2024届四川大学附中数学高二下期末达标测试试题含解析

2024届四川大学附中数学高二下期末达标测试试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知f(x-1x)=A．f(x+1)=(x+1)2C．f(x+1)=(x+1)22．过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点,点是原点,若;则的面积为（）A． B． C． D．3．在等差数列中，若，，则（）A． B．1 C． D．4．下列函数中，既是奇函数又是上的增函数的是（）A． B． C． D．5．已知定义域为的函数满足，，当时，则（）A． B．3 C． D．46．函数的部分图象大致是（）A． B．C． D．7．随着现代科技的不断发展，通过手机交易应用越来越广泛，其中某群体的每位成员使用微信支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用微信支付的人数，已知方差，，则期望（）A．4 B．5 C．6 D．78．设随机变量ξ服从正态分布N(3,4)，若P(ξ<2a-3)=P(ξ>a+2)，则实数a的值为A．5 B．3 C．53 D．9．某西方国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅”结论显然是错误的，是因为（）A．大前提错误 B．推理形式错误 C．小前提错误 D．非以上错误10．设是两个平面向量，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件11．中国古代数学名著《九章算术•商功》中记载了一种名为“堑堵”的几何体：“邪解立方得二堑堵邪解堑堵”錾堵是一个长方体沿不在同一表面上的相对两棱斜截所得的立体图形其正视图和俯视图（直角三角形）如图所示，则该“堑堵”的外接球的大圆面积为（）A． B． C． D．12．已知命题，则命题的否定为（）A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人，组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有__________种不同的选法．（用数字作答）14．已知实数x，y满足条件，则z=x+3y的最小值是_______________.15．某外商计划在个候选城市中投资个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过个，则该外商不同的投资方案有____种．16．用数学归纳法证明，在第二步证明从到成立时，左边增加的项数是_____项．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，直三棱柱中，，，，为的中点，点为线段上的一点.（1）若，求证：；（2）若，异面直线与所成的角为，求直线与平面所成角的正弦值.18．（12分）如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直．EF//AC，AB=,CE=EF=1（Ⅰ）求证：AF//平面BDE；（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE;19．（12分）在直角坐标系中，将单位圆上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线，以为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系．(1)求曲线的参数方程；(2)设为曲线上一点，点的极坐标为，求的最大值及此时点的坐标．20．（12分）已知集合，函数的定义域为，值域为.（1）若，求不同的函数的个数；（2）若，（ⅰ）求不同的函数的个数；（ⅱ）若满足，求不同的函数的个数.21．（12分）已知命题p：函数的定义域为R；命题q：双曲线的离心率，若“”是真命题，“”是假命题，求实数a的取值范围．22．（10分）设函数，.（Ⅰ）求的单调区间和极值；（Ⅱ）若关于的方程有3个不同实根，求实数的取值范围．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

将等式变形为fx-1xfx+1【题目详解】∵x-1x∵fx-1x因此，fx+1=【题目点拨】本题考查函数的解析式，属于中等题，求函数解析式常见题型由以下几种：（1）根据实际应用求函数解析式；（2）换元法求函数解析式，利用换元法一定要注意换元后参数的范围；（3）待定系数法求解析式，这种方法既适合已知函数名称的函数解析式；（4）消元法求函数解析式，这种方法适合求自变量互为倒数或相反数的函数解析式．2、C【解题分析】

试题分析：抛物线焦点为，准线方程为，由得或所以，故答案为C．考点：1、抛物线的定义；2、直线与抛物线的位置关系．3、C【解题分析】

运用等差数列的性质求得公差d，再运用通项公式解得首项即可．【题目详解】由题意知，所以.故选C.【题目点拨】本题考查等差数列的通项公式的运用，等差数列的性质，考查运算能力，属于基础题．4、B【解题分析】

分别画出各选项的函数图象,由图象即可判断.【题目详解】由题,画出各选项函数的图象,则选项A为选项B为选项C为选项D为由图象可知,选项B满足既是奇函数又是上的增函数,故选:B【题目点拨】本题考查判断函数的单调性和奇偶性,考查基本初等函数的图象与性质.5、D【解题分析】

根据奇偶性和可知关于轴和对称，由对称性和周期性关系可确定周期为，进而将所求函数值化为，代入可求得结果.【题目详解】，为偶函数，图象关于轴对称；，关于直线对称；是周期为的周期函数，.故选：.【题目点拨】本题考查利用函数的性质求解函数值的问题，涉及到函数奇偶性、对称性和周期性的应用；关键是能够熟练掌握对称性和周期性的关系，准确求得函数的周期性.6、B【解题分析】

先判断函数奇偶性，再根据对应区间函数值的正负确定选项.【题目详解】为偶函数，舍去A;当时,舍去C；当时,舍去D；故选：B【题目点拨】本题考查函数奇偶性以及识别函数图象，考查基本分析求解判断能力，属基础题.7、A【解题分析】

服从二项分布，由二项分布的方差公式计算出的可能值，再根据，确定的值，再利用均值计算公式计算的值.【题目详解】因为，所以或，又因为，则，解得，所以，则.故选：A.【题目点拨】二项分布的均值与方差计算公式：，.8、D【解题分析】

根据正态分布的特征，可得2a-3+a+2=6，求解即可得出结果.【题目详解】因为随机变量ξ服从正态分布N3,4，P根据正态分布的特征，可得2a-3+a+2=6，解得a=7故选D【题目点拨】本题主要考查正态分布的特征，熟记正态分布的特征即可，属于基础题型.9、B【解题分析】

根据三段论的推理形式依次去判断大前提和小前提，以及大小前提的关系，根据小前提不是大前提下的特殊情况，可知推理形式错误.【题目详解】大前提：“鹅吃白菜”，不是全称命题，大前提本身正确，小前提：“参议员先生也吃白菜”本身也正确，但不是大前提下的特殊情况，鹅与人不能进行类比，所以不符合三段论的推理形式，可知推理形式错误.本题正确选项：【题目点拨】本题考查三段论推理形式的判断，关键是明确大小前提的具体要求，属于基础题.10、A【解题分析】

由，则是成立的；反之，若，而不一定成立，即可得到答案.【题目详解】由题意是两个平面向量，若，则是成立的；反之，若，则向量可能是不同的，所以不一定成立，所以是是成立的充分而不必要条件，故选A.【题目点拨】本题主要考查了向量的概念以及向量模的概念的应用，以及充分条件与必要条件的判定，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.11、B【解题分析】

首先根据题意得到“堑堵”是半个长方体的直三棱柱，再求其外接球的大圆面积即可.【题目详解】由题知：“堑堵”是半个长方体的直三棱柱，如图所示：设外接球大圆的半径为，.，所以外接球的大圆面积为.故选：B【题目点拨】本题主要考查三棱柱的外接球，同时考查三视图的直观图，属于中档题.12、A【解题分析】

根据全称命题的否定为特称命题，即可直接得出结果.【题目详解】因为命题，所以命题的否定为：故选A【题目点拨】本题主要考查含有一个量词的命题的否定，只需改写量词与结论即可，属于常考题型.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、660【解题分析】

第一类，先选女男，有种，这人选人作为队长和副队有种，故有种；第二类，先选女男，有种，这人选人作为队长和副队有种，故有种，根据分类计数原理共有种，故答案为.14、-5【解题分析】作可行域,则直线z=x+3y过点A(1,-2)取最小值-5点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.15、60【解题分析】试题分析：每个城市投资1个项目有种，有一个城市投资2个有种，投资方案共种.考点：排列组合.16、【解题分析】

根据等式时，考虑和时，等式左边的项，再把时等式的左端减去时等式的左端，即可得到答案．【题目详解】解：当时，等式左端，当时，等式左端，所以增加的项数为：即增加了项．故答案为：．【题目点拨】此题主要考查数学归纳法的问题，解答的关键是明白等式左边项的特点，再把时等式的左端减去时等式的左端，属于基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）【解题分析】

(1)根据三棱柱是直三棱柱的特征，又，可作中点，连接DM,通过线面垂直证明平面，可推出，又，可证(2)通过作图，分别以，，为轴、轴、轴，建立空间直角体系，先通过几何法求出长度，分别表示出线面角各点对应的坐标，再用向量公式算出直线与平面所成角的正弦值【题目详解】证明：（1）取中点，连接，，有，因为，所以，又因为三棱柱为直三棱柱，所以平面平面，又因为平面平面，所以平面，又因为平面，所以又因为，，平面，平面，所以平面，又因为平面，所以，因为，所以.（2）设，如图以为坐标原点，分别以，，为轴、轴、轴，建立空间直角体系，由（1）可知，，所以，故，，，，，对平面，，，所以其法向量可表示为.又，所以直线与平面成角的正弦值.【题目点拨】证线线垂直一般是通过线面垂直进行证明，本题其实还可以采用射影逆定理进行证明，通过证明与斜线垂直即，推出与射影垂直，，不妨一试；对于像本题中第二问不太好确定线面关系而又发觉立体图形比较规整的，比如说正方体、长方体、正三棱锥，直棱柱等，都可直接考虑建立空间直角坐标系来进行求解18、（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析【解题分析】

(1)设AC与BD交于点G.因为EF∥AG,且EF=1,AG=AC=1,所以四边形AGEF为平行四边形.所以AF∥EG.因为EG⊂平面BDE,AF⊄平面BDE,所以AF∥平面BDE.(2)连接FG.因为EF∥CG,EF=CG=1,且CE=1,所以四边形CEFG为菱形.所以CF⊥EG.因为四边形ABCD为正方形,所以BD⊥AC.又因为平面ACEF⊥平面ABCD,且平面ACEF∩平面ABCD=AC,所以BD⊥平面ACEF.所以CF⊥BD.又BD∩EG=G,所以CF⊥平面BDE.19、(1)(为参数)；(2)最大值，此时．【解题分析】

(1)根据坐标变换可得曲线的方程，根据平方关系可求出其参数方程；(2)求出的直角坐标，再由两点间的距离公式可求出，结合三角函数即可求出最值．【题目详解】(1)依题意可得曲线C的直角坐标方程为，所以其参数方程为(为参数)．(2)，设，则，所以当时，取得最大值，此时．【题目点拨】本题主要考查曲线的伸缩变换，参数方程与普通方程的互化，极坐标化为直角坐标，同时考查三角函数最值的求法，属于中档题．20、（1）36；（2）（ⅰ）81；（ⅱ）19【解题分析】

（1）当定义域有4个元素，值域有3个元素，把4个元素分成2，1，1的三组，再对应值域里的3个元素，有；（2）（ⅰ）分值域有1个元素，2个元素，3个元素，讨论函数个数；（ⅱ）满足条件的有0，0，2，2或0，1，1，2或1，1，1，1三类，分三类求满足条件的函数个数.【题目详解】（1）函数的定义域是，值域是定义域里有2个数对着值域里面一个数，另外两个数是1对1，不同的函数的个数是个.（2）（ⅰ）值域不能为空集，当是单元素集合时，，，，定义域是，此时定义域里4个元素对应的都是值域里的一个数，此时有3个函数；当是双元素集合时，此时定义域里两个元素对应值域里一个元素，有个函数；当定义域里有3个元素对应值域里一个元素，定义域里第4个元素对应值域里一个元素时有个函数；当集合是三个元素时，如（1）有36个函数，一共有3+18+24+36=81个函数；（ⅱ）满足，的有0，0，2，2，函数个数是个，0，1，1，2时，函数个数是个，1，1，1，1时，函数个数是1个，共有个.【题目点拨】本题考查排列组合的应用，意在考查转化和推理，以及分类讨论