云南省大理州宾川县第四高级中学2024届高二数学第二学期期末调研试题含解析

云南省大理州宾川县第四高级中学2024届高二数学第二学期期末调研试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．从8名女生4名男生中,选出3名学生组成课外小组,如果按性别比例分层抽样,则不同的抽取方法数为()A．112种 B．100种 C．90种 D．80种2．在等比数列中，若，，则A． B．C． D．3．若，，，则（）A． B．C． D．4．设集合，，，则图中阴影部分所表示的集合是（）A． B． C． D．5．当生物死亡后，其体内原有的碳的含量大约每经过年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.在一次考古挖掘中，考古学家发现一批鱼化石，经检测其碳14含量约为原始含量的，则该生物生存的年代距今约（）A．万年 B．万年 C．万年 D．万年6．若函数的图像如下图所示，则函数的图像有可能是（）A． B． C． D．7．甲乙丙丁四名学生报名参加四项体育比赛，每人只报一项，记事件“四名同学所报比赛各不相同”，事件“甲同学单独报一项比赛”，则()A． B． C． D．8．将甲桶中的升水缓慢注入空桶乙中，后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线，假设过后甲桶和乙桶的水量相等，若再过甲桶中的水只有升，则的值为（）A．10 B．9 C．8 D．59．双曲线经过点，且离心率为3，则它的虚轴长是（）A． B． C．2 D．410．如图，平行六面体中，，，，则（）A． B． C． D．11．已知，是双曲线的上、下两个焦点，的直线与双曲线的上下两支分别交于点，，若为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．12．已知函数，若函数在区间上为单调递减函数，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．命题的否定是__________．14．设，则与的大小关系是__．15．设为抛物线的焦点，为抛物线上两点，若,则____________．16．已知函数为偶函数，对任意满足，当时，.若函数至少有个零点，则实数的取值范围是____________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点的直角坐标为，曲线的极坐标方程为，直线过点且与曲线相交于，两点.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若，求直线的直角坐标方程.18．（12分）已知在等比数列中，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.19．（12分）已知命题：对，函数总有意义；命题：函数在上是增函数.若命题“”为真命题且“”为假命题，求实数的取值范围.20．（12分）已知，椭圆C过点，两个焦点为，，E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，直线EF的斜率为，直线l与椭圆C相切于点A，斜率为．求椭圆C的方程；求的值．21．（12分）已知（1）当时，求不等式的解集；（2）若时，，求的取值范围.22．（10分）选修4-5：不等式选讲.（1）当时，求函数的最大值；（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】分析：根据分层抽样的总体个数和样本容量，做出女生和男生各应抽取的人数，得到女生要抽取2人，男生要抽取1人，根据分步计数原理得到需要抽取的方法数．详解：∵8名女生，4名男生中选出3名学生组成课外小组，∴每个个体被抽到的概率是，根据分层抽样要求，应选出8×=2名女生，4×=1名男生，∴有C82•C41=1．故答案为：A．点睛：本题主要考查分层抽样和计数原理，意在考查学生对这些知识的掌握水平.2、A【解题分析】设等比数列的公比为，则，.故选A.3、C【解题分析】

直接由微积分基本定理计算出可得．【题目详解】因为，，，所以，故选：C.【题目点拨】本题考查微积分基本定理，掌握基本初等函数的积分公式是解题关键．4、A【解题分析】

阴影部分所表示的集合为：.【题目详解】由已知可得，阴影部分所表示的集合为：.故选：A.【题目点拨】本题主要考查集合的运算，属基础题.5、C【解题分析】

根据实际问题，可抽象出，按对数运算求解.【题目详解】设该生物生存的年代距今是第个5730年，到今天需满足，解得：，万年.故选C.【题目点拨】本题考查了指数和对数运算的实际问题，考查了转化与化归和计算能力.6、A【解题分析】

根据函数图象的增减性与其导函数的正负之间的关系求解。【题目详解】由的图象可知：在，单调递减，所以当时，在，单调递增，所以当时，故选A.【题目点拨】本题考查函数图象的增减性与其导函数的正负之间的关系，属于基础题.7、D【解题分析】

求出，根据条件概率公式即可得解.【题目详解】由题：，.故选：D【题目点拨】此题考查求条件概率，关键在于准确求出AB的概率和B的概率，根据条件概率公式计算求解.8、D【解题分析】由题设可得方程组，由，代入，联立两个等式可得，由此解得，应选答案D。9、A【解题分析】

根据双曲线经过的点和离心率，结合列方程组，解方程组求得的值，进而求得虚轴长.【题目详解】将点代入双曲线方程及离心率为得，解得，故虚轴长，故本小题选A.【题目点拨】本小题主要考查双曲线的离心率，考查双曲线的几何性质，考查方程的思想，属于基础题.解题过程中要注意：虚轴长是而不是.10、D【解题分析】

利用，即可求解.【题目详解】，,.故选：D【题目点拨】本题考查了向量加法的三角形法则、平行四边形法则、空间向量的数量积以及向量模的求法，属于基础题.11、D【解题分析】根据双曲线的定义，可得是等边三角形，即∴即

即又

0°即解得由此可得双曲线的渐近线方程为.故选D．【题目点拨】本题主要考查双曲线的定义和简单几何性质等知识，根据条件求出a，b的关系是解决本题的关键．12、B【解题分析】因为，所以，由正弦函数的单调性可得，即，也即，所以，应选答案B。点睛：解答本题的关键是将函数看做正弦函数，然后借助正弦函数的单调性与单调区间的关系，依据区间端点之间的大小关系建立不等式组，最后通过解不等式组使得问题巧妙获解。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】分析：特称命题的否定是全称命题，即的否定为.详解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题的否定是.点睛：对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.的否定为，的否定为.14、A≥B.【解题分析】

利用放缩的解法，令每项分母均为，将A放大，即可证明出A、B关系.【题目详解】由题意：，所以.【题目点拨】本题考查放缩法，根据常见的放缩方式，变换分母即可证得结果.15、12【解题分析】分析：过点两点分别作准线的垂线，过点作的垂线，垂足为，在直角三角形中，求得，进而得直线的斜率为，所以直线的方程，联立方程组，求得点的坐标，即可求得答案．详解：过点两点分别作准线的垂线，过点作的垂线，垂足为，设，则，因为，所以，在直角三角形中，，,所以，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，将其代入抛物线的方程可得，解得，所以点，又由，所以所以．点睛：本题主要考查了主要了直线与抛物线的位置关系的应用问题，同时涉及到共线向量和解三角形的知识，解答本题的关键是利用抛物线的定义作出直角三角形，确定直线的斜率，得出直线的方程，着重考查了数形结合思想和推理与运算能力．16、【解题分析】

根据偶函数性质及解析式满足的条件，可知的对称轴和周期，并由时的解析式，画出函数图像；根据导数的几何意义，求得时的解析式，即可求得的临界值，进而确定的取值范围.【题目详解】函数至少有个零点，由可得函数为偶函数，对任意满足，则函数图像关于对称，函数为周期的周期函数，当时，，则的函数图像如下图所示：由图像可知，根据函数关于轴对称可知，若在时至少有两个零点，则满足至少有个零点，即在时至少有两个交点；当与相切时，满足有两个交点；则，设切点为，则，解方程可得，由导数的几何意义可知，所以满足条件的的取值范围为.故答案为：.【题目点拨】本题考查了函数零点的应用，方程与函数的综合应用，根据导数求函数的交点情况，数形结合法求参数的取值范围，属于难题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)直线的直角坐标方程为或【解题分析】分析：（1）根据极坐标和直角坐标间的转化公式可得所求．（2）根据题意设出直线的参数方程，代入圆的方程后得到关于参数的二次方程，根据根与系数的关系和弦长公式可求得倾斜角的三角函数值，进而可得直线的直角坐标方程．详解：（1）由，可得，得，∴曲线的直角坐标方程为.（2）由题意设直线的参数方程为（为参数），将参数方程①代入圆的方程，得，∵直线与圆交于，两点，∴．设，两点对应的参数分别为，，则，∴，化简有，解得或，∴直线的直角坐标方程为或.点睛：利用直线参数方程中参数的几何意义解题时，要注意使用的前提条件，只有当参数的系数的平方和为1时，参数的绝对值才表示直线上的动点到定点的距离．同时解题时要注意根据系数关系的运用，合理运用整体代换可使得运算简单．18、(1)(2)【解题分析】

（1）求出公比后可得的通项公式.（2）利用错位相减法可求.【题目详解】（1）设等比数列的公比为.由，得，得，所以，解得.故数列的通项公式是.（2），则，①，②由①-②，得，，故【题目点拨】数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.19、【解题分析】

由对数函数的性质，我们可以得到为真时，的取值范围；根据导数的符号与函数单调性的关系及基本不等式，我们可以求出为真时的取值范围；而根据“”为真且命题“”为假，可得真假，或假真，求出这两种情况下的的取值范围再求并集即可．【题目详解】解：当为真命题时，解得当为真命题时，在上恒成立，即对恒成立.又，当且仅当时等号成立，所以，所以.因为命题“”为真命题且命题“”为假命题，所以命题与命题一个为真一个为假当真假时，有解得当假真时，有解得综上，实数的取值范围是【题目点拨】本题考查的知识点是对数函数的性质，恒成立问题，导数法确定函数的单调性，复合命题的真假，属于中档题.20、（1）；（2）0.【解题分析】

可设椭圆C的方程为，由题意可得，由椭圆的定义计算可得，进而得到b，即可得到所求椭圆方程；设直线AE：，代入椭圆方程，运用韦达定理可得E的坐标，由题意可将k换为，可得F的坐标，由直线的斜率公式计算可得直线EF的斜率，设出直线l的方程，联立椭圆方程，运用直线和椭圆相切的条件：判别式为0，可得直线l的斜率，进而得到所求斜率之和．【题目详解】解：由题意可设椭圆C的方程为，且，，即有，，所以椭圆的方程为；设直线AE：，代入椭圆方程可得，可得，即有，，由直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，可将k换为，可得，，则直线EF的斜率为，设直线l的方程为，代入椭圆方程可得：，由直线l与椭圆C相切，可得，化简可得，解得，则．【题目点拨】本题主要考查了椭圆的简单性质及椭圆的定义，考查两点斜率公式，还考查了韦达定理及直线与椭圆相切知识，考查化简整理的运算能力和推理能力，属于难题．21、（1）；（2）【解题分析】

（1）根据，将原不等式化为，分别讨论，，三种情况，即可求出结果；（2）分别讨论和两种情况，即可得出结果.【题目详解】（1）当时，原不等式可化为；当时，原不等式可化为，即，显然成立，此时解集为；当时，原不等式可化为，解得，此时解集为空集；当时，原不等式可化为，即，显然不成立；此时解集为空集；综上，原不等式的解集为；（2）当时，因为，所以由可得，即，显然恒成立；所以满足题意；当时，，因为时，显然不能成立，所以不满足题意；综上，的取值范围是.【题目点拨】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型.22、（1）4（2）【解题分析】分