专题04 与指数函数、对数函数有关的复合函数及函数方程综合应用 （十大题型）（原卷版）

专题04与指数函数、对数函数有关的复合函数及函数方程综合应用思维导图核心考点聚焦考点一、判断复合函数的单调性考点二、已知复合函数单调性求参数范围考点三、求复合函数的值域考点四、求复合函数的最值考点五、与复合函数有关的不等式问题考点六、判断复合函数的奇偶性考点七、零点问题考点八、函数嵌套问题考点九、共零点问题考点十、等高线问题知识点一、根式的概念和运算法则1、次方根的定义：若，则称为的次方根．为奇数时，正数的奇次方根有一个，是正数，记为；负数的奇次方根有一个，是负数，记为；露的奇次方根为零，记为．为偶数时，正数的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为．2、两个等式（1）当且时，；（2）知识点二、分数指数幂的概念和运算法则为避免讨论，我们约定，，，且为既约分数，分数指数幂可如下定义：知识点三、有理数指数幂的运算1、有理数指数幂的运算性质（1）（2）（3）当，为无理数时，是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用．2、指数幂的一般运算步骤有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：，，，，的运用，能够简化运算．知识点四、无理数指数幂一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．【注意】（1）对于无理数指数幂，我们只需要了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数指数幂无限逼近的结果．（2）定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围．知识点五、实数指数幂的运算性质①．②．③．知识点六、指数函数的图象及性质：时图象时图象图象性质①定义域，值域②，即时，，图象都经过点③，即时，等于底数④在定义域上是单调减函数④在定义域上是单调增函数⑤时，时，⑤时，时，⑥既不是奇函数，也不是偶函数知识点七、指数函数底数变化与图像分布规律（1）①，②，③，④，则：又即：时，（底大幂大）时，（2）特殊函数，，，的图像：知识点八、对数概念1、对数的概念如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：．其中叫做对数的底数，叫做真数．知识点诠释：对数式中各字母的取值范围是：且，，．2、对数（且）具有下列性质：（1）0和负数没有对数，即；（2）1的对数为0，即；（3）底的对数等于1，即．3、两种特殊的对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，．以e（e是一个无理数，）为底的对数叫做自然对数，简记为．4、对数式与指数式的关系由定义可知：对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化．它们的关系可由下图表示．由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化．知识点九、对数的运算法则已知，（且，、）（1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；推广：（2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；（3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；知识点十、对数公式1、对数恒等式：2、换底公式同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0，a≠1，M>0的前提下有：（1）令，则有，，即，即，即：．（2），令，则有，则有即，即，即当然，细心一些的同学会发现（1）可由（2）推出，但在解决某些问题（1）又有它的灵活性．而且由（2）还可以得到一个重要的结论：．知识点十一、对数函数的图象与性质图象性质定义域：值域：过定点，即时，在上增函数在上是减函数当时，，当时，当时，，当时，知识点十二、底数对对数函数图象的影响1、底数制约着图象的升降．如图知识点诠释：由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略．2、底数变化与图象变化的规律在同一坐标系内，当时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；当时，对数函数的图象随a的增大而远离x轴．（见下图）知识点十三、反函数1、反函数的定义设分别为函数的定义域和值域，如果由函数所解得的也是一个函数（即对任意的一个，都有唯一的与之对应），那么就称函数是函数的反函数，记作，在中，是自变量，是的函数，习惯上改写成（）的形式．函数（）与函数（）为同一函数，因为自变量的取值范围即定义域都是B，对应法则都为．由定义可以看出，函数的定义域A正好是它的反函数的值域；函数的值域B正好是它的反函数的定义域．2、反函数的性质（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线对称．（2）若函数图象上有一点，则必在其反函数图象上，反之，若在反函数图象上，则必在原函数图象上．知识点十四：函数的零点1、函数的零点（1）一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点.知识点诠释：①函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零；②函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标；③函数的零点就是方程的实数根．归纳：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．（2）二次函数的零点二次函数的零点个数，方程的实根个数见下表.判别式方程的根函数的零点两个不相等的实根两个零点两个相等的实根一个二重零点无实根无零点（3）二次函数零点的性质①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号.②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号.引伸：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立.2、函数零点的判定（1）利用函数零点存在性的判定定理如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使，这个也就是方程的根.1、与指数函数、对数函数有关的复合函数，主要是指数函数、对数函数与一次函数、二次函数复合成的新函数，求新函数的单调性、奇偶性、最值、值域等问题，一般采用换元思想，把复杂的复合函数化成简单的初等函数．考点剖析考点一、判断复合函数的单调性例1．（2023·宁夏吴忠·高一校考阶段练习）函数的单调递减区间是（

）A． B． C． D．例2．（2023·广东佛山·高一校联考阶段练习）函数的单调递增区间是（

）A． B．C． D．例3．（2023·海南海口·高一海南中学校考阶段练习）函数的单调递增区间是（

）A． B． C． D．例4．（2023·河北邢台·高一邢台市第二中学校联考阶段练习）函数的单调递减区间是（

）A． B． C． D．考点二、已知复合函数单调性求参数范围例5．（2023·全国·高三校联考期中）若函数在上单调递减，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．例6．（2023·四川德阳·高一四川省德阳中学校校考阶段练习）已知的值城为，且在上是增函数，则的范围是（

）A． B．C． D．例7．（2023·辽宁沈阳·高一沈阳市第十五中学校考阶段练习）已知函数在区间上是增函数，则的取值范围是（

）A． B．C． D．例8．（2023·四川成都·高三校联考阶段练习）已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．考点三、求复合函数的值域例9．（2023·贵州六盘水·高一统考阶段练习）已知函数.(1)若，求的值域；(2)若关于x的方程有解，求a的取值范围.例10．（2023·宁夏吴忠·高一校考阶段练习）已知函数(1)求函数的值域；(2)解不等式．例11．（2023·山西·高一校联考期中）已知函数（且，为常数）的图象经过点，.(1)求的值；(2)设函数，求在上的值域.例12．（2023·黑龙江绥化·高一校考阶段练习）已知函数(1)若的值域为，求实数的取值范围；(2)若在内为单调函数，求实数的取值范围.考点四、求复合函数的最值例14．（2023·广东佛山·高一统考期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，.(1)求时，的解析式；(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围.例15．（2023·河南·高一济源高中校联考期中）已知函数，且．(1)求的值；(2)证明：在上单调递增；(3)求在上的最小值．例16．（2023·高一课时练习）已知函数，且）．(1)若函数的图象与函数的图象关于直线对称，且点在函数的图象上，求实数的值；(2)已知函数，．若的最大值为8，求实数的值．例17．（2023·山东德州·高一德州市第一中学校考阶段练习）已知，，m为实数，(1)当时，求函数的最大值；(2)求函数的最大值的解析式.考点五、与复合函数有关的不等式问题例18．（2023·广西·高一校联考阶段练习）函数，则关于的不等式的解集为.例19．（2023·上海奉贤·高一校考期末）不等式的解集为．例20．（2023·浙江杭州·高一学军中学校考阶段练习）若关于的不等式在上有解，则实数的最小值为．例21．（2023·新疆乌鲁木齐·高一乌鲁木齐市第十九中学校考阶段练习）不等式与不等式是同解不等式，则例22．（2023·辽宁阜新·高一校考期末）不等式的解集为．考点六、判断复合函数的奇偶性例23．（2023·四川攀枝花·高一攀枝花市第三高级中学校校考阶段练习）函数为奇函数，且，若，则．例24．（2023·陕西西安·高一高新一中校考阶段练习）定义在上的奇函数，当时，，则的值为．例25．（2023·湖北恩施·高一校联考阶段练习）函数是定义在上的奇函数，则．例26．（2023·山西·高一校联考期中）若为偶函数，则.考点七、零点问题例27．（2023·浙江温州·高一浙江省平阳中学校联考期中）若不等式的解集为，则函数的零点为（

）A．和 B．和 C．2和 D．和例28．（2023·四川凉山·高一统考期末）函数，则函数的所有零点之和为（

）A．0 B．3 C．10 D．13例29．（2023·安徽马鞍山·高一统考期末）已知函数，，的零点分别为，则（

）A． B．C． D．考点八、函数嵌套问题例30．已知函数若方程有4个不同的零点，且，则（

）A．10 B．8 C．6 D．4例31．设函数，若函数有且只有2个不同的零点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．考点九、共零点问题例32．若关于的方程有三不等的实数根，，，且满足其中两根，，则的取值范围是A． B．， C． D．例33．（2023•永州校级月考）已知函数，且（1）（2）（3），则的取值范围是A． B． C． D．考点十、等高线问题例34．已知函数，若存在四个实数a，b，c，d，满足，，则的取值范围为（

）A．(0，+∞) B． C． D．例35．已知函数，若存在四个实数，，，，满足，，则的取值范围为（

）A． B． C． D．过关检测一、单选题1．（2023·广东佛山·高一校考阶段练习）函数的单调递减区间为（

）A． B．C． D．2．（2023·广东深圳·高一深圳外国语学校校考阶段练习）设函数，则关于x的不等式的解集为（

）A． B． C． D．3．（2023·浙江杭州·高一学军中学校考阶段练习）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（

）．A． B．C． D．4．（2023·江苏连云港·高一校考阶段练习）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．5．（2023·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（

）A． B．C． D．6．（2023·辽宁·高三校联考阶段练习）已知函数（且）在区间上单调递增，则a的取值范围为（

）A． B．C． D．7．（2023·全国·高一专题练习）已知定义在上的是单调函数，且对任意恒有，则函数的零点为（

）A． B． C．2 D．48．（2023·云南昆明·高一云南师大附中校考阶段练习）若二次函数的两个零点为2，3，则二次函数的零点是（

）A． B． C． D．二、多选题9．（2023·全国·高一专题练习）已知函数和在上的图象如图所示，则下列结论正确的是（

）A．方程有且只有6个不同的解 B．方程有且只有3个不同的解C．方程有且只有5个不同的解 D．方程有且只有4个不同的解10．（2023·四川成都·高一校考期中）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．是偶函数 B．是奇函数C．在上是增函数 D．在上是减函数11．（2023·广西·高一校联考阶段练习）已知函数（，为自然对数的底数），则（

）A．函数至多有2个零点 B．，使得是R上的增函数C．当时，的值域为 D．当时，方程有且只有1个实数根12．（2023·陕西商洛·高一校考阶段练习）给出下列结论，其中正确的结论是（

）A．函数的最大值为B．函数的单调递增区间是C．若，则的徝为1D．已知定义在上的奇函数在内有1010个零点，则函数的零点个数为2021三、填空题13．（2023·湖北襄阳·高一襄阳五中校考阶段练习）已知函数，则满足不等式的的取值范围是.14．（2023·河南开封·高一河南大学附属中学校考阶段练习）已知a为正实