福建省福州一中2024届高二数学第二学期期末达标检测模拟试题含解析

福建省福州一中2024届高二数学第二学期期末达标检测模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设函数，若不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．2．已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为A． B． C． D．3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5+a7+a9＝21，则S13＝（）A．36 B．72 C．91 D．1824．在5张扑克牌中有3张“红心”和2张“方块”，如果不放回地依次抽取2张牌，则在第一次抽到“红心”的条件下，第二次抽到“红心”的概率为A．625 B．310 C．35．已知分别为四面体的棱上的点,且,,,,则下列说法错误的是（）A．平面 B．C．直线相交于同一点 D．平面6．双曲线的左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交曲线左支于A，B两点，△F2AB是以A为直角顶点的直角三角形，且∠AF2B＝30°．若该双曲线的离心率为e，则e2＝（）A． B． C． D．7．函数在上单调递减，且是偶函数，若，则的取值范围是（）A．（2，+∞） B．（﹣∞，1）∪（2，+∞）C．（1，2） D．（﹣∞，1）8．已知函数，若在和处切线平行，则（）A．B．C．D．9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体各面中直角三角形的个数是()A．2 B．3 C．4 D．510．设函数，，给定下列命题：①若方程有两个不同的实数根，则；②若方程恰好只有一个实数根，则；③若，总有恒成立，则；④若函数有两个极值点，则实数.则正确命题的个数为（）A． B． C． D．11．已知函数是可导函数，且，则()A． B． C． D．12．在空间中，给出下列说法：①平行于同一个平面的两条直线是平行直线；②垂直于同一条直线的两个平面是平行平面；③若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则；④过平面的一条斜线，有且只有一个平面与平面垂直.其中正确的是（）A．①③ B．②④ C．①④ D．②③二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的方程是x2=2y（0≤y≤20）．在杯内放入一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r的范围为14．从长度为、、、的四条线段中任选三条，能构成三角形的概率为.15．已知函数在上单调递增，则的取值范围为_______.16．在数列中，，，则________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数f（x）＝|x﹣a|+2a，且不等式f（x）≤4的解集为{x|﹣1≤x≤3}．（1）求实数a的值．（2）若存在实数x0，使f（x0）≤5m2+m﹣f（﹣x0）成立，求实数m的取值范围．18．（12分）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．（1）求椭圆的方程；（2）设点是轨迹上位于第一象限且在直线右侧的动点，若以为圆心，线段为半径的圆与有两个公共点．试求圆在右焦点处的切线与轴交点纵坐标的取值范围．19．（12分）手机厂商推出一款6寸大屏手机，现对500名该手机使用者（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行评分，评分的频数分布表如下：女性用户分值区间[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]频数2040805010男性用户分值区间[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]频数4575906030（1）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小（不计算具体值，给出结论即可）；（2）把评分不低于70分的用户称为“评分良好用户”，完成下列列联表，并判断能否有的把握认为“评分良好用户”与性别有关？女性用户男性用户合计“认可”手机“不认可”手机合计参考附表：参考公式，其中20．（12分）已知函数.（1）若函数在上为增函数，求的取值范围；（2）若函数有两个不同的极值点，记作，，且，证明：（为自然对数）.21．（12分）已知集合M＝{x|x<－3，或x>5}，P＝{x|(x－a)·(x－8)≤0}．(1)求M∩P＝{x|5<x≤8}的充要条件；(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的一个充分但不必要条件．22．（10分）2016年10月16日，在印度果阿出席金砖国家领导人第八次会议时，发表了题为《坚定信心，共谋发展》的重要讲话，引起世界各国的关注，为了了解关注程度，某机构选取“70后”和“80后”两个年龄段作为调查对象，进行了问卷调查，共调查了120名“80后”，80名“70后”，其中调查的“80后”有40名不关注，其余的全部关注；调查的“70”后有10人不关注，其余的全部关注.（1）根据以上数据完成下列2×2列联表：关注不关注合计“80后”“70后”合计（2）根据2×2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“关注与年龄段有关”？请说明理由。参考公式：K2=（n=a+b+c+d）附表：P（K2≥k0）0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

求出函数的定义域、化简不等式，构造新函数，结合函数的图象，从而可得的范围，得到答案．【题目详解】由题意，函数的定义域为，不等式，即，即，两边除以，可得，又由直线恒过定点，若不等式恰有两个整数解，即函数图象有2个横坐标为整数的点落在直线的上方，由图象可知，这2个点为，可得，即，解得，即实数的取值范围是，故选D．【题目点拨】本题主要考查了函数的零点的综合应用，其中解答中把不等式的解，转化为函数的图象的关系，合理得出不等式组是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．2、D【解题分析】试题分析：设的中点为，连接，易知即为异面直线与所成的角，设三棱柱的侧棱与底面边长为，则，由余弦定理，得，故选D.考点：异面直线所成的角.3、C【解题分析】

根据等差数列的性质求出,根据等差数列的前项和公式可得.【题目详解】因为{an}为等差数列,所以,所以,所以.故选C.【题目点拨】本题考查了等差数列的性质、等差数列的前项和.属于基础题.4、D【解题分析】

因为是不放回抽样，故在第一次抽到“红心”时，剩下的4张扑克中有2张“红心”和2张“方块”，根据随机事件的概率计算公式，即可计算第二次抽到“红心”的概率．【题目详解】因为是不放回抽样，故在第一次抽到“红心”的条件下，剩下的4张扑克中有2张“红心”和2张“方块”，第二次抽取时，所有的基本事件有4个，符合“抽到红心”的基本事件有2个，则在第一次抽到“红心”的条件下，第二次抽到“红心”的概率为12故答案选D【题目点拨】本题给出无放回抽样模型，着重考查抽样方法的理解和随机事件的概率等知识，属于基础题．5、D【解题分析】

根据线面平行以及空间直线和平面的位置关系分别进行判断即可．【题目详解】，，是的中位线，，且，平面，平面，平面，故正确，，，，且，则，故B正确，是梯形，则直线，相交，设交点为，则，平面，，平面，则是平面和平面的公共点，则，即直线，，相交于同一点，故正确，因为，，所以直线与必相交，所以错误.故选D【题目点拨】本题主要考查命题的真假判断，涉及空间直线和平面位置关系的判断，根据空间直线和平面平行的性质是解决本题的关键．6、D【解题分析】

设，根据是以为直角顶点的直角三角形，且，以及双曲线的性质可得，再根据勾股定理求得的关系式，即可求解.【题目详解】由题意，设，如图所示，因为是以为直角顶点的直角三角形，且，由，所以，由，所以，所以，即，所以，所以，，在直角中，，即，整理得，所以，故选D.【题目点拨】本题主要考查了双曲线的定义，以及双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范围)．.7、B【解题分析】

根据题意分析的图像关于直线对称，即可得到的单调区间，利用对称性以及单调性即可得到的取值范围。【题目详解】根据题意，函数满足是偶函数，则函数的图像关于直线对称，若函数在上单调递减，则在上递增，所以要使，则有，变形可得，解可得：或，即的取值范围为；故选：B．【题目点拨】本题考查偶函数的性质，以及函数单调性的应用，有一定综合性，属于中档题。8、A【解题分析】

求出原函数的导函数，可得，得到，则，由x1≠x2，利用基本不等式求得x12+x22＞1．【题目详解】由f（x）lnx，得f′（x）（x＞0），∴，整理得：，则，∴，则，∴x1x2≥2，∵x1≠x2，∴x1x2＞2．∴2x1x2＝1．故选：A．【题目点拨】本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．9、C【解题分析】把三视图还原为原几何体为一个四棱锥，底面是边长为3的正方形，侧棱底面ABCD，四个侧面均为直角三角形，则此几何体各面中直角三角形的个数是4个，选C.10、C【解题分析】

利用导数研究函数的单调性，零点，极值以及恒成立问题.【题目详解】对于①，的定义域，，令有即，可知在单调递减，在单调递增，，且当时，又，从而要使得方程有两个不同的实根，即与有两个不同的交点，所以，故①正确对于②，易知不是该方程的根，当时，，方程有且只有一个实数根，等价于和只有一个交点，，又且，令，即，有，知在和单减，在上单增，是一条渐近线，极小值为．由大致图像可知或，故②错对于③当时，恒成立，等价于恒成立，即函数在上为增函数，即恒成立，即在上恒成立，令，则，令得，有，从而在上单调递增，在上单调递减，则，于是，故③正确.对于④有两个不同极值点，等价于有两个不同的正根，即方程有两个不同的正根，由③可知，，即，则④正确.故正确命题个数为3，故选.【题目点拨】本题考查利用导数研究函数有关性质，属于基础题目．解题时注意利用数形结合，通过函数图象得到结论．11、C【解题分析】分析：由题意结合导数的定义整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可得：,即：.本题选择C选项.点睛：本题主要考查函数在某一点处导数的定义及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12、B【解题分析】

说法①：可以根据线面平行的判定理判断出本说法是否正确；说法②：根据线面垂直的性质和面面平行的判定定理可以判断出本说法是否正确；说法③：当与相交时，是否在平面内有不共线的三点到平面的距离相等，进行判断；说法④：可以通过反证法进行判断.【题目详解】①平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，不正确；易知②正确；③若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则与可能平行，也可能相交，不正确；易知④正确.故选B.【题目点拨】本题考查了线线位置关系、面面位置关系的判断，分类讨论是解题的关键，反证法是经常用到的方程.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、0＜r≤1【解题分析】

设小球圆心（0，y0）抛物线上点（x，y）点到圆心距离平方r2=x2+（y﹣y0）2=2y+（y﹣y0）2=y2+2（1﹣y0）y+y02若r2最小值在（0，0）时取到，则小球触及杯底,此二次函数对称轴在纵轴左边，所以1﹣y0≥0所以0＜y0≤1所以0＜r≤1故答案为0＜r≤1点评：本题主要考查了抛物线的应用．考查了学生利用抛物线的基本知识解决实际问题的能力．14、【解题分析】试题分析：这是的道古典概率题，其基本事件有共4个，由于是任意选取的，所以每个基本事件发生的可能性是相等的，记事件A为“所选三条线段能构成三角形”，则事件A包含2个基本事件，根据概率公式得：．考点：古典概率的计算15、【解题分析】分析：由条件可得①，②，由单调递增的定义可知③，由①②③求得交集即可得到答案详解：函数在上单调递增，时为增，即①时也为增，即有②又由单调递增的定义可知③由②可得由③可得故的取值范围为点睛：本题考查了分段函数的应用，考查了函数的单调性及其应用，助于分段函数的分界点的情况，是一道中档题，也是易错题。16、【解题分析】

先根据分组求和得再求极限得结果.【题目详解】因为，所以因此故答案为：【题目点拨】本题考查分组求和以及数列极限，考查基本分析求解能力，属中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）a＝1（2）（﹣∞，]∪[1，+∞）【解题分析】

（1）解不等式f（x）≤4，根据其解集，得到的值；（2）将所求不等式转化为5m2+m≥[f（x）+f（﹣x）]min，得到f（x）+f（﹣x）的最小值，从而得到关于的不等式，解出的取值范围.【题目详解】（1）由f（x）＝|x﹣a|+2a≤4，得2a﹣4≤x﹣a≤﹣2a+4，∴3a﹣4≤x≤﹣a+4，∵不等式f（x）≤4的解集为{x|﹣1≤x≤3}，∴，∴a＝1；（2）由（1）知f（x）＝|x﹣1|+2，∵存在实数x0，使f（x0）≤5m2+m﹣f（﹣x0）成立，∴只需5m2+m≥[f（x）+f（﹣x）]min∵f（x）+f（﹣x）＝|x﹣1|+|x+1|+4≥|（x﹣1）﹣（x+1）|+4＝6，当且仅当（x﹣1）（x+1）≤0，即﹣1≤x≤1时取等号，∴5m2+m≥6，∴或m≥1，∴m的取值范围为（﹣∞，]∪[1，+∞）．【题目点拨】本题考查解绝对值不等式，绝对值不等式的恒成立问题，属于中档题.18、（1）；（2）．【解题分析】分析：（1）由题知，原点到直线的距离，求得，再由，求得，即可得到椭圆的标准方程；（2）设，由圆的方程和性质，又由椭圆的方程得，代入可得，求得，又由切线方程为，令得，令，利用二次函数的性质，即可求解得的范围，即可得到结论．详解：（1）由题知，原点到直线的距离又，则∴椭圆方程为………………4分（2）设，点到轴的距离为，∵圆M与y轴有两个交点，∴，即，∴，又，即，∴，∴，∴，……7分又，∴……8分切线方程为，令得令，则……………10分，则，在上为增函数∴∴切线与轴交点纵坐标的取值范围为……12分(转化为求的斜率范围得到更为简便)解法2：上面步骤相同又，∴……8分切线方程为，令得又即∴切线与轴交点纵坐标的取值范围为……12分点睛：本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常利用的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．19、（1）直方图见解析；女性用户的波动小，男性用户的波动大．（2）有的把握.【解题分析】

（1）利用频数分布表中所给数据求出各组的频率，利用频率除以组距得到纵坐标，从而可得频率分布直方图，由直方图观察女性用户和男性用户评分的集中与分散情况，即可比较波动大小；（2）利用公式求出，与临界值比较，即可得出结论．【题目详解】（1）女性用户和男性用户的频率分布直方图分别如下左、右图：由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大．（2）2×2列联表如下图：女性用户男性用户合计“认可”手机140180320“不认可”手机60120180合计200300500≈5.208＞2.706，所以有的把握认为性别和对手机的“认可”有关．【题目点拨】本题考查频率分布直方图的作法及应用，考查独立性检验的应用，是中档题．高考试题对独立性检验的思想进行考查时，一般给出的计算公式，不要求记忆，近几年高考中较少单独考查独立性检验，多与统计知识、概率知识综合考查，频率分布表与独立性检验融合在一起是一种常见的考查形式，一般需要根据条件列出2×2列联表，计算的观测值，从而解决问题．20、（1）（2）见解析【解题分析】分析：（1）由题意可知，函数的定义域为，，因为函数在为增函数，所以在上恒成