第五章 平面向量、复数 章节检测（提高卷）教师讲解版-2022年高考数学一轮（新高考专版）

文档来源网络整理侵权必删第五章平面向量、复数章节检测（基础卷）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（2021·陕西咸阳市·高二期中（文））若复数为纯虚数，则它的共轭复数是（）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：复数，为纯虚数，，，，共轭复数．故选：．2．（2021·江苏南通市·高一期中）瑞士数学家莱昂哈德·欧拉于1748年提出了著名的公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式被称为欧拉公式，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式，（）A． B．C． D．【答案】C【详解】根据欧拉公式可得所以故选：C3．（2021·江苏南通市·高一期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点，，，点是直线上的一个动点．的最小值是（）A．18 B．3 C．0 D．－2【答案】D【详解】依题意，在直线上，故设，所以，所以当时，有最小值为.故选：D4．（2021·上海市建平中学高一期中）在中，""是为钝角三角形的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】由，可得，所以为钝角，是钝角三角形，所以由可以得出为钝角三角形，若为钝角三角形，不一定为钝角，所以也得不出，所以在中，""是为钝角三角形的充分不必要条件，故选：A.5．（2020·千阳县中学高二期末（理））平面向量也叫二维向量，二维向量的坐标表示及其运算可以推广到维向量，维向量可用表示．设，，规定向量与夹角的余弦为．当，时，（）A． B．C． D．【答案】D【详解】因为，，，，，所以，故选：D.6．（2021·无锡市堰桥高级中学高一期中）我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若，，，则（）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题得即，解得，即，故选：C7．（2021·石家庄市第十七中学高一月考）过的重心做一条与不平行的直线分别交，于，两点，若，，（，），则的最小值为（）A．9 B．5 C．3 D．2【答案】C【详解】解：根据题意三点共线，故存在实数使得，因为为的重心，所以，因为，，所以所以，化简得，则，当且仅当，即时，取等号.故选：C.8．（2021·浙江高一期末）如图，延长正方形的边至点，使得，动点从点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点，若，则下列判断正确的是（）A．满足的点必为的中点B．满足的点有且只有一个C．满足的点有且只有一个D．的的点有且只有一个【答案】C【详解】如图建系，取，∵，∴，动点从点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点，当时，有且，∴，∴，当时，有且，则，∴，∴，当时，有且，则，∴，∴，当时，有且，则，∴，∴，综上，，选项A，取，满足，此时，因此点不一定是的中点，故A错误；选项B，当点取点或的中点时，均满足，此时点有两个，故B正确；选项C，当点取点时，且，解得，为，故C正确；选项D，当点取的中点或的中点时，均满足，此时点有两个，故D正确；故选：BCD.二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．（2021·佛山市南海区桂城中学高二月考）已知复数（为虚数单位），为的共轭复数，若复数，则下列结论正确的有（）A．在复平面内对应的点位于第二象限B．C．的实部为D．的虚部为【答案】AB【详解】，所以在复平面内对应的点是，位于第二象限，故A正确；，故B正确；的实部是，故C错误；的虚部是，故D错误.故选：AB10．（2021·福建高一期中）满足及的复数可以是（）A． B． C． D．【答案】AB【详解】设，因为，所以，，解得：，代入中，得，所以，故选：AB11．（2021·浙江高一期末）已知向量，，下列结论中正确的是（）A．若，则B．与共线的单位向量一定为C．当时，在上的投影向量为D．当时，与的夹角为锐角【答案】AC【详解】由题意，向量，，对于A中，若，可得，解得，所以A正确；对于B中，由，所以与共线的单位向量为或，所以B不正确；对于C中，当时，可得，，可得在上的投影为，则在上的投影向量为，所以C正确；对于D中，由，当时，可得，所以与夹角为锐角或零度角，例如当时，与共线，夹角为零度角，所以D不正确.故选：AC12．（2021·深圳市高级中学高一期中）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内的一点，、、的面积分别为、、，则.若是锐角内的一点，、、是的三个内角，且点满足，则（）A．为的垂心B．C．D．【答案】ABD【详解】A项：，即，，，，同理可得，，故为的垂心，A正确；B：如图，延长交于点，延长交于点，延长交于点，因为，所以，，因为，所以，，则，B正确；C项：在中，由正弦定理易知，因为，，所以，即，，同理可得，故，C错误；D项：，同理可得，，则，同理可得，，因为，所以将、、代入，可得，因为，所以，故成立，D正确，故选：ABD.三､填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分。）13．（2021·广西桂林市·高二开学考试（理））已知中，，点在正方形外面，点在边上，且，则______.【答案】【详解】如图，以为原点建立如图所示的平面直角坐标系.不妨设正方形边长为2，则.又因为为等边三角形，所以可得,设.所以，又因为，所以，得.故答案为:14．（2021·江苏高一期中）已知复数对应的点在复平面第三象限内，甲、乙、丙三人对复数的陈述如下（i为虚数单位）：甲：；乙：i；丙：；丁：．在甲、乙、丙、丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数__________．【答案】i【详解】设i,甲：,所以,所以；乙：i，所以，所以，不符合，所以称述错误；丙：，所以,所以；丁：，所以，所以，与已知矛盾，所以陈述错误.所以只有甲丙符合陈述.所以，所以i.故答案为：i15．（2021·福建福州四中高一期中）如图，在中，，，，是的中点，点满足，与交于点.则的余弦值为__________.【答案】.【详解】如图建立平面直角坐标系，则，∵D为线段BC的中点，∴D（3,2），又∵，易得：E（4,0）,∴直线BE：，直线AD：，联立解得：,∴，，∴.故答案为：.16．（2021·衡水市第十四中学高一期末）已知两个非零平面向量，满足：对任意恒有，则：①若，则______；②若，的夹角为，则的最小值为______．【答案】【详解】由题意，，则恒成立，①时，对恒成立，∴，可得.②由，的夹角为，则，又在恒成立，∴，∴，则，当时，的最小值为.故答案为：，四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第16题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤。）17．（2021·江苏盐城市·高一期中）在①，②复平面内表示的点在函数上，③.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中已知复数，，___________.若，求复数【答案】条件选择见解析；.【详解】选条件①.因为,所以由于所以,解得.所以,,则，则选条件②.因为，所以在复平面上表示的点为所以的（下同①）选条件③.因为，所以由得（下同①）18．（2021·江苏高二期中）已知复平面内点，，分别对应复数，，，其中，，，，是原点．（1）求证：；（2）求四边形面积的最大值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【详解】（1）由题设得，，所以，∴，所以（2）由于，根据复数加法及向量加法的几何意义知，四边形是平行四边形．又因为，所以四边形是矩形则四边形的面积∵∴∴时，即时，19．（2021·江苏徐州市·高一期中）已知向量，，（1）若与垂直，求实数的值；（2）求向量与夹角的余弦值.【答案】（1）；（2）【详解】（1）因为向量，，所以，，若与垂直，则，即，解得：；（2），，所以，，，设向量与夹角为，所以，所以向量与夹角的余弦值20．（2021·江苏无锡市·高一期中）如图，设，是平面内相交成60°角的两条数轴，，分别是与x轴、y轴同方向的单位向量．若向量＝x+y，则把有序数对叫做在坐标系中的坐标．已知向量在坐标系中的坐标分别为（2，3）、（4，5）．（1）求；（2）是否存在轴上一点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）不存在；理由见解析．【详解】（1）∵，∴，故的值为．（2）假设y轴存在一点C，使得△ABC是以AB为斜边的直角三角形．设，则，．根据题意得：，则＝0，∴．＝0，得：，整理得：，其中，则方程无解．故在y轴上不存在点C，使得△ABC是以AB为斜边的直角三角形．21．（2021·上海松江·高一期末）已知是线段外一点，若，．（1）设点是的重心，证明：；（2）设点、是线段的三等分点，、及的重心依次为、、，试用向量、表示；（3）如果在线段上有若干个等分点，请你写出一个正确的结论？(不必证明)说明：第（3）题将根据结论的一般性程度给予不同的评分．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）答案见解析.【详解】（1）设的中点为，则；（2）如图：点、是线段的三等分点，，，，则；（3）层次一：设是的二等分点，则，，设、、是线段的四等分点，则，或设、、…、是线段的等分点，则（，2，…，），层次二：设、、…、是线段的等分点，，层次三：设、、…、是线段的等分点，则．22．（2021·浙江高一期中）在中，已知，，在线段上，且，是