辽宁省抚顺市六校联合体2024届高二数学第二学期期末联考试题含解析

辽宁省抚顺市六校联合体2024届高二数学第二学期期末联考试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数，当取得极值时，x的值为（）A． B． C． D．2．设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为A． B． C． D．3．已知函数，是奇函数，则（）A．在上单调递减 B．在上单调递减C．在上单调递增 D．在上单调递增4．阅读下面的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为24，则输出的值为（）A．0 B．1 C．2 D．35．若双曲线的一条渐近线为，则实数（）A． B．2 C．4 D．6．在的展开式中，的幂指数是整数的共有A．3项 B．4项 C．5项 D．6项7．已知，那么“”是“且”的A．充分而不必要条件 B．充要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件8．双曲线x2A．23 B．2 C．3 D．9．已知f(x)=2x,x<0a+log2x,x≥0A．-2 B．2 C．0 D．110．6名同学安排到3个社区，，参加志愿者服务，每个社区安排两名同学，其中甲同学必须到社区，乙和丙同学均不能到社区，则不同的安排方法种数为（）A．5 B．6 C．9 D．1211．已知数列满足（，且是递减数列，是递增数列，则A．B．C．D．12．已知复数满足，则的共轭复数为()A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知满足约束条件，则的最大值为__14．若对于任意x∈[1，4]，不等式0≤ax2+bx+4a≤4x恒成立，|a|+|a+b+25|的范围为_____．15．从边长为10cm×16cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为______cm1．16．湖面上有个相邻的小岛，，，，，现要建座桥梁，将这个小岛连接起来，共有__________不同方案．（用数字作答）三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）为丰富市民的文化生活，市政府计划在一块半径为200m，圆心角为的扇形地上建造市民广场，规划设计如图：内接梯形区域为运动休闲区，其中A，B分别在半径，上，C，D在圆弧上，；上，；区域为文化展区，长为，其余空地为绿化区域，且长不得超过200m.(1)试确定A，B的位置，使的周长最大？(2)当的周长最长时，设，试将运动休闲区的面积S表示为的函数，并求出S的最大值.18．（12分）为了了解学生的身体素质情况，现从某校学生中随机抽取10人进行体能测试，测试的分数（百分制）如茎叶图所示，根据有关国家标准成绩不低于79分的为优秀，将频率视为概率.（1）另从我校学生中任取3人进行测试，求至少有1人成绩是“优秀”的概率；（Ⅱ）从抽取的这10人（成绩见茎叶图）中随机选取3人，记X表示测试成绩为“优秀”的学生人数，求X的分布列和数学期望.19．（12分）已知函数.（1）若在处的切线与轴平行，求的值；（2）当时，求的单调区间.20．（12分）已知.（1）求的解集；（2）设，求证：.21．（12分）以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）将直线：（为参数）化为极坐标方程；（2）设是（1）中的直线上的动点，定点，是曲线上的动点，求的最小值.22．（10分）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)当时，，求的最大整数值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

先求导，令其等于0，再考虑在两侧有无单调性的改变即可【题目详解】解：，，的单调递增区间为和，减区间为，在两侧符号一致，故没有单调性的改变，舍去，故选:B.【题目点拨】本题主要考查函数在某点取得极值的性质：若函数在取得极值．反之结论不成立，即函数有，函数在该点不一定是极值点，（还得加上在两侧有单调性的改变），属基础题．2、B【解题分析】

分析：作图，D为MO与球的交点，点M为三角形ABC的中心，判断出当平面时，三棱锥体积最大，然后进行计算可得．详解：如图所示，点M为三角形ABC的中心，E为AC中点，当平面时，三棱锥体积最大此时，,点M为三角形ABC的中心中，有故选B.点睛：本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出当平面时，三棱锥体积最大很关键，由M为三角形ABC的重心，计算得到，再由勾股定理得到OM，进而得到结果，属于较难题型．3、B【解题分析】分析：因为是奇函数，所以，故，令，则的单调减区间为，从而可以知道在上单调递减.详解：，因是奇函数，故，也即是，化简得，所以，故，从而，又，故，因此.令，，故的单调减区间为，故在上单调递减.选B.点睛：一般地，如果为奇函数，则，如果为偶函数，则.4、C【解题分析】

根据给定的程序框图，逐次循环计算，即可求解，得到答案．【题目详解】由题意，第一循环：，能被3整除，不成立，第二循环：，不能被3整除，不成立，第三循环：，不能被3整除，成立，终止循环，输出，故选C．【题目点拨】本题主要考查了程序框图的识别与应用，其中解答中根据条件进行模拟循环计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．5、C【解题分析】

根据双曲线的标准方程求出渐近线方程，根据双曲线的一条渐近线求得m的值．【题目详解】双曲线中，，令，得，所以；又双曲线的一条渐近线为，则，解得，所以实数．故选：C．【题目点拨】本题考查了利用双曲线的标准方程求渐近线方程的应用问题，是基础题．6、D【解题分析】

根据题目，写出二次项展开式的通项公式，即可求出的幂指数是整数的项的个数。【题目详解】由题意知，要使的幂指数是整数，则必须是的倍数，故当满足条件。即的幂指数是整数的项共有项，故答案选D。【题目点拨】本题主要考查二项式定理的应用，解题关键是熟记二项展开式的公式。7、C【解题分析】

先利用取特殊值法判断x•y＞0时，x＞0且y＞0不成立，再说明x＞0且y＞0时，x•y＞0成立，即可得到结论．【题目详解】若x＝﹣1，y＝﹣1，则x•y＞0，但x＞0且y＞0不成立，若x＞0且y＞0，则x•y＞0一定成立，故“x•y＞0”是“x＞0且y＞0”的必要不充分条件故选：C．【题目点拨】本题考查的知识点是充要条件的定义，考查了不等式的性质的应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题．8、A【解题分析】试题分析：双曲线焦点到渐近线的距离为b，所以距离为b=23考点：双曲线与渐近线．9、C【解题分析】

由函数fx=2x,x<0a+log2【题目详解】∵函数fx∴f（﹣1）＝12∴f[f（﹣1）]=f12解得：a＝0，故选：C．【题目点拨】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，难度不大，属于基础题．10、C【解题分析】分析：该题可以分为两类进行研究，一类是乙和丙之一在A社区，另一在B社区，另一类是乙和丙在B社区，计算出每一类的数据，然后求解即可.详解：由题意将问题分为两类求解：第一类，若乙与丙之一在甲社区，则安排种数为种；第二类，若乙与丙在B社区，则A社区还缺少一人，从剩下三人中选一人，另两人去C社区，故安排方法种数为种；故不同的安排种数是种，故选C.点睛：该题考查的是有关分类加法计数原理，在解题的过程中，对问题进行正确的分类是解题的关键，并且需要将每一类对应的数据正确算出.11、D【解题分析】试题分析：由可得：，又是递减数列，是递增数列，所以，即，由不等式的性质可得：，又因为，即，所以，即，同理可得：；当数列的项数为偶数时，令，可得：，将这个式子相加得：，所以，则，所以选D．考点：1．裂项相消法求和；2．等比数列求和；12、A【解题分析】

根据复数的运算法则得，即可求得其共轭复数.【题目详解】由题：，所以，所以的共轭复数为.故选：A【题目点拨】此题考查求复数的共轭复数，关键在于准确求出复数Z，需要熟练掌握复数的运算法则，准确求解.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【题目详解】由约束条件作出可行域，如图所示，化目标函数为，由图可得，当直线过时，直线在轴上的截距最大，所以有最大值为．故答案为1．【题目点拨】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．14、[25，57]【解题分析】

先把不等式变形为﹣b≤a（x）≤4﹣b恒成立，结合f（x）＝x最值，找到的限制条件，结合线性规划的知识可得.【题目详解】对于任意x∈[1，4]，不等式0≤ax2+bx+4a≤4x恒成立，可得当x∈[1，4]时，不等式﹣b≤a（x）≤4﹣b恒成立，设f（x）＝x，x∈[1，4]；可得x∈[1，2]时f（x）递减，x∈[2，4]时f（x）递增，可得时取得最小值4，或时取得最大值5，所以f（x）的值域为[4，5]；所以原不等式恒成立，等价于，即，设，则，所以，所以目标函数z＝|a|+|a+b+25|＝|y﹣x|+|4x+3y+25|＝|y﹣x|+4x+3y+25，当y≥x时，目标函数z＝3x+4y+25，画出不等式组表示的平面区域，如图，由图可知x＝0，y＝0时zmin＝25，x＝4，y＝5时zmax＝57；当y＜x时，目标函数z＝5x+2y+25，如图，由图可知x＝0，y＝0时zmin＝25，x＝4，y＝4时zmax＝53；综上可得，|a|+|a+b+25|的范围是[25，57]．【题目点拨】本题主要考查不等式恒成立问题及利用线性规划知识求解范围问题，恒成立问题一般是转化为最值问题，线性规划问题通常借助图形求解，侧重考查逻辑推理和数学运算的核心素养.15、144【解题分析】

设小正方形的边长为xcm，【题目详解】设小正方形的边长为xcm则盒子的容积V=V当0<x<2时，V'>0，当2<x<5∴x=2时，V取得极大值，也是最大值，V=故答案为144【题目点拨】本题主要考查了导数在解决实际问题中的应用，考查了学生的阅读理解能力和利用数学知识解决问题的能力，属于基础题目．16、135【解题分析】分析：个相邻的小岛一共可座桥梁，选座，减去不能彼此连接的即可。详解：个相邻的小岛一共可座桥梁，选座不能彼此连接，共135种。点睛：转化问题为组合问题。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）、都为50m；（2）；；最大值为.【解题分析】

对于（1），设，，m，，在△OAB中，利用余弦定理可得，整理得，结合基本不等式即可得出结论；对于（2），当△AOB的周长最大时，梯形ACBD为等腰梯形，过O作OF⊥CD交CD于F，交AB于E，则E、F分别为AB，CD的中点，利用已知可表示出相关线段；然后利用梯形的面积公式可知，，，令，，，结合导数，确定函数的单调性，即可求出S的最大值．【题目详解】解：（1）设，，m，，在中，，即.所以.所以，当且仅当时，取得最大值，此时周长取得最大值.答：当、都为50m时，的周长最大.（2）当的周长最大时，梯形为等腰梯形.如上图所示，过O作交于F，交于E，则E、F分别为、的中点，所以.由，得.在中，，.又在中，，故.所以，.令，，，.又及在上均为单调递减函数，故在上为单调递减函数.因，故在上恒成立，于是，在上为单调递增函数.所以当时，有最大值，此时S有最大值为.答：当时，梯形面积有最大值，且最大值为.【题目点拨】本题主要考查了余弦定理、基本不等式以及导数的应用，在（2）中得到后，利用导数得到求出，结合函数在公共区间上，减函数+减函数等于减函数，从而确定在上为单调递减函数.属于难题.18、（1）（2）的分布列见解析,期望【解题分析】试题分析：(1)由题意结合对立事件的概率公式可得至少有1人成绩是“优秀”的概率是；(2)的取值可能为0,1,2,3，结合超几何分布的概率公式可得函数的分布列，然后可求得X的数学期望为.试题解析：(1)由茎叶图知,抽取的10人中成绩是“优秀”的有6人，频率为，依题意,从我校学生中任选1人，成绩是“优秀”的概率为，记事件表示“在我校学生中任选3人，至少1人成绩是优良”,则(2)由题意可得，的取值可能为0,1,2,3,,,0123,∴的分布列为：期望点睛：(1)求解本题的关键在于：①从茎叶图中准确提取信息；②明确随机变量X服从超几何分布．(2)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．19、（1）（2）函数在上递增，在上递减【解题分析】

（1）求导数，将代入导函数，值为0，解得.（2）当时，代入函数求导，根据导数的正负确定函数单调性.【题目详解】解：（1）函数的定义域为又，依题有，解得．（2）当时，，令，解得，（舍）当时，，递增，时，，递减；所以函数在上递增，在上递减．【题目点拨】本题考查了函数的切线，函数的单调性，意在考查学生的计算能力.20、（1）；（2）证明见解析.【解题分析】

（1）利用零点分段法，写出的分段函数形式，分类讨论求解即可（2）根据，，利用作差法即可求证【题目详解】（1）当时，由，得，解得，所以；当时，，成立；当时，由，得，解得，所以.综上，的解集.（2）证明：因为，所以，.所以，所以.【题目点拨】本题考查利用零点分段法解决绝对值不等式求解、利用作差法处理两式大小关系的证明21、（1）；（2）.【解题分析】

（1）先将直线的参数方程化为普通方程，再由可将直线的普通方程化为极坐标方程；（2）将点的极坐标化为直角坐标，点所在曲线的方程化为普通方程，可知该曲线为圆，利用当、、与圆心四点共线且点为圆心与点连线线段与圆的交点时，取得最小值，可得出答案。【题目详解】（1）消去参数得，即，∴直线的极坐标方程为．（答案也可以化为）（2）∵的直角坐标为，曲线是圆：（为圆心）．∴．∴的最小值为（这时是直线与直线的交点）．【题目点拨】本题第（1）问考查的参数方程、极坐标方程与