2024届山东省单县第一中学数学高二第二学期期末统考模拟试题含解析

2024届山东省单县第一中学数学高二第二学期期末统考模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若关于的不等式的解集是，则实数等于（）A．－1 B．－2 C．1 D．22．“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标.“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高.如图是2018年9月到2019年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图.根据该走势图，下列结论正确的是（）A．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的方差小于11月份的方差D．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值3．袋中装有6个红球和4个白球，不放回的依次摸出两球，在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率是A． B． C． D．4．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃．下面叙述不正确的是()A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个5．已知曲线C：y＝，曲线C关于y轴的对称曲线C′的方程是（）A．y＝﹣ B．y＝﹣ C．y＝ D．y＝6．定义在上的奇函数满足，且当时，，则（）A． B．2 C． D．7．设等比数列的前n项和为，公比，则（）A． B． C． D．8．已知，则()A． B． C． D．以上都不正确9．已知的展开式中，含项的系数为70，则实数a的值为（）A．1 B．-1 C．2 D．-210．已知为实数，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件11．点是椭圆上的一个动点,则的最大值为(

)A． B． C． D．12．设，，，则下列正确的是A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．除以9的余数为_______；14．已知抛物线：，点是它的焦点，对于过点且与抛物线有两个不同公共点，的任一直线都有，则实数的取值范围是______.15．若实数x,y满足x-y+1≥0x+y≥0x≤0，则16．已知，则________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）椭圆经过点，左、右焦点分别是，，点在椭圆上，且满足的点只有两个.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过且不垂直于坐标轴的直线交椭圆于，两点，在轴上是否存在一点，使得的角平分线是轴？若存在求出，若不存在，说明理由.18．（12分）已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若二次函数与函数的图象恒有公共点，求实数的取值范围．19．（12分）如图，在中，，D是AE的中点，C是线段BE上的一点，且，，将沿AB折起使得二面角是直二面角．（l）求证：CD平面PAB；（2）求直线PE与平面PCD所成角的正切值．20．（12分）在数列中，，，其中实数．(1)求，并由此归纳出的通项公式；(2)用数学归纳法证明(Ⅰ)的结论．21．（12分）已知四棱锥P－ABCD的底面为等腰梯形,AB∥CD,AC⊥BD,垂足为H,PH是四棱锥的高,E为AD中点,设1)证明：PE⊥BC；2)若∠APB＝∠ADB＝60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．22．（10分）有5人进入到一列有7节车厢的地铁中，分别求下列情况的概率(用数字作最终答案)：(1)恰好有5节车厢各有一人；(2)恰好有2节不相邻的空车厢；(3)恰好有3节车厢有人．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

根据一元一次不等式与一元一次方程的关系，列出方程，即可求解.【题目详解】由题意不等式的解集是，所以方程的解是，则，解得，故选C.【题目点拨】本题主要考查了一元一次不等式与一元一次方程的关系的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2、D【解题分析】

选项A错，并无周期变化，选项B错，并不是不断减弱，中间有增强．C选项错，10月的波动大小11月分，所以方差要大．D选项对，由图可知，12月起到1月份有下降的趋势，所以去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值．选D.3、D【解题分析】

通过条件概率相关公式即可计算得到答案.【题目详解】设“第一次摸到红球”为事件A，“第二次摸到红球”为事件B，而，，故，故选D.【题目点拨】本题主要考查条件概率的相关计算，难度不大.4、D【解题分析】

试题分析：由图可知各月的平均最低气温都在0℃以上，A正确；由图可知在七月的平均温差大于，而一月的平均温差小于，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在，基本相同，C正确；由图可知平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，所以不正确．故选D．【考点】统计图【易错警示】解答本题时易错可能有两种：（1）对图形中的线条认识不明确，不知所措，只觉得是两把雨伞重叠在一起，找不到解决问题的方法；（2）估计平均温差时易出现错误，错选B．5、A【解题分析】

设所求曲线上任意一点，由关于直线的对称的点在已知曲线上，然后代入已知曲线，即可求解．【题目详解】设所求曲线上任意一点，则关于直线的对称的点在已知曲线，所以，故选A．【题目点拨】本题主要考查了已知曲线关于直线的对称的曲线方程的求解，其步骤是：在所求曲线上任取一点，求得其关于直线的对称点，代入已知曲线求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．6、D【解题分析】

由等式可得函数的周期，得到，再由奇函数的性质得，根据解析式求出，从而得到的值.【题目详解】因为，所以的周期，所以，故选D.【题目点拨】由等式得函数的周期，其理由是：为函数自变量的一个取值，为函数自变量的另一个取值，这两个自变量的差始终为4，函数值始终相等，所以函数的周期为4.7、D【解题分析】

由等比数列的通项公式与前项和公式分别表示出与，化简即可得到的值【题目详解】因为等比数列的公比，则，故选D．【题目点拨】本题考查等比数列的通项公式与前项和公式，属于基础题。8、B【解题分析】由题意可得：据此有：.本题选择B选项.9、A【解题分析】

分析：由题意结合二项式展开式的通项公式得到关于a的方程，解方程即可求得实数a的值.详解：展开式的通项公式为：，由于，据此可知含项的系数为：,结合题意可知：，解得：.本题选择A选项.点睛：(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．10、B【解题分析】分析：由，则成立，反之：如，即可判断关系．详解：由，则成立，反之：如，则不成立，所以“”是“”的必要不充分条件，故选B．点睛：本题主要考查了不等式的性质及必要不充分条件的判定，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．11、A【解题分析】

设，由此，根据三角函数的有界性可得结果.【题目详解】椭圆方程为,设,则(其中),故,的最大值为，故选A.【题目点拨】本题主要考查椭圆参数方程的应用，辅助角公式的应用，属于中档题.利用公式可以求出:①的周期;②单调区间（利用正弦函数的单调区间可通过解不等式求得）；③值域；④对称轴及对称中心（由可得对称轴方程，由可得对称中心横坐标.12、B【解题分析】

根据得单调性可得；构造函数，通过导数可确定函数的单调性，根据单调性可得，得到，进而得到结论.【题目详解】由的单调递增可知：，即令，则令，则当时，；当时，即：在上单调递增，在上单调递减，即，即：综上所述：本题正确选项：【题目点拨】本题考查根据函数单调性比较大小的问题，难点在于比较指数与对数大小时，需要构造函数，利用导数确定函数的单调性；需要注意的是，在得到导函数的零点后，需验证零点与之间的大小关系，从而确定所属的单调区间.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

将变为，利用二项式定理展开可知余数因不含因数的项而产生，从而可知余数为.【题目详解】由题意得：除以的余数为：本题正确结果：【题目点拨】本题考查余数问题的求解，考查学生对于二项式定理的掌握情况，关键是能够配凑出除数的形式，属于常考题型.14、【解题分析】

设直线的方程为,联立抛物线的方程得出韦达定理,将翻译成关于点,的关系式,再代入韦达定理求解即可.【题目详解】设直线的方程为,则,设,.则.则由得.代入韦达定理有恒成立.故故答案为：【题目点拨】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系,设而不求利用韦达定理翻译题目条件从而进行运算的方法等.属于中等题型.15、1【解题分析】试题分析：不等式对应的可行域为直线x-y+1=0,x+y=0,x=0围成的三角形及其内部，顶点为(0,0),(0,1),(-12,12考点：线性规划问题16、【解题分析】

将分子化为，然后在分式的分子和分母中同时除以，利用弦化切的思想进行计算.【题目详解】，故答案为.【题目点拨】本题考查利用弦化切思想进行求值，弦化切一般适用于以下两种情况：（1）分式是关于角的次分式齐次式，在分式的分子和分母中同时除以，可将分式化为切的代数式进行计算；（2）角弦的二次整式，先除以，将代数式化为角的二次分式齐次式，然后在分式的分子和分母中同时除以，可将代数式化为切的代数式进行计算.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.【解题分析】

（Ⅰ）由题得点为椭圆的上下顶点，得到a,b,c的方程组，解方程组即得椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线的方程为，联立直线和椭圆方程得到韦达定理，根据得到.所以存在点，使得的平分线是轴.【题目详解】解：（I）由题设知点为椭圆的上下顶点，所以，b=c,,故，,故椭圆方程为.（Ⅱ）设直线的方程为，联立消得设，坐标为，则有，，又，假设在轴上存在这样的点，使得轴是的平分线，则有而将，，代入有即因为，故.所以存在点，使得的平分线是轴.【题目点拨】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系和椭圆中的存在性问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18、（1）；（2）．【解题分析】

（1）将代入函数解析式，并将函数表示为分段函数形式，利用零点分段法可解出不等式的解集；（2）首先求得二次函数的最小值和函数的最大值，据此得到关于实数的不等式，求得不等式可得出实数的取值范围．【题目详解】（1）当时，.当时，，由，得，解得，此时，；当时，，由，得，解得，此时，；当时，，由由，得，解得，此时，.综上所述，不等式的解集为；（2），该函数在处取得最小值，因为，所以，函数在处取得最大值，由于二次函数与函数的图像恒有公共点，只需，即，因此，实数的取值范围是．【题目点拨】本题考查了绝对值不等式的解法，二次函数的性质，着重考查了学生对基础概念的理解，还考查了函数的恒成立问题，一般转化为最值来处理，考查了化归与转化思想的应用，属于中等题．19、（1）证明见解析.（2）.【解题分析】分析：（1）推导出是的斜边上的中线，从而是的中点，由此能证明平面；（2）三棱锥的体积为，由此能求出结果．详解：（1）因为，所以，又，，所以，又因为，所以是的斜边上的中线，所以是的中点，又因为是的中点．所以是的中位线，所以，又因为平面，平面，所以平面．（2）据题设分析知，，，两两互相垂直，以为原点，，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系：因为，且，分别是，的中点，所以，，所以，，，，所以，，，设平面的一个法向量为，则，即，所以，令，则，设直线与平面所成角的大小为，则．故直线与平面所成角的正切值为．点睛：本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.20、(1)(2)见解析【解题分析】试题分析：（1），，可归纳猜测；（2）根据数学归纳法证明原理，当时，由显然结论成立．假设时结论成立，即只需证明当时，即可..试题解析：(1)由，及得，于是猜测:(2)下面用数学归纳法予以证明:当时，由显然结论成立．假设时结论成立，即那么，当时，由显然结论成立．由、知，对任何都有21、(1)见解析;(2).【解题分析】分析：（1）以H为原点，HA，HB，HP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明PE⊥BC；（2）求出平面PEH的法向量和＝(1,0，－1)，利用向量法能求出直线PA与平面PEH所成角的正弦值．详解：以H为原点，HA，HB，HP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图，则A(1,0,0)，B(0,1,0)，(1)证明：设C(m,0,0)，P(0,0，n)(m<0，n>0)，则D(0，m,0)，E(，，0