计算机控制系统 课件 第3、4章 Z变换与脉冲传递函数、计算机控制系统分析

《计算机控制系统》第3章Z变换与脉冲传递函数问题的提出在线性连续系统中，系统用线性微分方程组来描述。而为了便于对连续系统进行分析与设计，多将线性微分方程转换成传递函数模型。其中关键的数学原理是拉普拉斯变换。在计算机控制系统作为线性离散系统或者近似线性离散系统，建立的数学模型是线性差分方程组。同样，为了便于对线性离散系统进行分析与设计，多使用Ｚ变换将线性差分方程转换成脉冲传递函数模型。1计算机控制系统第3章Z变换与脉冲传递函数本课教学目的掌握Z变换的定义，会用Z变换定义求解常用函数的Z变换；掌握Z变换的性质和定理，会应用其求解复杂函数的Z变换；理解Z反变换的定义；掌握脉冲传递函数的推导方法本课重点Z变换的定义、性质及其应用2第3章Z变换与脉冲传递函数计算机控制系统本课难点Z变换性质和定理的理解，Z反变换求法，脉冲传递函数的推导方法。教学思路对照《自动控制原理》连续系统的相应定理来理解离散系统：

微分方程

差分方程

传递函数

Z传递函数

拉氏变换Z变换

S平面

Z平面3第3章Z变换与脉冲传递函数计算机控制系统线性连续时间控制系统微分方程代数方程计算机控制系统—线性离散时间控制系统：

差分方程代数方程4第3章Z变换与脉冲传递函数计算机控制系统Laplace变换Z变换数学模型对比5第3章Z变换与脉冲传递函数计算机控制系统数学模型连续系统离散系统微分方程差分方程传递函数脉冲传递函数状态空间表达式离散状态空间表达式Continuous-timesystem-------Discrete-timesystemLaplace变换的定义如果有一个时间t为自变量的函数f(t)，它的定义域是，那么拉氏变换就是如下运算式：

式中的s为复数。一个函数可以进行拉氏变换的充分条件是：（1）在时，；（2）在时的任意有限区间内，是分段连续的；（3）6Laplace变换（复习）计算机控制系统象函数原函数如果已知象函数，则拉氏变换的反变换为：式中c为实数，并且大于任意奇点的实数部分。为工程应用方便，常把和的对应关系编成表格—拉氏变换表。7计算机控制系统Laplace变换（复习）应用拉氏变换法解微分方程的步骤如下：（1）对线性微分方程进行拉氏变换，使时域的微分方程变换为复数域s的代数变换方程；方程中的初始值应取系统

时的对应值。（2）求解代数变换方程，得到输出变量在复数域s的象函数表达式。（3）将s域的输出象函数表达式展成部分分式。（4）对部分分式进行拉氏反变换(可查拉氏变换表)，即得微分方程在时域的全解。8第3章Z变换与脉冲传递函数Laplace变换（复习）例题：RC无源网络动态微分方程式为求输入为单位阶跃电压时的时域解。设电容C上的初始电压为解:对网络微分方程式进行拉氏变换，得输入单位阶跃电压为，将其拉氏变换式

代入上式并整理，得电容端电压的拉氏变换式为9计算机控制系统Laplace变换（复习）将输出的象函数展成部分分式：对等式两边进行拉氏反变换，得：10计算机控制系统Laplace变换（复习）第3章Z变换与脉冲传递函数计算机控制系统11第3章Z变换与脉冲传递函数123.1线性离散系统和差分方程3.2Z变换及其性质3.3脉冲传递函数计算机控制系统在线性连续系统中，系统用线性微分方程组来描述。而为了便于对连续系统进行分析与设计，多将线性微分方程转换成（S）传递函数模型。其中关键的数学原理是拉普拉斯变换。相对应的，计算机控制系统作为线性离散系统或者近似线性离散系统，建立的数学模型是线性差分方程组，为了便于对连续系统进行分析与设计，多将线性差分方程转换成脉冲传递函数（Z传递函数），关键的数学原理Z变换。133.1线性离散系统和差分方程计算机控制系统3.1.1线性连续系统和线性离散系统

在离散系统中，则用差分方程、脉冲（Z）传递函数、单位脉冲响应序列和离散状态空间表达式等方式来描述。如果离散系统的输入信号到输出信号的变换关系，满足比例、叠加原理，那么该系统就称为线性离散系统。若不满足比例、叠加原理，就是非线性离散系统。143.1线性离散系统和差分方程计算机控制系统3.1.1线性连续系统和线性离散系统离散系统（计算机控制系统）是输入和输出信号均为离散信号的物理系统。在数学上，离散系统可以抽象为一种系统的离散输入信号x(k)

到系统的离散输出信号y(k)之间的数学变换或映射。离散系统y(k)x(k)3.1线性离散系统和差分方程对于线性连续系统，一般用微分方程描述为：并将该连续系统的传递函数定义为初始条件为零时的输出输入的拉普拉斯变换的比值：计算机控制系统3.1.1线性连续系统和线性离散系统153.1线性离散系统和差分方程对于一个单输入单输出线性定常离散系统，在某一个采样时刻的输出值不仅与这一时刻的输入值x(k)有关，而且与过去时刻的输入值，x(k-1)，x(k-2)…有关,该（第一种，后向差分）线性离散系统的差分方程一般式为：第二种形式（前向差分）：称为(n，m)阶差分方程，其中m≤n，是在输入输出的最低阶上统一。计算机控制系统3.1.2线性离散系统和差分方程163.1线性离散系统和差分方程①差分方程的经典解法：差分方程的经典解法与微分方程的解法类似。其全解包括对应齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解。②差分方程的迭代解法：如果已知系统的差分方程和输入值序列，则在给定输出值序列的初始值之后，就可以利用迭代方法计算出任何时刻的输出值。原理：根据初始条件(边界条件)，逐步递推计算出后面各时刻的输出，即由前一时刻的已知结果，递推出后一时刻的待求值。计算机控制系统3.1.3差分方程的求解173.1线性离散系统和差分方程③利用Z变换求解差分方程：采用Z变换法解线性常系数差分方程和利用拉氏变换法解微分方程相类似.具体在3.2.4节介绍。3.1.3差分方程的求解计算机控制系统183.1线性离散系统和差分方程例题：连续时间的比例-积分（PI）控制器用微分方程描述为：其中，是控制器的输入信号，是控制器的输出信号，和是控制器的常量增益参数。当采用下图中的采样方式时，根据矩形法则，曲线下方的面积由矩形面积之和近似求得。可以得到：计算机控制系统19T为数值算法的步长。上式为一个一阶线性差分方程。因此，比例-积分（PI）控制器可表示为：线性离散系统输出y(kT)输入x(kT)（1）物理可实现性要求是什么？后向差分：（2）前向与后向差分的关系是什么？前向差分：《计算机控制技术》\\第3章计算机控制系统的描述3.1线性离散系统和差分方程计算机控制系统3.1.4线性离散系统和差分方程总结203.1Z变换和Z反变换f(t)f*(t)f(t)STf*(t)F(s)F*(s)?3.2Z变换及其性质计算机控制系统21223.2Z变换及其性质3.2.1Z变换的定义Z变换是拉普拉斯变换的特殊形式，可以从拉氏变换中直接推导出来。在线性离散系统中，对采样信号作拉普拉斯变换，可得到：

令，则：定义函数的Z变换，记为：计算机控制系统（1）定义的理解:

物理意义是什么？表示时间序列的强度z-k表示时间序列出现的时刻，相对时间起点延迟k个周期F(z)既包含幅值信息，又包含时间信息。3.1Z变换和Z反变换3.2Z变换及其性质计算机控制系统3.2.1Z变换的定义23（1）定义的理解:

只能表征采样函数的z变换,即

在采样时刻上的特性，而不能表征采样点之间的特性；习惯称F(z)是的z变换。

思考:

与

是否是一一对应关系？

3.1Z变换和Z反变换3.2Z变换及其性质计算机控制系统3.2.1Z变换的定义24将序列简记为，则单边Z变换：双边Z变换：253.2Z变换及其性质3.2.1Z变换的定义计算机控制系统3.1Z变换和Z反变换3.2.1Z变换的定义3.2Z变换及其性质Z变换求法例题：解:计算机控制系统求函数f（t）的Z变换263.1Z变换和Z反变换3.2.1Z变换的定义3.2Z变换及其性质Z变换求法例题：解计算机控制系统

273.1Z变换和Z反变换3.2.1Z变换的定义3.2Z变换及其性质Z变换求法例题：解计算机控制系统

283.1Z变换和Z反变换3.2.1Z变换的定义3.2Z变换及其性质Z变换求法（略）例题：解:计算机控制系统求函数f（t）的Z变换29Z变换求法（略）根据Z变换的定义例题：求单位阶跃函数1(t)的Z变换。解303.2Z变换及其性质3.2.1Z变换的定义symsn;symsz;fn=1;FZ=simple(ztrans(fn,n,z));%%输出disp('FZ=');MATLAB求Z变换计算机控制系统3.2.1Z变换的定义3.2Z变换及其性质计算机控制系统31

323.2Z变换及其性质3.2.1常用函数的Z变换汇总如下表

计算机控制系统333.2Z变换及其性质3.2.2Z变换的性质线性

设

，且a,b为常数，则：计算机控制系统343.2Z变换及其性质3.2.2Z变换的性质例题：已知序列

，其中

是单位阶跃序列，求该序列的Z变换解：由Z变换的线性性质可得：计算机控制系统3.2.2Z变换的性质3.2Z变换及其性质时移性

计算机控制系统35363.2Z变换及其性质3.2.2Z变换的性质例题：试求延迟4个时间单位的单位阶跃函数

的Z变换解：由时移性可知：计算机控制系统时域扩展性对于序列，为不为零的常数,则：3.2Z变换及其性质3.2.2Z变换的性质计算机控制系统373.2Z变换及其性质Z域尺度变换性对于序列的，Z变换为：有:3.2.2Z变换的性质计算机控制系统383.2Z变换及其性质时域共轭性3.2.2Z变换的性质计算机控制系统39卷积性质对于两个序列:3.2Z变换及其性质3.2.2Z变换的性质计算机控制系统403.2Z变换及其性质3.2.2Z变换的性质计算机控制系统Z域微分性设序列x(n)的Z变换为：41423.2Z变换及其性质3.2.2Z变换的性质例题：已知单位阶跃序列

的Z变换为

试求单位斜坡序列

的Z变换解：由Z域微分性质，知：计算机控制系统3.2Z变换及其性质初值与终值定理(1)初值定理已知是因果序列，，当z趋向于无穷大时，若X（z）的极限存在，则：(2)终值定理已知是因果序列，，则：3.2.2Z变换的性质计算机控制系统43443.2Z变换及其性质3.2.2Z变换的性质例题：对于差分方程

其中

为单位阶跃序列当

时，。求

的初值及终值解：由Z变换理论知：对上述方程进行变化得：根据初值定理，则：根据终值定理，则：计算机控制系统453.2Z变换及其性质3.2.2Z变换的典型性质汇总如下表（均要求掌握）：

计算机控制系统463.2Z变换及其性质3.2.3Z反变换由求解序列的过程称为Z反变换，表示为：Z反变换得到的只是在采样点的时间序列，而不是序列。在进行反变换时，常用的方法有三种：

长除法、部分分式展开法、留数计算法计算机控制系统3.2Z变换及其性质长除法长除法又称为直接除法或者幂级数法，把X(z)展开为的无穷级数的形式，然后逐项求取Z反变换。在确定反变换闭合表达式比较困难的情况下或者只求前几项时，此法效率最高。

项前面的系数值就是时刻的值，上式可以用长除法得到，即：3.2.3Z反变换计算机控制系统47483.2Z变换及其性质例题：求的Z反变换解：

由上式知：所以3.2.3Z反变换计算机控制系统3.2Z变换及其性质部分分式展开法对于给出的变换其形式为：3.2.3Z反变换计算机控制系统49当分母为零时含有共轭复数极点或者重根时，将展开成部分分式，查变换表即可求得。3.2Z变换及其性质部分分式展开法当的分母为零时，如果只有单实极点，且分子在处有一零点，则用除去的两边，然后将展开成部分分式，其形式如下：其反变换为：3.2.3Z反变换计算机控制系统50513.2Z变换及其性质例题：已知

试求反变换:解：

首先将其

展开为部分分式如下：于是我们得到：3.2.3Z反变换所以：计算机控制系统

在

处为单根，在

处为重根，将

部分分式展开：523.2Z变换及其性质例题：已知

试求反变换：解：

3.2.3Z反变换系数

，和分别从以下式子中求得：计算机控制系统533.2Z变换及其性质所以，部分分式展开为：

3.2.3Z反变换由Z变换表可知：计算机控制系统3.2Z变换及其性质留数计算法（略）长除法和部分分式展开两种方法对于超越函数很难处理，留数计算法则对有理分式和非有理分式都适用。留数计算法求取Z反变换的计算公式如下：为的全部的个极点，是极点的重根数。3.2.3Z反变换计算机控制系统54553.2Z变换及其性质例题：已知

，利用留数法求其反变换。解：

由题知，有两个极点分别为

和，根据留数计算法有：3.2.3Z反变换symsz;FZ=z^2/(z-2)/(z-3);fn=iztrans(FZ,z,n);%%输出disp('fn');MATLAB求Z反变换计算机控制系统3.2Z变换及其性质计算机控制系统3.2.3Z反变换56573.2Z变换及其性质例题：已知

利用留数法求其反变换。解：

由题知，有一个单根，一个二重根，根据留数计算法有：3.2.3Z反变换计算机控制系统和用拉普拉斯变换求解连续系统一样，可以用Z变换来求解由差分方程描述的离散系统。在离散系统中，用Z变换来解差分方程，使得求解运算转换成代数运算，大大简化了离散系统的分析过程。其中用到的主要原理是Z变换的时移特性，即：3.2.4使用Z变换求解离散系统的差分方程3.2Z变换及其性质计算机控制系统58593.2Z变换及其性质例题：已知差分方程为

，初始条件为

，

求解该方程。解：对方程的两端求Z变换，利用时移性，得:

把代入上式并用部分分式展开得：

化简得:对各项求其Z反变换，则:3.2.4使用Z变换求解离散系统的差分方程计算机控制系统603.2Z变换及其性质例题：用Z变换求解差分方程

，初始条件为：解：对方程的两端求Z变换得:

即：把初始条件

代入，则得：对其求Z反变换，则:3.2.4使用Z变换求解离散系统的差分方程计算机控制系统613.2Z变换及其性质例题：已知差分方程为

，其中

，

当

时

，当

时，求其反变换。解：对方程的两端求Z变换得:

将初始条件代入，有：取上式的Z反变换，则:3.2.4使用Z变换求解离散系统的差分方程计算机控制系统求解差分方程的一般方法可以归结如下：1）对差分方程两端同时取Z变换；2）利用初始条件化简Z变换式；3）将Z变换式改写成如下形式：3.2.4使用Z变换求解离散系统的差分方程3.2Z变换及其性质计算机控制系统623.3脉冲传递函数计算机控制系统633.3.1脉冲传递函数推导脉冲传递函数定义：线性离散系统中，一个系统（或环节）输出脉冲序列的Z变换与输入脉冲序列的Z变换之比，被定义为该系统（或环节）的脉冲传递函数，或Z传递函数。G(z)输入U(z)输出Y(z)如何建立被控对象的脉冲传递函数模型G(Z)?3.3脉冲传递函数计算机控制系统3.3.1脉冲传递函数推导如何建立被控对象的脉冲传递函数模型G(Z)：

（1）由差分方程求取脉冲传递函数（2）由S传递函数求脉冲传递函数（3）由单位脉冲响应求脉冲传递函数G(z)差分方程单位脉冲响应G(s)3.3脉冲传递函数已知前向差分方程，其形式为：定义该离散系统的传递函数为：初始条件为零时，利用超前定理，系统输出输入序列的Z变换的比值：通常将离散系统的传递函数称为Z传递函数，又叫脉冲传递函数。计算机控制系统65（1）由差分方程求取脉冲传递函数3.3脉冲传递函数计算机控制系统66（1）由差分方程求取脉冲传递函数已知后向差分方程：令对象的初始值为零，利用滞后定理，得到：整理，得：

3.3脉冲传递函数计算机控制系统67（1）由差分方程求取脉冲传递函数前向式：后向式（常用）：3.3脉冲传递函数计算机控制系统68（2）由S传递函数求脉冲传递函数G(s)u(t)y(t)u*(t)如果只考虑采样时刻的y值，可得：3.3脉冲传递函数计算机控制系统69（2）由S传递函数求脉冲传递函数z变换，得：由可以看出这是u和g的离散卷积，即：其中：推导1：因为：所以：3.3脉冲传递函数计算机控制系统70（2）由S传递函数求脉冲传递函数推导2：输出的拉氏变换为：上式两端取星号变换：根据星号变换的周期性，于是即：，其中：G(s)u(t)y(t)u*(t)y*(t)3.3脉冲传递函数计算机控制系统71由G(s)求G(z)，具体有什么手段可以实现?（2）由S传递函数求脉冲传递函数Z变换的部分分式法留数计算法3.3脉冲传递函数计算机控制系统72（2）由S传递函数求脉冲传递函数部分分式法设，将分解成如下形式：其中，为极点，为极点的个数，由于，所以使用范围：适合没有重极点的情况。3.3脉冲传递函数计算机控制系统73（2）由S传递函数求脉冲传递函数于是有：例：已知，求。解：极点可得：3.3脉冲传递函数计算机控制系统74（2）由S传递函数求脉冲传递函数设全部极点已知，则其中：-----不同极点个数

-----的阶数

-----采样周期留数计算法3.3脉冲传递函数计算机控制系统75（2）由S传递函数求脉冲传递函数解：由题可知例：已知，求。代入可得：3.3脉冲传递函数计算机控制系统76（3）由单位脉冲响应求脉冲传递函数当离散系统的输入为单位脉冲时，系统的单位脉冲响应序列为，其对应的z变换为，则：输入测得Z变换3.3脉冲传递函数计算机控制系统77（3）由单位脉冲响应求脉冲传递函数是的幂级数形式，很难写成闭合函数的形式，使用起来不方便。而习惯上是如下的有理分式形式：3.3脉冲传递函数计算机控制系统78（3）由单位脉冲响应求脉冲传递函数设分子分母的阶次相等，即，且已知，则对应的差分方程为：3.3脉冲传递函数计算机控制系统79（3）由单位脉冲响应求脉冲传递函数采用逐步递推，得到

个方程：把

个方程分成三组，写成如下矩阵形式：3.3脉冲传递函数计算机控制系统80（3）由单位脉冲响应求脉冲传递函数先由（1）确定（1）（2）（3）再由（3）确定最后由（2）确定n如何确定？3.3脉冲传递函数串联环节3.3.2开环传递函数计算机控制系统81823.3脉冲传递函数例题：已知开环系统如上图所示，其中

，

求系统的开环传递函数。解：系统的开环传递函数

为：

3.3.2开环传递函数计算机控制系统3.3脉冲传递函数串联环节3.3.2开环传递函数计算机控制系统83843.2Z变换及其性质例题：已知开环系统如下图所示，其中

，

求系统的开环传递函数。解：系统的开环传递函数

为：

3.3.2开环传递函数计算机控制系统3.3脉冲传递函数

并联环节3.3.2开环传递函数计算机控制系统853.3脉冲传递函数3.3.3闭环传递函数计算机控制系统86873.3脉冲传递函数例题：已知系统的结构框图如下图所示，求该系统的闭环传递函数。解：由系统结构图知：

3.3.3闭环传递函数消去中间变量，则系统的传递函数为：计算机控制系统883.3脉冲传递函数

3.3.4常见的离散系统闭环传递函数结构框图计算机控制系统893.3脉冲传递函数

3.3.4常见的离散系统闭环传递函数结构框图计算机控制系统903.3脉冲传递函数

3.3.4常见的离散系统闭环传递函数结构框图计算机控制系统913.3脉冲传递函数

3.3.5计算机控制系统的闭环传递函数计算机控制系统计算机控制系统是由数字计算机部分和连续对象部分构成的闭环控制系统，典型的计算机控制系统通常如下图所示，为单位反馈的闭环控制系统。《计算机控制系统》

第4章计算机控制系统性能分析问题的提出离散控制系统要想正常工作，首先要满足稳定性条件，其次还要满足动态性能指标和稳态性能指标，这样才能在实际生产中应用。对离散控制系统的稳定性、动态特性和稳态性能进行分析是研究离散控制系统必不可少的过程。离散控制系统的性能分析方法和连续系统的分析方法基本相似。从描述系统离散特性的差分方程或脉冲传递函数出发，应用Z变换和Z反变换，求得离散系统输出值的采样值。第4章计算机控制系统性能分析

《计算机控制系统》93本章教学内容第4章计算机控制系统性能分析

《计算机控制系统》94（1）离散系统的稳定性分析（2）离散系统的过渡响应分析（3）离散系统的稳态准确度分析（4）离散系统的根轨迹分析法（选学）（5）离散系统的频率分析法（选学）（6）研究性专题一展示及讨论：

基于Matlab语言的线性离散系统分析教学目标第4章计算机控制系统性能分析

《计算机控制系统》95（1）熟悉s平面、z平面与w平面的映射关系；（2）掌握离散系统的稳定性分析方法，会应用Routh准则对离散系统进行稳定性分析；（3）对照连续系统，会对离散系统进行过渡过程分析；（4）掌握离散系统稳态误差的计算方法；（5）了解离散系统的根轨迹和频率分析法。本章重点：线性离散系统的稳定性分析。

本章难点第4章计算机控制系统性能分析

《计算机控制系统》96—对照连续系统的相应定义来理解离散系统：

微分方程

差分方程

传递函数

Z传递函数

拉氏变换法

Z变换法

s平面

z平面w平面—s平面与z平面以及z平面与w平面之间关系的理解；—极点位置与脉冲响应的关系。本章关键：第4章计算机控制系统性能分析

《计算机控制系统》97第4章计算机控制系统性能分析4.1离散控制系统的稳定性分析4.2离散控制系统的动态特性分析4.3离散控制系统的稳态误差分析4.4离散控制系统的分析方法（了解）4.5典型案例综合分析

《计算机控制系统》98线性离散系统的稳定性定义与连续系统的定义相同；系统稳定性定义：

系统在平衡状态下，受到外部扰动作用而偏离其平衡状态，当扰动消失后，经过一段时间，系统能够回到原来的平衡状态（通常称为渐进稳定）。如果不能够回到原稳定状态，则称为系统不稳定。《计算机控制系统》\\第四章离散控制系统分析利用定义直接判断系统稳定性是难以操作的。第4章计算机控制系统性能分析994.1离散控制系统的稳定性分析

《计算机控制系统》4.1离散控制系统的稳定性分析4.1.1s平面到z平面的映射分析

将s平面映射到z平面，并找出离散系统稳定时其闭环脉冲传递函数零、极点在z平面的分布规律，从而获得离散系统的稳定判据令：根据Z变换定义，则有：于是，s域到z域的基本映射关系式为:

s平面内频率相差采样频率整数倍的零点、极点都映射到z平面同一位置极坐标形式模大小第4章计算机控制系统性能分析1004.1离散控制系统的稳定性分析4.1.1s平面到z平面的映射分析第4章计算机控制系统性能分析101z平面上：

4.1离散控制系统的稳定性分析4.1.1s平面到z平面的映射分析第4章计算机控制系统性能分析102

4.1离散控制系统的稳定性分析4.1.1s平面到z平面的映射分析典型的s平面到z平面的映射①s平面的等衰减线s平面左半平面的垂直线（等衰减线）对应于z平面半径小于1的圆;

s平面右半平面的垂直线对应于z平面半径大于1的圆;等衰减线第4章计算机控制系统性能分析103半径小于14.1离散控制系统的稳定性分析4.1.1s平面到z平面的映射分析典型的s平面到z平面的映射②s平面的等频率线s平面水平直线（等频率线）对应于z平面具有相应角度的直线等频率线第4章计算机控制系统性能分析104等频率线等阻尼比线等阻尼比线4.1离散控制系统的稳定性分析4.1.1s平面到z平面的映射分析典型的s平面到z平面的映射③s平面的等阻尼比线s平面的等阻尼线（实部和虚部比值）对应z平面的螺旋线第4章计算机控制系统性能分析105等阻尼比线等阻尼比线4.1离散控制系统的稳定性分析4.1.1s平面到z平面的映射分析③s平面等阻尼比线第4章计算机控制系统性能分析106注意：s平面的虚轴（阻尼=？）在z平面的映射为一单位圆4.1离散控制系统的稳定性分析

第4章计算机控制系统性能分析107虚轴线单位圆4.1离散控制系统的稳定性分析4.1.1s平面到z平面的映射分析第4章计算机控制系统性能分析108线性离散系统极点位置与脉冲响应关系

思考题：单极点位置及其对应的脉冲响应序列关系：?(a)单极点位置图(b)图(a)的不同位置极点响应序列4.1离散控制系统的稳定性分析4.1.1s平面到z平面的映射分析第4章计算机控制系统性能分析109线性离散系统极点位置与脉冲响应关系思考题：共轭复数极点位置及其对应的脉冲响应序列关系？(a)共轭复数极点位置图(b)图(a)的不同位置极点响应序列共轭复数极点位置及其对应的响应序列4.1离散控制系统的稳定性分析4.1.2线性离散控制系统的稳定性条件线性离散控制系统稳定的充要条件下图所示线性离散控制系统的闭环脉冲传递函数Φ(z)为特征方程为线性离散控制系统第4章计算机控制系统性能分析1104.1离散控制系统的稳定性分析4.1.2线性离散控制系统的稳定性条件线性离散控制系统稳定的充要条件离散系统闭环传递函数为:假设设闭环离散系统的特征方程式的根为（即是闭环脉冲传递函数的极点）。第4章计算机控制系统性能分析1114.1离散控制系统的稳定性分析4.1.2线性离散控制系统的稳定性条件线性离散控制系统稳定的充要条件：若系统稳定：结论：第4章计算机控制系统性能分析1124.1离散控制系统的稳定性分析4.1.2

线性离散控制系统的稳定性条件即线性离散控制系统稳定的充要条件是：闭环系统特征方程的所有根的模，即闭环脉冲传递函数的极点均位于z平面的单位圆内。如果闭环传递函数有极点在z平面单位圆外，则系统不稳定，所以z平面单位圆是离散系统稳定与不稳定的分界线。

第4章计算机控制系统性能分析1134.1离散控制系统的稳定性分析4.1.2

线性离散控制系统的稳定性条件第4章计算机控制系统性能分析114[例4.1]某离散系统的闭环Z传递函数为：试判断系统的稳定性。解：求极点！的极点为：

，由于，故该系统是不稳定的。4.1离散控制系统的稳定性分析4.1.2

线性离散控制系统的稳定性条件第4章计算机控制系统性能分析115[例4.2]设线性离散系统的特征方程为试判断系统的稳定性。解：由特征方程可得特征根为：

∵

特征根全部在z平面上以原点为圆心的单位圆内，所以系统稳定。

4.1离散控制系统的稳定性分析4.1.3线性离散系统的稳定性判据第4章计算机控制系统性能分析116Routh稳定性准则在离散系统的应用s平面：Routh稳定性准则，用来判断复变量代数方程的根是否位于s平面的左半面。z平面：Routh稳定性准则，用来判断复变量代数方程的根是否位于z平面的单位圆内。z平面s平面：超越方程-非线性方程w平面：线性方程双线性变换

4.1离散控制系统的稳定性分析4.1.3线性离散系统的稳定性判据第4章计算机控制系统性能分析117

z平面与w平面的映射关系4.1离散控制系统的稳定性分析4.1.3线性离散系统的稳定性判据第4章计算机控制系统性能分析118

为w平面的虚轴，则它对应z平面的单位圆，为w平面的频率，由上式可知为w平面的频率，且由上式可知,当较小时有:

z平面单位圆与w平面的虚轴对应关系：4.1离散控制系统的稳定性分析4.1.3线性离散系统的稳定性判据第4章计算机控制系统性能分析4.1离散控制系统的稳定性分析4.1.3线性离散系统的稳定性判据第4章计算机控制系统性能分析120

4.1离散控制系统的稳定性分析4.1.3线性离散系统的稳定性判据第4章计算机控制系统性能分析121劳斯判据的要点：（1）特征方程

：若系数

的符号不相同，则系统不稳定。若系数符号相同，建立劳斯行列表。4.1离散控制系统的稳定性分析4.1.3线性离散系统的稳定性判据………第4章计算机控制系统性能分析（2）建立劳斯列表：1224.1离散控制系统的稳定性分析4.1.3线性离散系统的稳定性判据修正劳斯判据的要点：闭环系统特征方程anwn+an-1wn-1+…+a0=0，若系数a0,…,an的符号不相同，则系统不稳定。若系数符号相同，建立劳斯行列表。若劳斯行列表第一列各元素符号一致，则所有特征根均分布在左半平面，系统稳定。若劳斯行列表第一列元素符号不一致，系统不稳定。且第一列元素符号变化的次数，就是右半平面上特征根个数。第4章计算机控制系统性能分析1234.1离散控制系统的稳定性分析

第4章计算机控制系统性能分析1244.1离散控制系统的稳定性分析4.1.3线性离散系统的稳定性判据解：由上一章可知，系统开环脉冲传递函数为闭环脉冲传递函数为:

系统特征方程为:第4章计算机控制系统性能分析1254.1离散控制系统的稳定性分析

第4章计算机控制系统性能分析1264.1离散控制系统的稳定性分析4.1.3线性离散系统的稳定性判据第4章计算机控制系统性能分析127

线性离散系统的稳定性

4.1离散控制系统的稳定性分析4.1.3线性离散系统的稳定性判据第4章计算机控制系统性能分析128

4.1离散控制系统的稳定性分析4.1.3线性离散系统的稳定性判据第4章计算机控制系统性能分析129

4.1.3线性离散系统的稳定性判据离散系统劳斯判据的应用步骤：

《计算机控制系统》\\第四章离散控制系统分析4.1离散控制系统的稳定性分析第4章计算机控制系统性能分析130第四章计算机控制系统的性能分析4.1离散控制系统的稳定性分析4.2离散控制系统的动态特性分析4.3离散控制系统的稳态误差分析4.4离散控制系统的分析方法4.5典型案例综合分析第4章计算机控制系统性能分析131控制系统除了系统具有稳定性外，还需要具有满意的快速性和满意的动态品质；控制系统的瞬态响应反映了系统快速性和动态品质的优劣；因此，瞬态响应是离散控制系统特性分析和设计时必须考虑的重要内容。《计算机控制系统》\\第四章离散控制系统分析4.2离散控制系统的动态特性分析第4章计算机控制系统性能分析132问题提出：与连续系统类似，用Z传递函数来分析离散系统的过渡过程，具体包括三个步骤：《计算机控制系统》\\第四章离散控制系统分析4.2离散控制系统的动态特性分析第4章计算机控制系统性能分析133教学思路：《计算机控制系统》\\第四章离散控制系统分析4.2离散控制系统的动态特性分析第4章计算机控制系统性能分析134教学思路：根据过渡过程曲线：稳定性（Routh判据）、动态特性和稳态特性（如稳态误差）。4.2离散控制系统的动态特性分析4.2.1离散控制系统的动态响应过程控制系统的过渡过程：控制系统在外信号（阶跃或脉冲）作用下，从原来稳定状态到新的稳定状态（新稳态值附近±5%或±3%）的过程，其过渡过程特性称作系统的动态响应特性。已知线性离散系统在阶跃输入下输出的z变换Y(z)，那么，对Y(z)进行z反变换就可获得动态响应y*(t)。将y*(t)连成光滑曲线，就可得到系统的动态性能指标(即超调量σ%与过渡过程时间ts)。第4章计算机控制系统性能分析1354.2离散控制系统的动态特性分析一般，采样系统的闭环脉冲传递函数可以写成如下形式当单位阶跃信号输入时，系统的输出为对上式取z反变换，得采样系统的输出响应，其中包含稳态响应，及由实极点和复极点所引起的暂态响应。4.2.1离散控制系统的动态响应过程第4章计算机控制系统性能分析1364.2离散控制系统的动态特性分析[例4.5]某离散系统如下图所示，分析该系统的过渡过程。设系统输入是单位阶跃函数。解：（1）设K=1，T=τ=1；则4.2.1离散控制系统的动态响应过程第4章计算机控制系统性能分析1374.2离散控制系统的动态特性分析4.2.1离散控制系统的动态响应过程第4章计算机控制系统性能分析138在单位阶跃函数作用下的过渡程具有衰减振荡的形式，故系统是稳定的。其超调量约为40%，约经12个采样周期过渡过程结束，如图曲线a所示。4.2离散控制系统的动态特性分析4.2.1离散控制系统的动态响应过程第4章计算机控制系统性能分析139（2）现将图中的保持器去掉，

K=1，T=τ=1；则4.2离散控制系统的动态特性分析4.2.1离散控制系统的动态响应过程第4章计算机控制系统性能分析140有、无保持器下，离散系统的响应曲线

在没有保持器下，该二阶离散系统仍是稳定的，超调量约为21%，峰值产生在第3拍，调整时间为5拍，如下图曲线b所示。无保持器比有保持器的系统的动态性能好。这是因为保持器有滞后作用所致。4.2离散控制系统的动态特性分析4.2.1离散控制系统的动态响应过程第4章计算机控制系统性能分析141（3）现将图中的保持器去掉，

K=5，T=τ=1；则由上面数据可看出，当K=5，T=τ=1时，没有保持器的二阶系统是不稳定的，且是正负交替的发散式振荡。思考：如果有保持器呢？4.2离散控制系统的动态特性分析实极点对系统动态性能的影响设的极点是n个互异的单根，则可以写成4.2.2闭环极点对系统动态性能的影响第4章计算机控制系统性能分析142相应的响应时间是各个极点时间响应的线性叠加：由部分分式展开：4.2离散控制系统的动态特性分析

实极点位置和动态响应之间的关系

(1)极点在单位圆外的正实轴上，p1>1，对应的暂态响应分量y1(kT)单调发散。(2)极点在单位圆与正实轴的交点，p2=1，它对应的暂态响应y2(kT)是等幅的。(3)极点在单位圆内的正实轴上，0<p3<1，它对应的暂态响应y3(kT)单调衰减。第4章计算机控制系统性能分析③①②1434.2.2闭环极点对系统动态性能的影响实极点对系统动态性能的影响4.2离散控制系统的动态特性分析(4)极点在单位圆内负实轴上，-1<p4<0，对应暂态响应y4(kT)是正负交替的衰减振荡(周期为2T)。(5)极点在单位圆与负实轴交点，p5=-1，对应暂态响应y5(kT)是正负交替的等幅振荡(周期为2T)。(6)极点在单位圆外负实轴上，p6<-1，对应的暂态响应y6(kT)是正负交替的发散振荡(周期为2T)。实极点位置和动态响应之间的关系

第4章计算机控制系统性能分析④⑤⑥1444.2.2闭环极点对系统动态性能的影响实极点对系统动态性能的影响4.2离散控制系统的动态特性分析复数极点对系统动态性能的影响设的极点含有一对共轭复数极点，设复数极点为则该对复数极点的脉冲响应序列为设响应周期与

i有关第4章计算机控制系统性能分析1454.2.2闭环极点对系统动态性能的影响4.2离散控制系统的动态特性分析

①②③复极点位置和动态响应之间的关系

(1)复极点在z平面单位圆外，对应的暂态响应是振荡发散的。(2)复极点在z平面单位圆上，故对应的暂态响应是等幅振荡。(3)复极点在z平面单位圆内，故对应的暂态响应是振荡衰减的。第4章计算机控制系统性能分析1464.2.2闭环极点对系统动态性能的影响4.2离散控制系统的动态特性分析解：因为闭环脉冲函数为故对应离散系统阶跃响应程序为num=[0.3680.264]；

den=[1–10.632]；

dstep(num,den,50)第4章计算机控制系统性能分析147[例4.6]求下图的阶跃响应，其中4.2离散控制系统的动态特性分析第4章计算机控制系统性能分析1484.2离散控制系统的动态特性分析

连续系统采样周期为1s

例4.6阶跃响应曲线仿真图第4章计算机控制系统性能分析1494.2离散控制系统的动态特性分析离散极点位置分布的结论①为使离散系统具有满意的瞬态特性，其闭环极点应尽量避免分布在z平面单位圆的左半部，尤其不要靠近负实轴。闭环极点最好分布在z平面单位圆的右半部，尤为理想的是分布在靠近原点的地方，由于这时｜zj｜值较小，所以相应的瞬态过程较快，即离散系统对输入具有快速响应的性能。4.2.3离散控制系统的极点分许对动态性能影响第4章计算机控制系统性能分析1504.2离散控制系统的动态特性分析离散极点位置分布的结论②通过分析可知，极点越接近z平面的单位圆，瞬态响应衰减越慢。假如有一对极点最靠近单位圆，而其它零、极点均在原点附近，离这一对极点相当远，则系统响应主要由这一对极点决定，所以这一对极点称为主导极点对。这时，可忽略原点附近极点相对应的瞬态分量，而考虑主导极点引起的瞬态分量。第4章计算机控制系统性能分析1514.2.3离散控制系统的极点分许对动态性能影响第四章计算机控制系统的性能分析1524.1离散控制系统的稳定性分析4.2离散控制系统的动态特性分析4.3离散控制系统的稳态误差分析4.4离散控制系统的分析方法4.5典型案例综合分析第4章计算机控制系统性能分析与连续系统类似，离散控制系统性能指标包括：稳定性指标、动态性能指标、稳态性能指标（稳态误差）；分析控制准确性是离散控制系统特性分析和设计时必须考虑的主要内容之一；衡量离散控制系统准确性的一项重要指标是稳态误差。在实际工程应用中，通常都是希望系统的稳态误差越小越好，稳态误差越小，说明系统稳态复现参考输入的能力越强，系统的稳态控制精度越高。《计算机控制系统》\\第四章离散控制系统的分析4.3离散控制系统的稳态误差分析第4章计算机控制系统性能分析153问题提出：与连续系统类似，参考4.2节。《计算机控制系统》\\第四章离散控制系统分析第4章计算机控制系统性能分析154教学思路：4.3离散控制系统的稳态误差分析4.3.1离散控制系统的稳态误差定义离散控制系统的稳态误差定义：系统过渡过程结束到达稳态以后，系统输出采样值与参考输入采样值之间的偏差。《计算机控制系统》\\第四章离散控制系统的分析y(KT）t0U(KT）稳态误差

稳态误差示意图4.3离散控制系统的稳态误差分析第4章计算机控制系统性能分析1554.3离散控制系统的稳态误差分析在连续系统中，稳态误差的计算可以通过两种方法进行：（1）一种是建立在拉氏变换终值定理基础上的计算方法，可以求出系统的终值误差；（2）另一种是从系统误差传递函数出发的动态误差系数法，可以求出系统动态误差的稳态分量。这两种计算稳态误差的方法，在一定条件下可以推广到离散系统。离散系统稳定第4章计算机控制系统性能分析1564.3离散控制系统的稳态误差分析4.3.1离散控制系统的稳态误差定义设单位反馈误差采样系统如下图所示。系统误差脉冲传递函数为单位反馈离散系统

第4章计算机控制系统性能分析1574.3离散控制系统的稳态误差分析若离散系统是稳定的，则可用z变换的终值定理求出系统达到稳态时采样瞬时的终值误差与系统结构、参数以及输入信号类型有关4.3.1离散控制系统的稳态误差定义第4章计算机控制系统性能分析1584.3离散控制系统的稳态误差分析在离散系统中，把开环脉冲传递函数G(z)具有z=1的极点数v作为划分离散系统型别的标准，与连续系统类似地把G(z)中v=0,1,2,…的系统，称为0型，Ⅰ型和Ⅱ离散系统等。下面讨论不同类别的离散系统在三种典型输入信号作用下的稳态误差，并建立离散系统静态误差系数的概念。对应连续系统s＝0的极点数4.3.2离散控制系统的稳态误差分析第4章计算机控制系统性能分析1594.3离散控制系统的稳态误差分析单位阶跃输入时的稳态误差对于单位阶跃输入r(t)=1(t)，其z变换函数为得单位阶跃输入响应的稳态误差上式代表离散系统在采样瞬时的终值位置误差。式中称为静态位置误差系数。4.3.2离散控制系统的稳态误差分析第4章计算机控制系统性能分析1604.3离散控制系统的稳态误差分析单位速度输入时的稳态误差对于单位速度输入r(t)=t，其z变换函数为得单位速度输入响应的稳态误差上式代表离散系统在采样瞬时的终值速度误差。式中称为静态速度误差系数。4.3.2离散控制系统的稳态误差分析第4章计算机控制系统性能分析1614.3离散控制系统的稳态误差分析单位加速度输入时的稳态误差对于单位加速度输入r(t)=t2/2，其z变换函数为得单位加速度输入响应的稳态误差上式代表离散系统在采样瞬时的终值加速度误差。式中称为静态加速度误差系数。4.3.2离散控制系统的稳态误差分析第4章计算机控制系统性能分析1624.3离散控制系统的稳态误差分析系统型别位置误差r(t)=1(t)速度误差r(t)=t加速度误差r(t)=t2/20型I型0II型00III型0004.3.2离散控制系统的稳态误差分析第4章计算机控制系统性能分析163第四章计算机控制系统的性能分析1644.1离散控制系统的稳定性分析4.2离散控制系统的动态特性分析4.3离散控制系统的稳态误差分析4.4离散控制系统的分析方法4.5典型案例综合分析第4章计算机控制系统性能分析4.4离散控制系统的分析方法4.4.1离散系统的根轨迹分析法离散系统根轨迹是研究离散系统开环脉冲传递函数某一参数从零变到无穷大时，闭环系统特征方程的根在z平面上变化的轨迹。考虑下图所示的线性定常离散系统，为零阶保持器。其广义开环脉冲传递函数为该系统的特征方程为线性定常离散系统第4章计算机控制系统性能分析1654.4离散控制系统的分析方法幅值条件相角条件当参数K从0到∞变化时，所有满足该幅值条件和相角条件的点在z平面上的轨迹就是该离散系统的根轨迹。4.4.1离散系统的根轨迹分析法第4章计算机控制系统性能分析1664.4离散控制系统的分析方法绘制离散系统根轨迹的基本步骤如下①求出以零极点形式表示的系统开环传递函数，在z平面上画出开环零极点；②确定根轨迹的起点和终点，并找出根轨迹的分支数；③确定实轴上的根轨迹；④确定根轨迹的渐近线；⑤找出根轨迹的分离点和会合点；4.4.1离散系统的根轨迹分析法第4章计算机控制系统性能分析167

[例4.7]系统如下图所示，为零阶保持器，设,试绘制系统的根轨迹。

4.4离散控制系统的分析方法4.4.1离散系统的根轨迹分析法，第4章计算机控制系统性能分析168可求得根轨迹分离点为

。会合点为故系统开环极点为：和。开环零点为:

和计算分离点：4.4离散控制系统的分析方法4.4.1离散系统的根轨迹分析法解：开环脉冲传递函数为：

第4章计算机控制系统性能分析1694.4离散控制系统的分析方法4.4.1离散系统的根轨迹分析法再根据幅值条件可以求出分离点处增益K=0.196、会合点处增益K=15，由以上原则，可画出其根轨迹如图所示。k=0:0.1:16；n=[0.3680.264]；d=[1–1.3680.368]；r=rlocus(n,d,k)；%%输出plot(real(r),imag(r),’x’)title(‘RootLocus’)MATLAB画根轨迹第4章计算机控制系统性能分析1704.4离散控制系统的分析方法4.4.2离散系统的频域分析法由于s平面和z平面的映射关系为要得到频率特性，则需用z域的频率特性已不再是ω的有理函数，而是以超越函数的形式出现。不能像s平面那样，采用渐近的直线来画出近似的对数幅频特性。需引入W变换把z平面中的脉冲传递函数变换到一个w平面或第4章计算机控制系统性能分析171W变换的性质（1）当采样周期无限缩小，复变量w近似等于复变量s；以代入W变换公式，并在两端取的极限上式表明，当采样频率无限高时，w平面便可视作连续域s平面。4.4离散控制系统的分析方法4.4.2离散系统的频域分析法第4章计算机控制系统性能分析172（2）传递函数的相似性；假设连续被控对象为它用零阶保持器接收给它的控制信号，则它的脉冲传递函数为利用W变换公式将G(z)再变换到w平面，得式中，A为常数4.4离散控制系统的分析方法4.4.2离散系统的频域分析法第4章计算机控制系统性能分析1734.4离散控制系统的分析方法以a=5，采样周期Ts=0.1s代入，则有比较G(w)和G(s)，可以看到它们的增益值和极点值十分相近，而G(z)则没有这种相似性。不同的是，G(w)比G(s)多了一个因子，也即G(w)多了一个在的零点。这是因为双线性变换后，分子和分母总是同阶，因而该零点可看作是G(s)在无穷远的零点映射过来的。4