2024届北京外国语大学附属中学数学高二下期末学业水平测试模拟试题含解析

2024届北京外国语大学附属中学数学高二下期末学业水平测试模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若，则下列结论中不恒成立的是（）A． B． C． D．2．某家具厂的原材料费支出与销售量（单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出与的线性回归方程为，则为x24568y2535605575A．5 B．10 C．12 D．203．已知定义在R上的偶函数（其中e为自然对数的底数），记，，，则a，b，c的大小关系是（）A． B． C． D．4．已知双曲线的实轴长为16，左焦点分别为，是双曲线的一条渐近线上的点，且，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为()A． B． C． D．5．已知某随机变量服从正态分布，且，则（）A． B． C． D．6．若是第四象限角，，则（）A． B． C． D．7．已知随机变量X服从正态分布且P（X4）=0.88，则P（0X4）=（）A．0.88 B．0.76 C．0.24 D．0.128．下面命题正确的有（）①a，b是两个相等的实数，则是纯虚数；②任何两个复数不能比较大小；③若，且，则.A．0个 B．1个 C．2个 D．3个9．若a＞b＞0，0＜c＜1，则A．logac＜logbc B．logca＜logcb C．ac＜bc D．ca＞cb10．下列函数为奇函数的是（）A． B． C． D．11．某射手射击一次击中靶心的概率是,如果他在同样的条件下连续射击10次,设射手击中靶心的次数为,若,,则()A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.312．设随机变量服从正态分布,若,则

=A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．《左传.僖公十四年》有记载:“皮之不存,毛将焉附?"”这句话的意思是说皮都没有了,毛往哪里依附呢?比喻事物失去了借以生存的基础,就不能存在.皮之不存,毛将焉附?则“有毛”是“有皮”的__________条件(将正确的序号填入空格处).①充分条件②必要条件③充要条件④既不充分也不必要条件14．已知曲线的方程为，集合，若对于任意的，都存在，使得成立，则称曲线为曲线.下列方程所表示的曲线中,是曲线的有__________（写出所有曲线的序号）①；②；③；④15．设是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，，则；④若，则，其中正确命题的序号是______.16．在中，，，则________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平形四边形，PA⊥平面ABCD，点M，N分别为BC,PA的中点，且AB=AC=1，AD=2（1）证明：MN∥平面PCD；（2）设直线AC与平面PBC所成角为α，当α在(0,π6)内变化时，求二面角P-BC-A的平面角β18．（12分）已知函数，.（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求实数的值；（2）设，若对任意两个不等的正数，都有恒成立，求实数的取值范围；19．（12分）已知过点A（0，2）的直线l与椭圆C：x2（1）若直线l的斜率为k，求k的取值范围；（2）若以PQ为直径的圆经过点E（1，0），求直线l的方程．20．（12分）已知点在椭圆C:上，A，B是长轴的两个端点，且．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线CD的斜率为2，以E(1，0)为圆心的圆与直线CD相切，且切点为线段CD的中点，求该圆的方程.21．（12分）在平面直角坐标系中,设向量,.(1)当时,求的值；(2)若，且.求的值.22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设点分别在，上运动，若的最小值为2，求的值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】分析两数可以是满足，任意数，利用特殊值法即可得到正确选项．详解：若，不妨设a代入各个选项，错误的是A、B，

当时，C错．

故选D．点睛：利用特殊值法验证一些式子错误是有效的方法，属于基础题．2、B【解题分析】分析：先求样本中心，代入方程求解即可。详解：，，代入方程，解得，故选B点睛：回归直线方程必过样本中心。3、A【解题分析】

先根据函数奇偶性，求出，得到，再由指数函数单调性，以及余弦函数单调性，得到在上单调递增，进而可得出结果.【题目详解】因为是定义在R上的偶函数，所以，即，即，所以，解得：，所以，当时，，因为是单调递增函数，在上单调递减，所以在上单调递增，又，所以，即.故选：A.【题目点拨】本题主要考查由函数单调比较大小，由函数奇偶性求参数，熟记函数单调性与奇偶性即可，属于常考题型.4、A【解题分析】由于焦点到渐近线的距离为,故,依题意有,所以离心率为.【题目点拨】本小题主要考查直线和双曲线的位置关系,考查双曲线渐近线的几何性质,考查三角形的面积公式和双曲线离心率的求法.设双曲线的焦点为,双曲线的渐近线为,故双曲线焦点到渐近线的距离为,故焦点到渐近线的距离为.5、A【解题分析】

直接利用正态分布曲线的对称性求解．【题目详解】，且，．．故选：A．【题目点拨】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．6、C【解题分析】

确定角所处的象限，并求出的值，利用诱导公式求出的值．【题目详解】是第四象限角，则，，且，所以，是第四象限角，则，因此，，故选C．【题目点拨】本题考查三角求值，考查同角三角函数基本关系、诱导公式的应用，再利用同角三角函数基本关系求值时，要确定对象角的象限，于此确定所求角的三角函数值符号，结合相关公式求解，考查计算能力，属于中等题．7、B【解题分析】

正态曲线关于对称，利用已知条件转化求解概率即可．【题目详解】因为随机变量服从正态分布，，得对称轴是，，，，故选B．【题目点拨】本题在充分理解正态分布的基础上，充分利用正态分布的对称性解题，是一道基础题．8、A【解题分析】

对于找出反例即可判断，根据复数的性质可判断．【题目详解】若，则是0，为实数，即错误；

复数分为实数和虚数，而任意实数都可以比较大小，虚数是不可以比较大小的，即错误；

若，，则，但，即错误；故选：A【题目点拨】本题主要考查了复数的概念与性质，属于基础题．9、B【解题分析】试题分析：对于选项A，，，，而，所以，但不能确定的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B，,，两边同乘以一个负数改变不等号方向，所以选项B正确;对于选项C，利用在第一象限内是增函数即可得到，所以C错误;对于选项D，利用在上为减函数易得，所以D错误.所以本题选B.【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.10、A【解题分析】试题分析：由题意得，令，则，所以函数为奇函数，故选A．考点：函数奇偶性的判定．11、B【解题分析】

随机变量X～B（10，p），所以DX=10p(1−p)=2.4，可得p=0.4或p=0.6，又因为P(X=3)<P(X=7),即，可得p>，所以p=0.6.【题目详解】依题意,X为击中目标的次数,所以随机变量服从二项分布X∼B(10,p)，所以D（X）=10p(1−p)=2.4，所以p=0.4或p=0.6，又因为P(X=3)<P(X=7),即，所以1−p<p,即p>，所以p=0.6.故选：B.【题目点拨】本题考查二项分布的概率计算、期望与方差，根据二项分布概率计算公式进行求解即可，属于简单题.12、B【解题分析】分析：根据正态分布图像可知，故它们中点即为对称轴.详解：由题可得：，故对称轴为故选B.点睛：考查正态分布的基本量和图像性质，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、①【解题分析】分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．详解：由题意知“无皮”⇒“无毛”，所以“有毛”⇒“有皮”即“有毛”是“有皮”的充分条件．故答案为：①．点睛：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．14、①③【解题分析】

将问题转化为：对于曲线上任意一点，在曲线上存在着点使得，据此逐项判断曲线是否为曲线.【题目详解】①的图象既关于轴对称，也关于轴对称，且图象是封闭图形，所以对于任意的点，存在着点使得，所以①满足；②的图象是双曲线，且双曲线的渐近线斜率为，所以渐近线将平面分为四个夹角为的区域，当在双曲线同一支上，此时，当不在双曲线同一支上，此时，所以，不满足，故②不满足；③的图象是焦点在轴上的抛物线，且关于轴对称，连接，再过点作的垂线，则垂线一定与抛物线交于点，所以，所以，所以③满足；④取，若，则有，显然不成立，所以此时不成立，所以④不满足.故答案为：①③.【题目点拨】本题考查曲线与方程的新定义问题，难度较难.(1)对于新定义的问题，首先要找到问题的本质：也就是本题所考查的主要知识点，然后再解决问题；(2)对于常见的，一定要能将其与向量的数量积为零即垂直关系联系在一起.15、①②【解题分析】

①利用线面平行性质以及线面垂直的定义判断真假；②利用面面平行的性质以及线面垂直的性质判断真假；③④可借助正方体判断真假.【题目详解】①因为，过作平面，使得，则有；又因为，所以，又因为，所以，故①正确；②因为，所以；又因为，所以，故②正确；③例如：正方体上底面的对角线分别平行下底面，但是两条对角线互相不平行，故③不正确；④选正方体同一顶点处的三个平面记为，则有，但与相交，故④不正确.故填：①②.【题目点拨】判断用符号语言描述的空间中点、线、面的位置关系的正误：（1）直接用性质定理、判定定理、定义去判断；（2）借助常见的空间几何体辅助判断（正方体等）.16、【解题分析】

根据特殊角的三角函数值得到，，再由二倍角公式得到结果.【题目详解】∵，，，∴，∴，即.∵，∴，由二倍角公式得到：，∴.故答案为.【题目点拨】这个题目考查了特殊角的三角函数值的应用，以及二倍角公式的应用属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析;(2)(0，【解题分析】试题分析：（Ⅰ）根据直线与平面平行的判定定理，需在平面PCD内找一条与MN平行的直线.结合题设可取取PD中点Q，连接NQ,CQ，易得四边形CQNM为平行四边形，从而得MN//CQ，问题得证.（Ⅱ）思路一、首先作出二面角的平面角，即过棱BC上一点分别在两个平面内作棱BC的垂线.因为AB=AC=1，点M分别为BC的中点，则AM⊥BC.连接PM，因为PA⊥平面ABCD，所以AM是PM在面ABC内的射影，所以PM⊥BC，所以∠PMA即为二面角P-BC-A的平面角.再作出直线AC与平面PBC所成的角，即作出AC在平面PBC内的射影.由PM⊥BC，AM⊥BC且AM∩PM=M得BC⊥平面PAM，从而平面PBC⊥平面PAM.过点A在平面PAM内作AH⊥PM于H，根据面面垂直的性质知AH⊥平面PBC．连接CH，于是∠ACH就是直线AC与平面PBC所成的角．在Rt△AHM及Rt△AHC中，找出∠PMA与α的关系，即可根据α的范围求出∠PMA的范围.思路二、以所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量亦可求解.试题解析：（Ⅰ）证明：取PD中点Q，连接NQ,CQ，因为点M,N分别为BC,PA的中点，所以NQ//AD//CM,四边形CQNM为平行四边形，则MN//CQ又MN⊆平面PCD，CQ⊆所以MN//平面PCD.（Ⅱ）解法1：连接PM，因为AB=AC=1，点M分别为BC的中点，则AM⊥BC又PA⊥平面ABCD，则PM⊥BC所以∠PMA即为二面角P-BC-A的平面角又AM∩PM=M，所以BC⊥平面PAM，则平面PBC⊥平面PAM过点A在平面PAM内作AH⊥PM于H，则AH⊥平面PBC．连接CH，于是∠ACH就是直线AC与平面PBC所成的角，即∠ACH=α．在Rt△AHM中，AH=2在Rt△AHC中，CH=sinα，∵0<α<π∴0<sinθ<1又0<φ<π2，即二面角P-BC-A取值范围为(0，解法2：连接PM，因为AB=AC=1，点M分别为BC的中点，则AM⊥BC又PA⊥平面ABCD，则PM⊥BC所以∠PMA即为二面角P-BC-A的平面角，设为θ以所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0于是，PM=(12，1设平面PBC的一个法向量为n=(x，则由n·BC得-x+y=0可取n=(1，1，于是sinα=|∵0<α<π∴0<sinθ<1又0<φ<π2，即二面角P-BC-A取值范围为(0，考点：1、空间直线与平面的位置关系；2、二面角.18、(1).(2).【解题分析】分析：（1）由题意，求得，得到方程，即可求解实数的值；（2）由题意，对任意两个不等的正数，都有恒成立，设，则即恒成立，问题等价于函数在上为增函数，利用导数即可额求解．详解：（1）由，得.由题意，，所以.（2）.因为对任意两个不等的正数，都有恒成立，设，则即恒成立.问题等价于函数，即在上为增函数，所以在上恒成立.即在上恒成立.所以，即实数的取值范围是.点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用．19、（1）(-∞,-1)∪(1,+∞)；（2）x=0或y=-7【解题分析】试题分析：（1）由题意设出直线l的方程，联立直线方程与椭圆方程，化为关于的一元二次方程后由判别式大于求得的取值范围；（2）设出的坐标，利用根与系数的关系得到的横坐标的和与积，结合以为直径的圆经过点，由EP·EQ=0求得值，则直线l方程可求.试题解析：（1）依题意，直线l的方程为y=kx+2，由x23+y2=1y=kx+2,消去y得(3k2+1)x（2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=0,则P(0,1),Q(0,-1),此时以为直径的圆过点E(1,0)，满足题意.直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+2,P(x1,y1),Q(x2EP=(k2+1)因为以直径的圆过点E(1,0)，所以EP·EQ=0，即12k+143k2故直线l的方程为y=-76x+2.综上，所求直线l的方程为x=0考点：1.直线与椭圆的综合问题；2.韦达定理.【