2024届湖南省百所重点名校大联考数学高二下期末调研试题含解析

2024届湖南省百所重点名校大联考数学高二下期末调研试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．用反证法证明命题“平面四边形四个内角中至少有一个不大于时”，应假设（）A．四个内角都大于 B．四个内角都不大于C．四个内角至多有一个大于 D．四个内角至多有两个大于2．从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数为()A．90 B．60 C．120 D．1103．某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有A．72种 B．36种 C．24种 D．18种4．等于（）A．B．C．1D．5．在平面四边形，，，则四边形的面积为（）A． B． C．15 D．6．已知函数，若方程有五个不同的实数根，则的取值范围是（）A．（0，+∞） B．（0，1） C．（－∞，0） D．（0，）7．已知复数（其中为虚数单位），则A． B． C． D．8．已知数列的前项和为，，若，，则（）A． B．0 C．1 D．29．直线与抛物线交于，两点，若，则弦的中点到直线的距离等于（）A． B． C．4 D．210．已知…，依此规律，若，则的值分别是（）A．48，7 B．61，7 C．63，8 D．65，811．已知，为锐角，且，若，则的最大值为（）A． B． C． D．12．对相关系数，下列说法正确的是（）A．越大，线性相关程度越大B．越小，线性相关程度越大C．越大，线性相关程度越小，越接近0，线性相关程度越大D．且越接近1，线性相关程度越大，越接近0，线性相关程度越小二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设a、b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＞1；②a＋b＝2；③a＋b＞2；④a2＋b2＞2；⑤ab＞1.其中能推出“a、b中至少有一个数大于1”的条件是：_____14．函数的最小正周期是__________．15．_________.16．在极坐标系中，点M(4,π3)三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知命题关于的方程的解集至多有两个子集，命题，,若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.18．（12分）在中，，，的对边分别为，，，若，（1）求的大小；（2）若，，求，的值.19．（12分）在某项体能测试中，规定每名运动员必需参加且最多两次，一旦第一次测试通过则不再参加第二次测试，否则将参加第二次测试.已知甲每次通过的概率为23，乙每次通过的概率为1(Ⅰ)求甲乙至少有一人通过体能测试的概率；(Ⅱ)记X为甲乙两人参加体能测试的次数和，求X的分布列和期望.20．（12分）某学校为调查高三年级学生的身高情况，按随机抽样的方法抽取80名学生，得到男生身高情况的频率分布直方图（如图（1））和女生身高情况的频率分布直方图（如图（2））.已知图（1）中身高在的男生有16名.（1）试问在抽取的学生中，男、女生各有多少名？（2）根据频率分布直方图，完成下面的列联表，并判断能有多大（百分数）的把握认为身高与性别有关？身高身高总计男生女生总计参考公式：，其中参考数据：0.400.250.100.0100.0010.7081.3232.7066.63510.82821．（12分）2018年11月21日，意大利奢侈品牌“”在广告中涉嫌辱华，中国明星纷纷站出来抵制该品牌，随后京东、天猫、唯品会等中国电商平台全线下架了该品牌商品，当天有大量网友关注此事件，某网上论坛从关注此事件跟帖中，随机抽取了100名网友进行调查统计，先分别统计他们在跟帖中的留言条数，再把网友人数按留言条数分成6组：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60]，得到如图所示的频率分布直方图；并将其中留言不低于40条的规定为“强烈关注”，否则为“一般关注”，对这100名网友进一步统计得到列联表的部分数据如表．（1）根据如图所示的频率分布直方图，求网友留言条数的中位数；（2）在答题卡上补全列联表中数据；（3）判断能否有的把握认为网友对此事件是否为“强烈关注”与性别有关？一般关注强烈关注合计男45女1055合计100参考公式及数据：0.050.0250.0100.0053.8415.0246.6357.87922．（10分）已知数列（）的通项公式为（）.（1）分别求的二项展开式中的二项式系数之和与系数之和；（2）求的二项展开式中的系数最大的项；（3）记（），求集合的元素个数（写出具体的表达式）.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

对于“至少一个不大于”的否定为“全都大于”，由此得到结果.【题目详解】“平面四边形四个内角中至少有一个不大于”的否定形式为：“平面四边形四个内角中都大于”，即反证法时应假设：四个内角都大于本题正确选项：【题目点拨】本题考查反证法的假设，关键是明确至少问题的否定的形式，属于基础题.2、D【解题分析】

用所有的选法共有减去没有任何一名女生入选的组队方案数，即得结果【题目详解】所有的选法共有种其中没有任何一名女生入选的组队方案数为：故至少有一名女生入选的组队方案数为故选【题目点拨】本题主要考的是排列，组合及简单计数问题，考查组合的运用，处理“至少有一名”类问题，宜选用间接法，是一道基础题。3、B【解题分析】

根据条件2名内科医生，每个村一名，3名外科医生和3名护士，平均分成两组，则分1名外科，2名护士和2名外科医生和1名护士，根据排列组合进行计算即可．【题目详解】2名内科医生，每个村一名，有2种方法，3名外科医生和3名护士，平均分成两组，要求外科医生和护士都有，则分1名外科，2名护士和2名外科医生和1名护士，若甲村有1外科,2名护士,则有C3若甲村有2外科,1名护士,则有C3则总共的分配方案为2×(9+9)=2×18=36种，故选：B.【题目点拨】本题主要考查了分组分配问题，解决这类问题的关键是先分组再分配，属于常考题型.4、A【解题分析】试题分析：因为，故选A．考点：定积分的运算．5、C【解题分析】

首先根据得到，再求四边形的面积即可.【题目详解】因为，所以，所以四边形的面积.故选：C【题目点拨】本题主要考查平面向量的数量积运算，属于简单题.6、D【解题分析】

由方程的解与函数图象的交点关系得：方程有五个不同的实数根等价于的图象与的图象有5个交点，作图可知，只需与曲线在第一象限有两个交点即可。利用导数求过某点的切线方程得：过原点的直线与相切的直线方程为，即所求的取值范围为，得解．【题目详解】设，则的图象与的图象关于原点对称，方程有五个不同的实数根等价于函数的图象与的图象有5个交点，由图可知，只需与曲线在第一象限有两个交点即可，设过原点的直线与切于点，，由，则过原点的直线与相切，，又此直线过点，所以，所以，即（e），即过原点的直线与相切的直线方程为，即所求的取值范围为，故选．【题目点拨】本题主要考查了方程的解与函数图象的交点个数问题的关系应用及利用导数求切线方程。7、B【解题分析】分析：根据复数的运算法则和复数的模计算即可.详解：，则.故选：B.点睛：复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程．8、C【解题分析】

首先根据得到数列为等差数列，再根据，即可算出的值.【题目详解】因为，所以数列为等差数列.因为，所以...因为，所以.故选：C【题目点拨】本题主要考查等差数列的性质，同时考查了等差中项，属于简单题.9、B【解题分析】直线4kx﹣4y﹣k=0可化为k（4x﹣1）﹣4y=0，故可知直线恒过定点（，0）∵抛物线y2=x的焦点坐标为（，0），准线方程为x=﹣，∴直线AB为过焦点的直线∴AB的中点到准线的距离∴弦AB的中点到直线x+=0的距离等于2+=.故选B．点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质．解题的关键是利用了抛物线的定义．一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用．尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化．10、C【解题分析】

仔细观察已知等式的数字可发现:,根据此规律解题即可.【题目详解】由,

,

,

归纳可得,故当时,,

故选C.【题目点拨】本题通过观察几组等式，归纳出一般规律来考查归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤:一、通过观察个别情况发现某些相同的性质.二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）.11、B【解题分析】

把代入等式中，进行恒等变形，用表示，最后利用基本不等式，求出的最大值.【题目详解】，.因为为锐角，且，所以，，，（当且仅当时取等号），所以，因此的最大值为，故本题选B.【题目点拨】本题考查了三角恒等变形，考查了两角差的正切公式，考查了应用基本不等式求代数式最值问题.12、D【解题分析】

根据两个变量之间的相关系数r的基本特征，直接选出正确答案即可．【题目详解】用相关系数r可以衡量两个变量之间的相关关系的强弱，|r|≤1，r的绝对值越接近于1，表示两个变量的线性相关性越强，r的绝对值接近于0时，表示两个变量之间几乎不存在相关关系，故选D．【题目点拨】本题考查两个变量之间相关系数的基本概念应用问题，是基础题目．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、③【解题分析】试题分析：若a＝，b＝，则a＋b>1，但a<1，b<1，故①推不出；若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2>2，故④推不出；若a＝－2，b＝－3，则ab>1，故⑤推不出；对于③，即a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1，反证法：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b＞2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1．[来源:Z§考点：不等式性质14、1【解题分析】

直接利用余弦函数的周期公式求解即可．【题目详解】函数的最小正周期是：1．故答案为1．【题目点拨】本题考查三角函数的周期的求法，是基本知识的考查．15、【解题分析】

设,则,然后根据定积分公式计算可得.【题目详解】设,则,所以===.故答案为:.【题目点拨】本题考查了定积分的计算,属基础题.16、2【解题分析】曲线ρcos(θ-π3)＝2化为直角坐标方程为x+3y=4，点M(4三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、【解题分析】

先求出命题为真命题时实数的取值范围，由是的必要不充分条件，得出命题中的集合是命题中的集合的真子集，于是得出不等式求解，可得出实数的取值范围。【题目详解】当命题是真命题时，则关于的方程的解集至多有两个子集，即关于的方程的解集至多只有一个实数解，，化简得，解得，或，且或，由于是的必要不充分条件，则，所以，，解得，因此，实数的取值范围是.【题目点拨】本题考查利用充分必要性求参数的取值范围，解这类问题一般利用充分必要性转化为集合的包含关系来处理，具体关系如下：（1），则“”是“”的充分不必要条件；（2），则“”是“”的必要不充分条件；（3），则“”是“”的充要条件；（4），则“”是“”的既不充分也不必要条件。18、（1）（2），或，.【解题分析】分析：（1）利用正弦定理把化成，即为，从而解得.（2）利用余弦定理及构建关于的方程，解出.详解：（1）由已知得，∴.∵，∴.∵，所以，∴，所以（2）∵，即，∴∴，又∵，∴，或，点睛：三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量.（1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）；（3）如果知道两角及一边，用正弦定理.19、(Ⅰ)3536X的分布列为；X234P111EX=2×【解题分析】

(Ⅰ)先求出甲未能通过体能测试的概率，然后再求出乙未能通过体能测试的概率，这样就能求出甲、乙都未能通过体能测试的概率，根据对立事件的概率公式可以求出甲乙至少有一人通过体能测试的概率；(Ⅱ)由题意可知X=2,3,4，分别求出P(X=2)、【题目详解】解:(Ⅰ)甲未能通过体能测试的概率为P1乙未能通过体能测试的概率为P2∴甲乙至少有一人通过体能测试的概率为P=1-P(Ⅱ)X=2,3,4P(X=2)=23×12∴X的分布列为X234P111∴EX=2×【题目点拨】本题考查了相互独立事件的概率、对立事件的概率公式、离散型随机变量的分布列和数学期望，考查了数学运算能力.20、（1）男生40名，女生40名；（2）列联表见解析，【解题分析】

（1）由图（1）可知，身高在的男生的频率为，设抽取的学生中，男生有名，由算出即可（2）由（1）及频率分布直方图知，身高的男生有（名），身高的女生有（名），然后列表算出即可.【题目详解】解：（1）由图（1）可知，身高在的男生的频率为，设抽取的学生中，男生有名，则，解得.所以女生有（名）.（2）由（1）及频率分布直方图知，身高的男生有（名），身高的女生有（名），所以可得下列列表：身高身高总计男生301040女生43640总计344680由列联表中数据得的观测值为，所以能有的把握认为身高与性别有关.【题目点拨】本题考查的是统计的相关知识，注意根据观察值与临界值的大小关系得出结论，本题较简单.21、(1)32(2)见解析；(3)见解析【解题分析】

（1）根据频率分布直方图和中位数定