带电粒子在复合场中的运动

选必2.1.2磁场对运动电荷的作用力专题：带电粒子在复合场中的运动【目标】1.运用力学、电学知识处理带电粒子在组合场中的运动问题。2.运用力学、电学知识处理带电粒子在叠加场中的运动问题。任务一：带电粒子在组合场中的运动问题1：什么是组合场？问题2：带电粒子是否考虑重力？问题3：常见的运动类型有哪些？如何进行分析？活动1：从电场进入磁场如图所示，在平面直角坐标系xOy内，第Ⅱ、Ⅲ象限内存在沿y轴正方向的匀强电场，第Ⅰ、Ⅳ象限内存在半径为L的圆形匀强磁场，磁场圆心在M(L，0)点，磁场方向垂直于坐标平面向外。一带正电粒子从第Ⅲ象限中的Q(－2L，－L)点以速度v0沿x轴正方向射入电场，恰好从坐标原点O进入磁场，从P(2L，0)点射出磁场，不计粒子重力，求：(1)电场强度与磁感应强度大小的比值；(2)粒子在磁场与电场中运动时间的比值。解析：(1)粒子的运动轨迹如图所示，设粒子的质量和所带电荷量分别为m和q，粒子在匀强电场中运动，由类平抛运动规律及牛顿第二定律得2L＝v0t1，L＝eq\f(1,2)ateq\o\al(2,1)，qE＝ma，联立解得E＝eq\f(mveq\o\al(2,0),2qL)粒子到达O点时沿＋y方向的分速度为vy＝at1＝v0，tanα＝eq\f(vy,v0)＝1，故α＝45°。粒子在磁场中的速度为v＝eq\r(2)v0由几何关系得r＝eq\r(2)L，又qvB＝eq\f(mv2,r)联立解得B＝eq\f(mv0,qL)，则eq\f(E,B)＝eq\f(v0,2)。(2)粒子在磁场中运动的周期为T＝eq\f(2πr,v)粒子在磁场中运动的时间为t2＝eq\f(1,4)T＝eq\f(πL,2v0)粒子在电场中运动的时间为t1＝eq\f(2L,v0)解得eq\f(t2,t1)＝eq\f(π,4)。【练习】如图所示，在第一象限内有水平向右的匀强电场，电场强度大小E＝eq\f(3mveq\o\al(2,0),2qd)。在第四象限内有垂直于纸面向外的匀强磁场，在该平面内有一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子从P点以初速度v0沿y轴负方向射出，P点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2d，\f(2\r(3),3)d))，粒子恰好能打到y轴上，不考虑粒子的重力，则匀强磁场的磁感应强度B的大小为()A．eq\f(mv0,4qd)B．eq\f(mv0,2qd)C．eq\f(mv0,qd) D．eq\f(2mv0,qd)C[如图所示，粒子在电场中做类平抛运动，沿y轴负方向做匀速直线运动，有eq\f(2\r(3),3)d＝v0t，沿x轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a＝eq\f(qE,m)＝eq\f(3veq\o\al(2,0),2d)，则沿x轴正方向的位移x＝eq\f(1,2)at2＝d，设射出电场时粒子的速度v方向与初速度v0方向的夹角为θ，根据类平抛运动的推论得tanθ＝2eq\f(x,\f(2\r(3),3)d)＝eq\r(3)，则θ＝60°，所以v＝eq\f(v0,cos60°)＝2v0，粒子在磁场中做匀速圆周运动，恰好打到y轴上时，轨迹与y轴相切，设粒子轨迹半径为r，根据几何关系得r＋rcos60°＝2d＋x，解得r＝2d，粒子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有qvB＝eq\f(mv2,r)，解得B＝eq\f(mv0,qd)，故选C。]活动2：从磁场进入电场如图所示，真空中有一以O点为圆心的圆形匀强磁场区域，半径为R＝0.5m，磁场方向垂直纸面向里。在y>R的区域存在一沿y轴负方向的匀强电场，电场强度为E＝1.0×105V/m。在M点(坐标原点)有一正粒子以速率v＝1.0×106m/s沿x轴正方向射入磁场，粒子穿出磁场进入电场，速度减小到0后又返回磁场，最终又从磁场离开。已知粒子的比荷为eq\f(q,m)＝1.0×107C/kg，不计粒子重力。求：(1)圆形磁场区域磁感应强度的大小；(2)沿x轴正方向射入磁场的粒子，从进入磁场到再次穿出磁场所走过的路程。解析：(1)粒子沿x轴正方向射入磁场的粒子进入电场后，速度减小到0，粒子一定是从如图所示的P点射入电场，逆着电场线运动，所以粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径r＝R＝0.5m，根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝meq\f(v2,r)解得B＝eq\f(mv,qR)代入数据得B＝0.2T。(2)粒子返回磁场后，经磁场偏转后从N点射出磁场，粒子在磁场中运动的路程为二分之一圆周长，即s1＝πr设粒子在电场中运动的路程为s2，根据动能定理得qEeq\f(s2,2)＝eq\f(1,2)mv2解得s2＝eq\f(mv2,Eq)总路程s＝s1＋s2＝πr＋eq\f(mv2,Eq)代入数据得s＝(0.5π＋1)m。【练习】如图所示，平面直角坐标系中，存在一个半径R＝0.2m的圆形匀强磁场区域，磁感应强度B＝1.0T，方向垂直纸面向外，该磁场区域的右边缘与坐标原点O相切，y轴右侧存在电场强度大小E＝1.0×104N/C的匀强电场，方向沿y轴正方向，电场区域宽度l＝0.1m。现从坐标为(－0.2m，－0.2m)的P点发射出质量m＝2.0×10－9kg、电荷量q＝5.0×10－5C的带正电粒子，沿y轴正方向射入匀强磁场，速度大小v0＝5.0×103m/s，重力不计。(1)求该带电粒子射出电场时的位置坐标；(2)为了使该带电粒子能从坐标为(0.1m，－0.05m)的点回到电场中，可在紧邻电场的右侧一正方形区域内加匀强磁场，试求所加匀强磁场的磁感应强度大小和正方形区域的最小面积。解析：(1)带正电粒子在磁场中做匀速圆周运动，有qv0B＝meq\f(veq\o\al(2,0),r)解得r＝0.20m＝R。如图所示，根据几何关系可知，带电粒子恰从O点沿x轴正方向进入电场，带电粒子做类平抛运动，设粒子到达电场边缘时，竖直方向的位移为y，有l＝v0t，y＝eq\f(1,2)•eq\f(qE,m)t2联立解得y＝0.05m。所以粒子射出电场时的位置坐标为(0.1m，0.05m)。(2)粒子飞离电场时，沿电场方向的速度vy＝eq\f(qE,m)t＝5.0×103m/s＝v0粒子射出电场时的速度v＝eq\r(2)v0由几何关系可知，粒子在正方形区域磁场中做圆周运动的半径r′＝0.05eq\r(2)m由qvB′＝meq\f(v2,r′)，解得B′＝4T正方形区域的最小面积S＝(2r′)2＝0.02m2。任务二：带电粒子在叠加场中的运动问题1：什么是叠加场？问题2：常见的运动类型有哪些？如何进行分析？活动：如图所示，A、B间存在与竖直方向成45°斜向上的匀强电场E1，B、C间存在竖直向上的匀强电场E2，A、B的间距为1.25m，B、C的间距为3m，C为荧光屏。一质量m＝1.0×10－3kg、电荷量q＝＋1.0×10－2C的带电粒子由a点静止释放，恰好沿水平方向经过b点到达荧光屏上的O点。若在B、C间再加方向垂直纸面向外且大小为B＝0.1T的匀强磁场，粒子经b点偏转到达荧光屏O′点(图中未画出)。取g＝10m/s2，求：(1)E1的大小；(2)加上磁场后粒子打在屏上的位置O′距O点的距离；(3)加上磁场后，粒子由b点到O′点电势能的变化量。解析：(1)粒子在A、B间做匀加速直线运动，竖直方向受力平衡，则有qE1cos45°＝mg解得E1＝eq\r(2)N/C。(2)粒子从a到b的过程中，由动能定理得：qE1dABsin45°＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,b)解得vb＝5m/s加磁场前粒子在B、C间必做匀速直线运动，电场力与重力大小相等，则加磁场后粒子在B、C间必做匀速圆周运动，如图所示，由牛顿第二定律可得：qvbB＝meq\f(veq\o\al(2,b),R)解得R＝5m设粒子在B、C间运动的偏转距离为y，由几何知识得R2＝deq\o\al(2,BC)＋(R－y)2代入数据得y＝1.0m(y＝9.0m舍去)。(3)加磁场前粒子在B、C间必做匀速直线运动，则有：qE2＝mg粒子在B、C间运动时电场力做的功W＝－qE2y＝－mgy＝－1.0×10－2J由功能关系知，粒子由b点到O′点电势能增加了1.0×10－2J。答案：(1)eq\r(2)N/C(2)1.0m(3)增加了1.0×10－2J【练习】（1）如图所示，空间存在竖直向上的匀强电场和水平的匀强磁场(垂直纸面向里)。一带正电的小球从O点由静止释放后，运动轨迹如图中曲线OPQ所示，其中P为运动轨迹中的最高点，Q为与O同一水平高度的点。下列关于该带电小球运动的描述，正确的是()A．小球在运动过程中受到的磁场力先增大后减小B．小球在运动过程中电势能先增加后减少C．小球在运动过程中机械能守恒D．小球到Q点后将沿着曲线QPO回到O点A[小球由静止开始向上运动，可知电场力大于重力，在运动的过程中，洛伦兹力不做功，电场力和重力的合力先做正功，后做负功，根据动能定理知，小球的速度先增大后减小，则小球受到的磁场力先增大后减小，故A正确；小球在运动的过程中，电场力先做正功，后做负功，则电势能先减少后增加，故B错误；小球在运动的过程中，除重力做功以外，电场力也做功，机械能不守恒，故C错误；小球到Q点后，将重复之前的运动，不会沿着曲线QPO回到O点，故D错误。]（2）(多选)空间中存在竖直向上的匀强电场和垂直纸面的匀强磁场(图中未画出)，一带电小球在竖直平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动，最高点为a，最低点为b，不计空气阻力，则下列说法正确的是()A．小球带正电B．磁场方向垂直纸面向外C．小球在从a点运动到b点的过程中，电势能减小D．运动过程