2024届江西省抚州市临川区一中高二数学第二学期期末统考模拟试题含解析

2024届江西省抚州市临川区一中高二数学第二学期期末统考模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知非零向量满足，若函数在R上存在极值，则和夹角的取值范围为（）A． B． C． D．2．已知集合，，，则（）A． B． C． D．3．设集合，，，则A． B．C． D．4．在复平面内，复数对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限5．牡丹花会期间，记者在王城公园随机采访6名外国游客，其中有2名游客来过洛阳，从这6人中任选2人进行采访，则这2人中至少有1人来过洛阳的概率是（）A． B． C． D．6．下列关于积分的结论中不正确的是（）A． B．C．若在区间上恒正，则 D．若，则在区间上恒正7．与圆及圆都外切的圆的圆心在（）．A．一个圆上 B．一个椭圆上 C．双曲线的一支上 D．抛物线上8．已知向量，，则向量在向量上的投影是（）A．2 B．1 C．−1 D．−29．条件，条件，若是的必要不充分条件，则的取值范围是（）A． B． C． D．10．圆与圆的公切线有几条（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条11．若是互不相同的空间直线，是不重合的平面，则下列命题中真命题是()A．若则B．若则C．若，，则D．若，，则12．下列命题正确的是（）A．进制转换：B．已知一组样本数据为1，6，3，8，4，则中位数为3C．“若，则方程”的逆命题为真命题D．若命题：，，则：，二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数，，若方程有个不等实根，则实数的取值范围是______.14．事件相互独立，若，，则____.15．从长度分别为的四条线段中，任取三条的不同取法共有种，在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的三角形的个数为，则等于____________.16．命题“如果，那么且”的逆否命题是______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）观察下列等式：；；；；……（1）照此规律，归纳猜想第个等式；（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.18．（12分）甲、乙去某公司应聘面试.该公司的面试方案为:应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是23(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列，并计算其数学期望;(2)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大?19．（12分）已知函数h(x)＝(m2－5m＋1)xm+1为幂函数，且为奇函数．(1)求m的值；(2)求函数g(x)＝h(x)＋，x∈的值域．20．（12分）已知函数f(x)=x2(x-a)，x∈R（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；（Ⅱ）设f'(x)是f(x)的导函数，函数g(x)=f'(x),f(x)≥21．（12分）某工厂甲、乙两条相互独立的生产线生产同款产品，在产量一样的情况下通过日常监控得知，甲、乙两条生产线生产的产品为合格品的概率分别为相.（1）若从甲、乙两条生产线上各抽检一件产品。至少有一件合格的概率为.求的值：（2）在（1）的前提下，假设每生产一件不合格的产品，甲、乙两条生产钱损失分别为元和元，若从两条生产线上各随机抽检件产品。估计哪条生产线的损失较多？（3）若产品按照一、二、三等级分类后销售，每件可分别获利元，元，元，现从甲、乙生产线各随机抽取件进行检测，统计结果如图所示。用样本的频率分布估计总体分布，记该工厂生产一件产品的利润为，求的分布列并估计该厂产量为件时利润的期望值.22．（10分）已知函数．（1）当时，解不等式；（2）若存在实数解，求实数a取值范围．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】设和的夹角为∵在上存在极值∴有两个不同的实根，即∵∴，即∵∴故选B点睛：本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式、利用导数研究函数的极值，属于难题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3），向量垂直则；(4)求向量的模（平方后需求）.2、D【解题分析】

按照补集、交集的定义，即可求解.【题目详解】，，.

故选:D.【题目点拨】本题考查集合的混合计算，属于基础题.3、C【解题分析】分析：由题意首先进行并集运算，然后进行交集运算即可求得最终结果.详解：由并集的定义可得：，结合交集的定义可知：.本题选择C选项.点睛：本题主要考查并集运算、交集运算等知识，意在考查学生的计算求解能力.4、A【解题分析】试题分析：,对应的点，因此是第一象限．考点：复数的四则运算.5、C【解题分析】分析：从名外国游客中选取人进行采访，共有种不同的选法，其中这人中至少有人来过洛阳的共有种不同选法，由古典概型的概率计算公式即可求解．详解：由题意，从名外国游客中选取人进行采访，共有种不同的选法，其中这人中至少有人来过洛阳的共有种不同选法，由古典概型的概率计算公式可得，故选C．点睛：本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算公式的应用，其中解答中根据排列、组合的相关知识得到基本事件的个数和所求事件包含的基本事件的个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．6、D【解题分析】

结合定积分知识，对选项逐个分析可选出答案.【题目详解】对于选项A，因为函数是R上的奇函数，所以正确；对于选项B，因为函数是R上的偶函数，所以正确；对于选项C，因为在区间上恒正，所以图象都在轴上方，故正确；对于选项D，若，可知的图象在区间上，在轴上方的面积大于下方的面积，故选项D不正确.故选D.【题目点拨】本题考查了定积分，考查了函数的性质，属于基础题.7、C【解题分析】

设动圆的半径为，然后根据动圆与圆及圆都外切得，再两式相减消去参数，则满足双曲线的定义，即可求解.【题目详解】设动圆的圆心为，半径为，而圆的圆心为，半径为1；圆的圆心为，半径为1．依题意得，则，所以点的轨迹是双曲线的一支．故选C．【题目点拨】本题主要考查了圆与圆的位置关系，以及双曲线的定义的应用，其中解答中熟记圆与圆的位置关系和双曲线的定义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8、D【解题分析】

本题考察的是对投影的理解，一个向量在另一个向量上的投影即一个投影在另一个投影方向上的长度．【题目详解】在上的投影方向相反，长度为2，所以答案是.【题目点拨】本题可以通过作图来得出答案．9、B【解题分析】因为是的必要不充分条件，所以是的必要不充分条件，可以推导出，但是不能推导出，若，则等价于无法推导出；若，则等价于满足条件的为空集，无法推导出；若，则等价于，由题意可知，，，，的取值范围是，故选B.10、C【解题分析】

首先求两圆的圆心距，然后判断圆心距与半径和或差的大小关系,最后判断公切线的条数.【题目详解】圆，圆心，，圆,圆心，，圆心距两圆外切，有3条公切线.故选C.【题目点拨】本题考查了两圆的位置关系，属于简单题型.11、C【解题分析】

对于A，考虑空间两直线的位置关系和面面平行的性质定理；对于B，考虑线面垂直的判定定理及面面垂直的性质定理；对于C，考虑面面垂直的判定定理；对于D，考虑空间两条直线的位置关系及平行公理.【题目详解】选项A中，除平行外，还有异面的位置关系，则A不正确；选项B中，与的位置关系有相交、平行、在内三种，则B不正确；选项C中，由，设经过的平面与相交，交线为，则，又，故，又，所以，则C正确；选项D中,与的位置关系还有相交和异面，则D不正确；故选C.【题目点拨】该题考查的是有关立体几何问题，涉及到的知识点有空间直线与平面的位置关系，面面平行的性质，线面垂直的判定，面面垂直的判定和性质，属于简单题目.12、A【解题分析】

根据进制的转化可判断A，由中位数的概念可判断B，写出逆命题，再判断其真假可判断C.根据全称命题的否定为特称命题，可判断D.【题目详解】A.,故正确.B.样本数据1，6，3，8，4，则中位数为4.故不正确.C.“若，则方程”的逆命题为:“方程,则”，为假命题，故不正确.D.若命题：，.则：，，故不正确.故选：A【题目点拨】本题考查了进制的转化、逆命题，中位数以及全称命题的否定，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、.【解题分析】

根据和的图象，可得当且仅当有四解时，符合题意．令，此时，，，，根据判别式可列出关于的不等式，进而可求的取值范围.【题目详解】解：，，可得在递增，在递减，则的图象如下：当时，图象如图，此时无解，不符合题意当时，图象如图，此时无解，不符合题意当时，函数的图象如下：令，当时，方程只有一解，当且仅当有四解时，符合题意．此时四解，，，．则，解得.综上，实数的取值范围是.故答案为:.【题目点拨】本题考查了复合函数的零点问题，考查了数形结合的思想.14、【解题分析】

由于事件为对立事件，故，代入即得解.【题目详解】由于事件为对立事件，，且，故故答案为：【题目点拨】本题考查了互斥事件的概率求法，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.15、【解题分析】

分别求出即可．【题目详解】从4条长度不同的线段中任取3条，共有4种取法，即，可组成三角形的只有一种，因此，∴．故答案为：．【题目点拨】本题考查事件的概念，求事件的个数．解题时可用列举法列出任取3条线段的所有可能以及满足组成三角形的个数，从而得，．列举法是我们常用的方法．能组成三角形的判定关键是两个较小的线段长之和大于最长的线段长度．16、如果或，则【解题分析】

由四种命题之间的关系，即可写出结果.【题目详解】命题“如果，那么且”的逆否命题是“如果或，则”.故答案为：如果或，则【题目点拨】本题主要考查四种命题之间的关系，熟记概念即可，属于基础题型.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）证明见解析.【解题分析】分析：（1）第个等式为.(2)利用个数学归纳法证明猜想.详解：（1）第个等式为；（2）用数学归纳法证明如下：①当时，左边，右边,所以当时，原等式成立.②假设当时原等式成立，即,则当时，,所以当时，原等式也成立.由①②知，（1）中的猜想对任何都成立.点睛：（1）本题主要考查归纳猜想和数学归纳法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是证明n=k+1时，=.18、(1)甲、乙的分布列见解析；甲的数学期望2、乙的数学期望2；(2)甲通过面试的概率较大．【解题分析】

（1）设出甲、乙正确完成面试题的数量分别为X，Y，由于X~H(6,3,4)，Y~B3,23（2）由于均值相等，可通过比较各自的方差.【题目详解】（1）设X为甲正确完成面试题的数量，Y为乙正确完成面试题的数量，依题意可得：X~H(6,3,4)，∴P(X=1)=C41⋅C∴X的分布列为：X123P131∴EX=1×1Y~B3,∴P(Y=0)=C30P(Y=2)=C32∴Y的分布列为：Y0123P1248∴EY=0×1（2）DX=1DY=np(1-p)=3×2∵DX<DY，∴甲发挥的稳定性更强，则甲通过面试的概率较大．【题目点拨】本题考查超几何分布和二项分布的应用、期望和方差的计算，考查数据处理能力，求解时注意概率计算的准确性.19、（1）m＝0（2）【解题分析】

试题分析：（1）根据幂函数定义得m2－5m＋1＝1，解得m＝0或5，再根据幂函数为奇函数得m＝0（2）换元将函数化为一元二次函数，结合自变量取值范围与定义区间位置关系确定函数最值，得函数值域试题解析：解：(1)∵函数h(x)＝(m2－5m＋1)xm+1为幂函数，∴m2－5m＋1＝1，.解得m＝0或5又h(x)为奇函数，∴m＝0(2)由(1)可知g(x)＝x＋，x∈，令＝t，则x＝－t2＋，t∈[0,1]，∴f(t)＝－t2＋t＋＝－(t－1)2＋1∈，故g(x)＝h(x)＋，x∈的值域为.20、（Ⅰ）y=x-1（Ⅱ）g【解题分析】

（Ⅰ）求函数的导数，当a=1时，利用点斜式可求曲线y=f(x)在点(1，f（1）)处的切线方程；（Ⅱ）分别讨论a，利用数形结合法，求函数g(x)=f【题目详解】（Ⅰ）当a=1时，f(x)=x2(x-1)，∴f'(1)=1，又∴曲线(1,f(1))在点(1,f(1))处的切线方程为：y=x-1．（Ⅱ）f(x)=x3-a由f(x)=fx1=a+3-a2-2a+9得当-2≤a≤2，x2a=0时，g(x)=x3，g(x)在-2,2单调递增，∴g②当-2≤a<0时，可得-2≤a<x1<∴g(x)在-2,x1单调递增，x1g(x)min③当0<a≤2时，可得0<a∵f(x)∴g(x)=f(x),x∈[-2,0]∴g(x)在-2,0单调递增，0,a3单调递减，a3,x∴g(x)综上，g(x)【题目点拨】本题考查了导数的综合应用问题，函数曲线的切线，函数的最