)在直角坐标系中(b)在柱坐标系中Jm为m阶第一类贝塞尔函数，Nm为m阶第二类贝塞尔函数。如果考虑与z轴无关〔k=0〕情况，并讨论的区域是02，故通解为(c)在球坐标系中为缔合勒让德（Legendre)函数①场区域的电荷是点电荷，无限长带电直线。②导体或介质的边界面必是简单的规那么的几何面〔球面、柱面、平面〕。〔2〕镜像法对于具有轴对称的问题，m=0(取此轴为极轴〕，那么为勒让德函数对于球对称的问题，m=0,n=0，那么5、静电能、外电场对电荷系的作用能〔1〕电荷体系的静电能两个体积分的积分区域不同！〔2〕外电场对电荷体系的作用能当电荷分布在小区域电偶极子二、典型例题例1一无限长，半径为b的薄导体圆管，被分成两半，且相互绝缘，上半圆柱面的电位

=V0，下半圆柱面的电位

=V0。试求管内外的电位分布。解：由于假设圆管无限长，故电位

为

和

的函数，与z无关。边界条件为是

的奇函数，通解式中不应该有余弦项。b

x

=V0

=V0y又电位分布的周期性在圆管内部(

<b)，为使

=0点的电位保持有限值，通解中不能有

-n因子和ln

因子，即B0D0和AnDn可以由边界条件确定。在=b处有圆管内部的电位为在圆管外部(>b)，为使时，电位保持有限值，通解中不能有n因子和ln因子，即B0D0和BnDn可以由边界条件确定。在=b处有圆管外部的电位为例2圆锥形导体电极尖端无限接近一导体平面〔两者相互绝缘〕，锥轴线与平面垂直，轮廓线与轴线夹角为。忽略边缘效应及锥底电容，求圆锥与平面间的电容。

r0解从导体的形状可推知，给出导体上的总电荷后，不可能由此求导体间的电位差及电容。以锥轴线为z轴，那么令锥面(=)上的电位为V0，平面(=/2)上的电位为零。当忽略边缘效应时，电位与坐标r和无关，仅与有关。先指定导体上的电位，解

2

=0，求出导体间的电位分布，再确定导体上的总电荷，从而求得电容。由边界条件锥面上的电荷面密度锥面上的总电荷例3均匀介质球（电容率为

1）中心置一自由电偶极子，球外充满了另一种电容率为

2的介质，求空间各点的电势和极化电荷分布。zR

1

2O

解：的电场强度使两种介质均被极化，以介质球心为坐标原点，球半径为R0。问题具有z轴对称。介质球内外两区域电势的定解条件为：的电势

P是泊松方程（1）的一个特解。

是极化电荷的电势，满足拉普拉斯方程。由〔3〕、〔4〕及轴对称性，得〔6〕、〔7〕代入条件〔5〕，得球心处pf外表介质中，出现一个与其方向相反的极化电偶极子：因介质球面自由电荷面密度

f=0，故得

1的第二项为

p产生的均匀场。

1的第一项为与共同产生的偶极场，总电矩为

2为、与p形成的电偶极矩共同产生的偶极场，总电矩为例4设有两平面围成的直角形无穷容器，其内充满电导率为的液体。取该两平面为xz和yz平面，在(x0,y0,z0)和(x0,y0,z0)两点分别置正负电极并通以电流I，求导电液体中的电势。(x0,y0,z0)(x0,y0,z0)yxz解：导电液体中电流密度连接电极的导线中电流密度设，分别作包围正负电极的闭合曲面，由高斯定理求出两电极的电荷量为平面xz、yz之外是绝缘体，故求解区域为x>0，y>0。定解条件为对位于(x0,y0,z0)的正电极+q，分别在(

x0,y0,z0)，(x0,

y0,z0)，(

x0,

y0,z0)设置像电荷+q；对位于(x0,y0,

z0)的负电极

q，分别在(

x0,y0,

z0)，(x0,

y0,

z0)，(

x0,

y0,

z0)设置像电荷

q；在(x>0,y>0)区域中任一点电势为例5证明下述结果，并熟悉面电荷和面偶极层两侧电势和电场的变化。（1）在面电荷两侧，电势法向微商有跃变，而电势是连续的；（2）在面偶极层两侧，电势有跃变，而电势的法向微商是连续的。（带等量正负面电荷

而靠近的两个面，形成面偶极层，面偶极矩密度）P2P1+

证明（1）设电荷面密度为，其两侧无限接近的P1、P2点场强分别为和。法向单位矢：应用于包含面电荷的扁平闭合面〔底面积S与界面平行，高度h0〕,以及跨越界面的矩形小回路〔其长边l与界面平行，短边h0，那么（2）令面偶极层的法向单位矢量，无限靠近

层外侧P1点的场强，无限靠近+层外侧P2点场强为，内部P0点场强为。将环路定理应用于跨越+和的两个矩形小回路，那么将高斯定理分别应用到包含+和的扁平闭合面，那么设想电场将单位正电荷从P1经过P0移至P2，P1P0与P2P0距离均为l。那么P2P1+

P0例6一半径为R0的球面，在球坐标0<

</2的半球面上的电势为

0，在/2

<<的半球面上电势为

0，求空间各点电势。

z

0

0OR解：以球心为坐标原点，对称轴为z轴，球内电势为

1，球外电势为

2，具