山东省临沂市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类

山东省临沂市三年(2020-2022)中考数学真题分类汇编-03解答

题知识点分类

一.分式的加减法

1.(2022•临沂)计算：

(1)-23-r-lx(A-A)；

963

(2)

x+lX-1

二.二次根式的混合运算

2.(2021•临沂)计算|-&|+(、历-工）2-（加+工）2

_22

3.(2020•临沂)计算：J/房

-sin60°.

三.反比例函数的性质

一,

X

4.(2021•临沂)已知函数y=<3X,

3

X

(1)画出函数图象；

列表：

X

描点，连线得到函数图象:

>4

（3）设（XI,>'|）,（X2,”）是函数图象上的点，若X1+X2=O,证明：yi+”=O.

四.反比例函数的应用

5.（2022•临沂）杠杆原理在生活中被广泛应用（杠杆原理：阻力X阻力臂=动力又动力臂）,

小明利用这一原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图1）.制作方法如下：

第一步：在一根匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度1C7H）,确定支点O,并用细麻

绳固定，在支点。左侧2c机的A处固定一个金属吊钩，作为秤钩；

第二步：取一个质量为0.5奴的金属物体作为秤蛇.

（1）图1中，把重物挂在秤钩上，秤坨挂在支点O右侧的8处，秤杆平衡，就能称得

重物的质量.当重物的质量变化时，的长度随之变化.设重物的质量为xkg,OB的

（2）调换秤花与重物的位置，把秤枪挂在秤钩上，重物挂在支点。右侧的8处，使秤

杆平衡，如图2.设重物的质量为xkg,。3的长为写出y关于x的函数解析式，完

成下表，画出该函数的图象.

xlkg0.250.524

ylem

Ay

A--------1------1-------T-------I----------1---------1-----T

2--------1----------------T-------I----------1---------1-----T

°1234a

6.（2020•临沂）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流/（单位：A）与电阻R（单

位：Q）是反比例函数关系.当R=4Q时，/=%.

（1）写出/关于R的函数解析式;

（2）完成下表，并在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象;

R/C…

I/A…

14

151r丁一「

14JL_LL」_L」_L」一J

13

12immrITT

111」_L

104-

9T一厂-1一T-rT1一--FT-L1-1

S1_」_L」_」，

7>八

6rn-丁一「-i--rTrn-

4-i

3--r-i--t-1

2

1U-l-4

lII

O123456789101112131415RQ.

（3）如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过104那么用电器可变电阻应

控制在什么范围内？

五.待定系数法求二次函数解析式

7.（2020•临沂）已知抛物线（〃W0）.

（1）求这条抛物线的对称轴：

（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求其解析式；

（3）设点PCm,yi）,Q（3,”）在抛物线上，若）“＜）%求/w的取值范围.

六.二次函数的应用

8.（2022•临沂）第二十四届冬奥会在北京成功举办，我国选手在跳台滑雪项目中夺得金牌.在

该项目中，运动员首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行

至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止.本项目主要考核运动员的飞行距离和动作姿态，

某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究：

如图为该兴趣小组绘制的赛道截面图，以停止区8所在水平线为x轴，过起跳点A与x

轴垂直的直线为y轴，。为坐标原点，建立平面直角坐标系.着陆坡AC的坡角为30°,

04=65%某运动员在A处起跳腾空后，飞行至着陆坡的3处着陆，AB=100,〃.在空中

飞行过程中，运动员到x轴的距离y（加）与水平方向移动的距离x（相）具备二次函数

关系，其解析式为），=-U+fec+c.

60

（1）求b,c的值；

（2）进一步研究发现，运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离x（〃力与飞行时

间f（s）具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，r=0,x=0；空中飞行5s后着

陆.

①求x关于，的函数解析式；

②当，为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离/?最大，最大值是多少？

9.（2021•临沂）公路上正在行驶的甲车，发现前方20机处沿同一方向行驶的乙车后，开始

减速，减速后甲车行驶的路程s（单位：m）、速度v（单位：nils）与时间f（单位：s）

的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示.

(1)当甲车减速至9〃加时，它行驶的路程是多少？

(2)若乙车以10〃论的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？

10.(2022•临沂)已知aABC是等边三角形，点8,。关于直线AC对称，连接A。，CD.

(1)求证：四边形ABC。是菱形；

(2)在线段4c上任取一点尸(端点除外)，连接PD.将线段PO绕点尸逆时针旋转,

使点。落在8A延长线上的点。处.请探究：当点P在线段4c上的位置发生变化时,

NDPQ的大小是否发生变化？说明理由.

11.(2021•临沂)如图，已知正方形ABCD,点E是边上一点，将△ABE沿直线AE折

叠，点B落在尸处，连接BF并延长，与ND4尸的平分线相交于点“，与AE,CD分别

相交于点G,M,连接”C.

(1)求证：AG=GH；

(2)若A8=3,BE=1,求点£＞到直线2H的距离；

(3)当点E在BC边上(端点除外)运动时，NB4C的大小是否变化？为什么？

12.（2020•临沂）如图，菱形ABC。的边长为1,NA8C=60°,点E是边A8上任意一点

（端点除外），线段CE的垂直平分线交BO,CE分别于点凡G,AE,EF的中点分别为

M,N.

（1）求证：AF=EF；

（2）求MN+NG的最小值；

（3）当点E在AB上运动时，/CEF的大小是否变化？为什么？

13.（2021•临沂）如图，已知在。。中，AB=BC=CD.OC与AD相交于点E.

求证：（1）A£>〃BC；

（2）四边形BCDE为菱形.

14.（2022•临沂）如图，AB是的切线，B为切点，直线AO交。。于C,。两点，连接

BC,BD.过圆心。作BC的平行线，分别交的延长线、0。及8。于点E,F,G.

(1)求证：ND=/E；

(2)若尸是OE的中点，OO的半径为3,求阴影部分的面积.

一十.切线的判定与性质

15.(2020•临沂)已知。01的半径为门，。。2的半径为r2.以01为圆心，以门+松的长为

半径画弧，再以线段OQ的中点P为圆心，以工01。2的长为半径画弧，两弧交于点A,

2

连接OiA,O2A,O1A交。01于点B,过点8作。乂的平行线BC交0102于点C.

(1)求证：BC是。。2的切线；

(2)若ri=2,r2=1,013=6,求阴影部分的面积.

一十一.解直角三角形的应用

16.(2021•临沂)如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽

车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来，已知CM=3/〃，C0=5m,D0=3m,ZAOD

=70°,汽车从A处前行多少米才能发现C处的儿童(结果保留整数)？

(参考数据：sin37°g0.60,cos37°-0.80,tan37°=0.75；sin70°g0.94,cos70°〜

0.34,tan70042.75)

一十二.解直角三角形的应用-坡度坡角问题

17.（2020•临沂）如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成

的角a要满足60°WaW75°,现有一架长55”的梯子.

（1）使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙（结果保留小数点后一位）？

（2）当梯子底端距离墙面22〃时，a等于多少度（结果保留小数点后一位）？此时人

是否能够安全使用这架梯子？

（参考数据：sin75°-0.97,cos75°20.26,tan75°-3.73,sin23.6°-0.40,cos66.4°

心0.40,tan21.8°—.40.）

一十三.解直角三角形的应用-仰角俯角问题

18.（2022•临沂）如图是一座独塔双索结构的斜拉索大桥，主塔采用倒“丫”字形设计.某

学习小组利用课余时间测量主塔顶端到桥面的距离.勘测记录如下表:

活动内测量主塔顶端到桥面的距离

容

成员组长：X义X组员XXXXX义XX义X义X

测量工测角仪，皮尺等

具

测量示说明：左图为斜拉索桥的侧面示意图，

意图点A,C,D,8在同一条直线上，EFL

AB,点4,C分别与点B,。关于直线

EF对称.

测量数ZA的大小28°

据AC的长度84%

的长度\2m

请利用表中提供的信息，求主塔顶端E到AB的距离（参考数据：sin28°^0.47,cos28°

«=0.88,tan280弋0.53).

一十四.频数（率）分布直方图

19.（2022•临沂）省农科院为某县选育小麦种子，为了解种子的产量及产量的稳定性，在该

县的10个乡镇中，每个乡镇选择两块自然条件相近的实验田分别种植甲、乙两种小麦,

得到其亩产量数据如下（单位：kg）：

甲种小麦：804818802816806811818811803819

乙种小麦：804811806810802812814804807809

画以上甲种小麦数据的频数分布直方图,甲乙两种小麦数据的折线图，得到图1,图2

田

图1图2

(1)图1中，a=,b=

（2）根据图1,若该县选择种植甲种小麦，则其亩产量W（单位：kg）落在内

的可能性最大;

A800WWV805

8.805WW<810

C.810WWV815

D815WWV820

（3）观察图2,从小麦的产量或产量的稳定性的角度，你认为农科院应推荐种植哪种小

麦？简述理由.

20.（2020•临沂）2020年是脱贫攻坚年.为实现全员脱贫目标，某村贫困户在当地政府支

持帮助下，办起了养鸡场.经过一段时间精心饲养，总量为3000只的一批鸡可以出售.现

从中随机抽取50只，得到它们质量的统计数据如下：

质量/初组中值频数（只）

0.9«1.11.06

1.29

1.3Wx<1.51.4a

1.5Wx<1.71.615

1.7Wx<1.91.88

根据以上信息，解答下列问题：

(1)表中。=,补全频数分布直方图；

(2)这批鸡中质量不小于1.7伙的大约有多少只？

(3)这些贫困户的总收入达到54000元，就能实现全员脱贫目标.按15元/版的价格售

出这批鸡后，该村贫困户能否脱贫？

A频数

15

14

*

13

1

12

1

11

10

*9

8

7

6

5

4

3

2

1

0\—0.91.11.31.51.71.9—怎量kg

—b五.众数

21.(2021•临沂)实施乡村振兴计划以来，我市农村经济发展进入了快车道，为了解梁家岭

村今年一季度经济发展状况，小玉同学的课题研究小组从该村300户家庭中随机抽取了

20户，收集到他们一季度家庭人均收入的数据如下(单位：万元)：

0.690.730.740.800.810.980.930.810.890.69

0.740.990.980.780.800.890.830.890.940.89

研究小组的同学对以上数据进行了整理分析，得到下表:

分组频数

0.65^x<0.702

0.70«0.753

0.75^x<0.801

0.80«0.85a

0.85Wx<0.904

0.90Wx<0.952

0.95Wx<1.00b

统计量平均数中位数众数

数值0.84Cd

(1)表格中：a=,h=，c=

(2)试估计今年一季度梁家岭村家庭人均收入不低于0.8万元的户数；

(3)该村梁飞家今年一季度人均收入为0.83万元，能否超过村里一半以上的家庭？请说

明理由.

参考答案与试题解析

分式的加减法

1.（2022•临沂）计算:

(1)-23-rAx(1.--1)；

963

(2)-J--.

x+lX-1

【解答】解：(1)原式=-8x9义(工工)

466

=8X9XJL

46

（2）原式=x-1-(x+1)

(x+1)(x-1)

-2

21.

X-1

二.二次根式的混合运算

2.（2021•临沂）计算|-&|+（&-工）2-（V2+—）2.

22

【解答】解：解法一，原式=&+[（&）2-&+y[（&）2+

=弧+(2-&+4)-(2+&+工)

44

=&+2-V2+--2-V2--

44

=-

解法二，原式=&+(V2-A+V2+—)(V2---V2)

2222

=M+2&X(-1)

=V2-2V2

=-V2.

3.（2020•临沂）计算:2+2L2.X1-sin600.

2V6

【解答】解：原式=1-工+」--近

_232732

=」。

662

1-273

三.反比例函数的性质

—>x4一l,

X

4.（2021•临沂）己知函数＞=，3x,T<x〈l,

—,x》l・

X

（1）画出函数图象;

列表:

x…_3-2-]0]234

y…一]3-3033,]§

~~2~4

简述理由;

（3）设（xi,y\）,（垃，yi）是函数图象上的点，若xi+x2=0,证明：yi+）2=0.

函数图象如图所示:

（2）根据图象可知：

当x=l时，函数有最大值3；当x=-l时，函数有最小值-3.

（3）V（XI,）1）,（X2,”）是函数图象上的点，Xl+X2=0,

和X2互为相反数，

当时，-1VX2V1,

；.yi=3xi,72=3x2,

•*.yi+y2=3xi+3x2=3（xi+%2）=0；

当xiW-1时，X221,

,oq3（x,+x）

贝!|yi+y2=-^-+-^-=---------9---=0;

X1x2X1X2

同理：当时，X2W-1,

yi+y2=0,

综上：yi+”=0.

四.反比例函数的应用

5.（2022•临沂）杠杆原理在生活中被广泛应用（杠杆原理：阻力X阻力臂=动力X动力臂）,

小明利用这一原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图1）.制作方法如下：

第一步：在一根匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度la”），确定支点O,并用细麻

绳固定，在支点。左侧2。"的A处固定一个金属吊钩，作为秤钩；

第二步：取一个质量为0.5依的金属物体作为秤昵.

（1）图1中，把重物挂在秤钩上，秤泥挂在支点O右侧的B处，秤杆平衡，就能称得

重物的质量.当重物的质量变化时，。8的长度随之变化.设重物的质量为xZg,OB的

长为ycvn.写出y关于x的函数解析式；若0<y<48,求x的取值范围.

图1图2

(2)调换秤蛇与重物的位置，把秤枪挂在秤钩上，重物挂在支点。右侧的B处，使秤

杆平衡，如图2.设重物的质量为xkg,。8的长为写出y关于x的函数解析式，完

成下表，画出该函数的图象.

x/kg……0.250.5124......

y/cm……42]2......

~~2~

A--------1------1-------T-------I----------1---------1-----T

2--------1-------|-------T-------I----------1---------1-----T

o1234z

【解答】解：(1)•••阻力X阻力臂=动力X动力臂，

重物XOA=秤坨XOB,

'：0A=2cm,重物的质量为Mg,。8的长为ya”，秤坨为0.5依,

/.2x=0.5y,

•・y=4x,

V4>0,

随x的增大而增大，

二.当y=0时，x=0；

当y=48时，x=12,

A0<x<12；

（2）；阻力X阻力臂=动力X动力臂，

，秤碇XOA=重物X08,

•：0A^2cm,重物的质量为Mg,OB的长为），。〃，秤花为0.5版,

.•.2义0.5=孙，

••、,-_--1,

X

当x=0.25时，y=---=4；

0.25

当x=0.5时，y=——=2；

0.5

当x=l时，y=l；

当x=2时，y=—;

2

当x=4时，y=工；

4

故答案为：4；2；1；—；—；

24

作函数图象如图：

6.（2020•临沂）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流/（单位：A）与电阻R（单

位：Q）是反比例函数关系.当H=4Q时，/=9A.

（1）写出/关于R的函数解析式；

（2）完成下表，并在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象；

R/H…3456891012•••

I/A・・・1297.264.543.63・・・

Z/A

15

14

13

12

11

10

g

s

7

6

5

4

3

2

1

O123456789101112131415

(3)如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过10A,那么用电器可变电阻应

控制在什么范围内？

【解答】解：(1)电流/是电阻R的反比例函数，设/=区,

R

时,I=9A

・・・9=K,

4

解得2=4X9=36,

.-./=36(R>0)；

R

(2)列表如下:

R/Q…3456891012・

I/A・・・1297.264.543.63・

(3)V/^10,/=强，

R

.•.理_W10,

R

；.R，3.6,

即用电器可变电阻应控制在不低于3.6欧的范围内.

五.待定系数法求二次函数解析式

7.(2020•临沂)已知抛物线y=以2-2以-3+2<?QW0).

(1)求这条抛物线的对称轴；

(2)若该抛物线的顶点在x轴上，求其解析式；

(3)设点P(m,yi),Q(3,”)在抛物线上，若求相的取值范围.

22

【解答】解：(1);抛物线y=o?-2or-3+2/=。(x-1)+2a-a-3.

抛物线的对称轴为直线x=1;

(2);•抛物线的顶点在x轴上，

.".2a2-a-3=0,

解得。=旦或a--\,

2

二抛物线为尸当2-3x+旦或y=--1；

22

(3):抛物线的对称轴为直线x=l,

则Q(3,关于x=l对称点的坐标为(-1,”)，

・••当〃>0,-1<加<3时，y\<yi\当a<0,mV-1或〃z>3时，y\<yi.

六.二次函数的应用

8.(2022・临沂)第二十四届冬奥会在北京成功举办，我国选手在跳台滑雪项目中夺得金牌.在

该项目中，运动员首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行

至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止.本项目主要考核运动员的飞行距离和动作姿态，

某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究：

如图为该兴趣小组绘制的赛道截面图，以停止区C。所在水平线为x轴，过起跳点A与x

轴垂直的直线为y轴，。为坐标原点，建立平面直角坐标系.着陆坡AC的坡角为30°,

04=65%,某运动员在A处起跳腾空后，飞行至着陆坡的B处着陆，AB=100〃?.在空中

飞行过程中，运动员到x轴的距离y(w)与水平方向移动的距离尤(w)具备二次函数

关系，其解析式为)=--^bx+c.

60

(1)求江c的值；

(2)进一步研究发现，运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离x(m)与飞行时

间r(s)具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，r=0,x=0；空中飞行5s后着

陆.

①求x关于/的函数解析式；

②当r为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离〃最大，最大值是多少？

'：OA=65m,着陆坡4c的坡角为30°,AB=100m

二点A的坐标为（0,65）,AE=-50m,8《=50我相,

：.OE=OA-AE=65-50=15（m）,

.,.点8的坐标为（50我，15）,

•.•点A(0,65),点B(50V3-15)在二次函数y=--2+汝+c的图象上,

60

'c=65

…二'X(50V3)2+50V3b+c=15，

60

解得<b岑

c=65

即b的值是近，c的值是65；

2

(2)①设X关于，的函数解析式是x=h+〃7,

因为点(0,0),(5,50百)在该函数图象上，

.(m=0

I5k+m=50V3

解得(k=10圾,

Im=0

即x关于f的函数解析式是x=10愿£；

②设直线AB的解析式为y=px+q,

•.•点A(0,65),点8(5073，15)在该直线上，

(q=65,

I50禽p+q=15'

f昱

解得《P~~,

q=65_

即直线AB的解析式为y=-1+65,

_3__

2

则h=(-_L^.-2+^^X+65)-(-^Xr+65)=-_j^r+x,

6023606

5a

...当x=-----J-=25百时，〃取得最值，此时〃=3,

2X(焉)4

V2573<5073.

；.x=25禽时，〃取得最值，符合题意，

将x=25禽代入x=l()Mf,得：25代=10丁泉，

解得f=2.5,

即当1为2.5时，运动员离着陆坡的竖直距离最大，最大值是卫Zn.

4

9.（2021•临沂）公路上正在行驶的甲车，发现前方20相处沿同一方向行驶的乙车后，开始

减速，减速后甲车行驶的路程s（单位：〃?）、速度v（单位：m/s）与时间f（单位：s）

的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示.

（1）当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是多少？

（2）若乙车以10，"/$的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？

【解答】解：（1）由图可知：二次函数图象经过原点，

设二次函数表达式为s=at2+ht,一次函数表达式为v=kt+c,

•••一次函数经过（0,16）,（8,8）,

则（8=8k+c,解得：［k=-l,

116=cIc=16

.,.一次函数表达式为丫=7+16,

令v=9,则f=7,

.•.当f=7时，速度为9Ms,

•.•二次函数经过（2,30）,（4,56）,

（1

则（4a+2b=30,解得：］a=~y,

116a+4b=56,

，二次函数表达式为s=-1t2+16t，

令f=7,贝I」s=-^"+16X7=87.5,

当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是875〃；

(2)设♦秒后相距卬，则W—20+10/-(--V+16f)——(?-6)"+21

22

vA>o,

2

；.f=6时，卬有最小值，最小值为2,

.•.6秒时两车相距最近，最近距离是2米.

七.四边形综合题

10.(2022•临沂)已知△ABC是等边三角形，点B,。关于直线AC对称，连接A。，CD.

(1)求证：四边形ABCD是菱形；

(2)在线段AC上任取一点P(端点除外)，连接尸D将线段PO绕点尸逆时针旋转,

使点。落在8A延长线上的点。处.请探究：当点尸在线段AC上的位置发生变化时,

NQPQ的大小是否发生变化？说明理由.

(3)在满足(2)的条件下，探究线段AQ与CP之间的数量关系，并加以证明.

等边△4BC中，AB=BC=AC,

•.•点8、。关于直线AC对称，

：.DC=BC,AD=AB,

：.AB=BC^CD=DA,

四边形A8CD是菱形；

(2)解：当点P在线段4c上的位置发生变化时，NDPQ的大小不发生变化，始终等于

60°,理由如下：

:将线段PD绕点P逆时针旋转，使点D落在BA延长线上的点Q处，

PQ=PD,

等边△A8C中，AB=BC=ACf

ZBAC=ZABC=ZACB=60°,

连接PB,过点P分别作PE〃C8交AB于点E,PFLA3于点R如图

则N4PE=NACB=60°,ZAEP=ZABC=60°,

AZBAC=ZAPE=ZAEP=60°,

•••△APE是等边三角形，

：.AP=EP=AEf

而尸凡LA8,

・•.ZAPF=NEPF,

•・,点8,。关于直线AC对称，点P在线段AC上，

:・PB=PD,ZDPA=ZBPAf

:.PQ=PD,

而PFLAB,

；・NQPF=NBPF,

：.ZQPF-ZAPF=ZBPF-/EPF,

即N。%=N8PE,

：.ZDPQ=ZDPA-ZQPA=ZBPA-NBPE=NAPE=60°；

（3）解：在满足（2）的条件下，线段AQ与C尸之间的数量关系是AQ=C尸，证明如下:

VAC=AB,AP=AEf

:.AC-AP=AB-AE9

即CP=BE,

9

：AP=EPfPFLAB,

：.AF=FE,

■:PQ=PD,PF.LAB,

：.QF=BF,

：.QF-AF=BF-EF,

B|JAQ=BE,

：.AQ=CP.

11.(2021•临沂)如图，已知正方形A8CC,点E是8c边上一点，将△A8E沿直线AE折

叠，点B落在尸处，连接并延长，与ND4尸的平分线相交于点H,与AE,CC分别

相交于点G,M,连接4C.

(1)求证：AG=G”；

(2)若AB=3,BE=\,求点O到直线8H的距离；

(3)当点E在8c边上(端点除外)运动时，/BHC的大小是否变化？为什么？

【解答】(1)证明：•••将△ABE沿直线AE折叠，点B落在尸处,

AZBAG=ZGAF=1ZBAF,B,尸关于4E对称，

2

：.AGVBF,

；.NAG尸=90°,

平分ND4F,

：.ZFAH=^ZFAD,

2

AZ£A//=ZGAF+ZM//=A(NBAF+NFAD)=L/BAD,

2222

•四边形A8C£＞是正方形,

AZBAD=90°,

AZEAH=^ZBAD=45Q,

2

VZZ7GA=90°,

GA=GH；

（2）解：如图1,连接。“，DF,交AH于点N,

由（1）可知AF=AO,ZFAH=ADAH,

：.AHLDF,FN=DN,

：.DH=HF,NFNH=NDNH=90°,

又：NG/M=45°,

NNFH=45°-NNDH=NDHN,

：.ZDHF=90°,

：.DH的长为点D到直线BH的距离，

由（1）知4/=4解+8炉，

,4E=VAB2+BE2=Vs2-*-12='

,/NBAE+NAEB=ZBAE+ZABG^90°,

NAEB=ZABG,

又NAGB=NABE=90°,

：.△A£BS2MBG,

♦AG_AB；BG_AB；

"AB"AE'BE'AE"

•4G=AB2=9=9而,M=AB・BE=3X1=3而

""AFTTO-"IOAE=V7o=io

由（1）知G尸=BG,AG=GH,

：.GF=GH=^^-,

1010__

：.DH=FH=GH-一一3A=W^一

10105

即点D到直线BH的距离为仝匝；

5

方法二：

连接BD,

由折叠可知

则△然£：也△BCM,

BE=CM=1,

・・・OM=2,

.1

."△BDM节DM・BC=3，

同方法一可知AE=BM=/记，

点D到直线BH的距离为孥2=宜叵_；

V105

(3)不变.

理由如下：

方法一：连接B。，如图2,

在RtaH。/中，"_=sin45°山■，

DF32

在RtZ\BC。中，型=sin45°=返_,

BD2

•DHCD

"'DF=BD'

VZBDF+ZCDF=45°,NFDC+NCDH=45°,

：.ZBDF=ZCDH,

:.△BDFs^CDH,

：.NCHD=NBFD,

；NDFH=45°,

：.ZBFD=135°=NCHD,

VZBHD=90°,

：.ZBHC^ZCHD-^BHD=135°-90°=45°.

方法二：

VZBCD=90°,NBHD=96°,

.•.点5,C,H,。四点共圆，

...NBHC=/8OC=45°,

...NBHC的度数不变.

12.(2020•临沂)如图，菱形ABC。的边长为1,NABC=60°,点E是边A8上任意一点

(端点除外)，线段CE的垂直平分线交BO,CE分别于点凡G,AE,EF的中点分别为

M,N.

(1)求证：AF=EF；

(2)求MN+NG的最小值；

(3)当点E在AB上运动时，/CEF的大小是否变化？为什么？

【解答】解：（1）连接CF,

垂直平分CE,

：.CF=EF,

•.•四边形ABC。为菱形，

；.A和C关于对角线BD对称,

ACF=AF,

：.AF=EF；

(2)连接AC,交于点。，

和N分别是AE和EF的中点，点G为CE中点，

：.MN=^AF,NG=LCF,BPMN+NG=—{AF+CF),

222

当点尸与菱形ABC。对角线交点。重合时，

AF+CF最小，即此时MN+NG最小，

•.,菱形ABCQ边长为1,NABC=60°,

.♦.△ABC为等边三角形，AC=AB=1,

即MN+NG的最小值为工；

2

(3)不变，理由是：

延长EF,交.DC千H,

"：NCFH=NFCE+/FEC,NAFH=ZFAE+ZFEA,

：.ZAFC=ZFCE+ZFEC+ZFAE+ZFEA,

V点F在菱形ABCD对角线BDL,根据菱形的对称性可得:

ZAFD=ZCFD=1.ZAFC,

2

：.ZAEF=ZEAF,/FEC=/FCE,

，ZAFD=ZFAE+NABF=ZFEA+ZCEF,

：.ZABF=NCEF,

VZABC=60°,

；・/ABF=NCEF=30°,为定值.

Q—Hf

AMEB

八.圆周角定理

13.（2021•临沂）如图，己知在O0中，AB=BC=C15，OC与相交于点E.

求证：（1）AD//BC；

（2）四边形BC£>E为菱形.

B'---々

【解答】证明：（1）连接8D

vAB=CD.

JNADB=NCBD,

：.AD//BC；

(2)连接CD,BD,设OC与8。相交于点F,

'JAD//BC,

:.NEDF=NCBF,

VBC=CD>

：.BC=CD,BF=DF,

又NDFE=/BFC,

：.ADEF经ABCF(ASA),

：.DE=BC,

...四边形BCDE是平行四边形，又BC=CD,

四边形BCDE是菱形.

九.切线的性质

14.(2022•临沂)如图，AB是。0的切线，B为切点，直线AO交于C,。两点，连接

BC,BD.过圆心。作BC的平行线，分别交的延长线、。。及8。于点E,F,G.

(1)求证：ZD—ZEi

(2)若尸是OE的中点，。。的半径为3,求阴影部分的面积.

【解答】(1)证明：连接OB,

D

0

图1

TAB是。。的切线,

・・・NO8E=90°，

・・・NE+N6OE=90°,

TCO为。。的直径,

：.ZCBD=90°，

，N£)+NOC8=90°,

■:OE//BC,

：.ZBOE=ZOBC,

*.•OB=OC,

：・/OBC=/OCB,

:・NBOE=/OCB,

：.ZD=ZE；

(2)解：丁尸为OE的中点，OB=OF,

：.OF=EF=3,

：.OE=6,

：.BO=1-OE,

2

•：NOBE=90°,

・1/£=30°,

・・・NBOG=60°,

VOE//BC,NO8c=90°,

；.NOGB=90°,

・,.OG=-1,BG=-173，

AS/\BOG=AOG9BG=—X—义工^=±S，S■形80尸=60♦兀-J=3n,

2222V8V3602

.o

•'•S明影部分=S扇形3。"-S/\BOG=—兀

2

一十.切线的判定与性质

15.(2020•临沂)已知001的半径为ri,。。2的半径为2以01为圆心，以ri+投的长为

半径画弧，再以线段0102的中点P为圆心，以上01。2的长为半径画弧，两弧交于点A,

2

连接01A,02A,01A交。Oi于点8,过点B作0M的平行线8c交0102于点C.

(1)求证：8c是。。2的切线；

(2)若门=2,r2=l,013=6,求阴影部分的面积.

2

：.ZO\AO2=90°,

^BC/ZOiA,

：.ZO\BC=ZO\AO2=90°,

过点02作O1DLBC交BC的延长线于点D,

・・・四边形A8O3是矩形，

：.AB=02D,

V0iA=n+r2,

：・(hD=n,

・・・BC是OQ的切线;

(2)解：：门=2,底=1,0102=6,

O1A=)

•■•y0102

.♦.NAO2c=30°,

'：BC//OiA,

，NBCE=A02c=30°,

：.O\C^2O\B=4,

BC=22222

•*-^01C-01B=A/4-2=Vs>

i6onxr,2i_

...s阴影=SzkO|BC-S扇形BO|E=yOiB'BC―菰一=万X2X2«-

60X兀X22=2禽-

3603

一十一.解直角三角形的应用

16.(2021•临沂)如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽

车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来，已知CM=3w,C0=5m,。0=3/，ZAOD

=70°,汽车从A处前行多少米才能发现C处的儿童(结果保留整数)？

(参考数据：sin37°七0.60,cos37°-0.80,tan370=0.75；sin70°-0.94,cos700.

0.34,tan700弋2.75)

AOM^V0C2-CM2=4(W，

；NCMO=NBDO=90°,NCOM=NBOD,

.MCOMs^BOD,

・CM0M即3_4,

**BD=0D，'BDV

.♦.80=9=2.25(m),

4

.,•tanZAOD=tan700=坦

DO

jjpAB+BD_AB+2.2575,

'DO~~3'

解得：AB=6m,

二汽车从A处前行约6米才能发现C处的儿童.

一十二.解直角三角形的应用-坡度坡角问题

17.(2020•临沂)如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成

的角a要满足60°WaW75°,现有一架长5.5加的梯子.

(1)使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙(结果保留小数点后一位)？

(2)当梯子底端距离墙面2.2,〃时，a等于多少度(结果保留小数点后一位)？此时人

是否能够安全使